數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題解答(完整版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題解答一、復(fù)變函數(shù)部分習(xí)題解答第一章習(xí)題解答1、證明在平面上處處不可導(dǎo)。證明：令。，。，。于是與在平面上處處不滿足CR條件，所以在平面上處處不可導(dǎo)。2、試證僅在原點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)。證明：令。所以除原點(diǎn)以外，不滿足CR條件。而在原點(diǎn)連續(xù)，且滿足CR條件，所以在原點(diǎn)可微?；颍?。【當(dāng)，與趨向有關(guān)，則上式中】3、設(shè)，證明在原點(diǎn)滿足CR條件，但不可微。證明：令，則，。，；，。在原點(diǎn)上滿足CR條件。但。令沿趨于，則依賴于，在原點(diǎn)不可導(dǎo)。4、若復(fù)變函數(shù)在區(qū)域上解析并滿足下列條件之一，證明其在區(qū)域上必為常數(shù)。 （1）在區(qū)域上為實(shí)函數(shù)；（2）在區(qū)域上解析； （3）在區(qū)域上是常數(shù)。

2、證明：（1）令。由于在區(qū)域上為實(shí)函數(shù)，所以在區(qū)域上。 在區(qū)域上解析。由CR條件得 ，。 在區(qū)域上為常數(shù)。從而在區(qū)域上為常數(shù)。（2）令，則。 在區(qū)域上解析。由CR條件得 。 （1）又在區(qū)域上解析，由CR條件得。 （2）聯(lián)立（1）和（2），得。在區(qū)域上均為常數(shù)，從而在區(qū)域上為常數(shù)。（3）令，則。由題設(shè)知在區(qū)域上為常數(shù)，。又由CR條件得，在區(qū)域上，于是在區(qū)域上為常數(shù)。 在區(qū)域上均為常數(shù)，從而在區(qū)域上為常數(shù)。5、證明不能成為的一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部。證明：令，。不滿足拉普拉斯方程。從而它不能成為的一個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部。6、若，試證：（1）；（2）；（3）；（4）。證明：（1），。 （2） ， 。 （3） 。

3、 （4） 。7、試證若函數(shù)和在解析。，則。（復(fù)變函數(shù)的洛必達(dá)法則）證明：。或倒過(guò)來(lái)做。8、求證：。證明：。第二章習(xí)題解答9、利用積分估值，證明a 積分路徑是從到的 右半圓周。b證明積分路徑是直線段。證明：a（方法一）。（方法二）在半圓周上，從而在半圓周上，。或：。 b證: 。10、不用計(jì)算，證明下列積分之值均為零，其中均為圓心在原點(diǎn)，半徑為的單位圓周。a；b。證明：a的奇點(diǎn)為，由于，所以它們均不在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。 在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)，處處解析。 由柯西定理: 。b的奇點(diǎn)為，它們均不在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)處處解析。由柯西定理:。 11、計(jì)算a；b。

4、解: a在所圍區(qū)域內(nèi)解析，且在所圍區(qū)域內(nèi)。由柯西積分公式得。 b在所圍區(qū)域內(nèi)解析，且在所圍區(qū)域內(nèi)。由推廣的柯西積分公式得。12、求積分（），從而證明。解: 在所圍區(qū)域內(nèi)解析，且在所圍區(qū)域內(nèi)。由柯西積分公式得。 （1） 在上令，則，其中利用了，由于是的奇函數(shù)，而是的偶函數(shù)，所以，。 。 （2）從而，聯(lián)立（1）和（2），得。13、由積分之值，證明，為單位圓周。證明：在單位圓周所圍區(qū)域內(nèi)解析。由柯西定理:。 （1）另一方面，在上， （2）為的奇函數(shù)， （3）由（1）、（2）及（3）得。（4）又的偶函數(shù)，。（5）于是由（4）和（5）得。14、設(shè)，證明積分a.當(dāng)是圓周時(shí)，等于；b.當(dāng)是圓周時(shí)，等于；c.

5、當(dāng)是圓周時(shí)，等于。證明：的奇點(diǎn)為及。a.當(dāng)是圓周時(shí)，及均在圓外，在圓內(nèi)解析。由柯西定理: 。b.當(dāng)是圓周時(shí)，僅在圓內(nèi)。由柯西積分公式得。c.當(dāng)是圓周時(shí)，僅在圓內(nèi)。由柯西積分公式得。第三章習(xí)題解答15、求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑，并對(duì)c討論級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散情況。a.；b.；c.（為常數(shù)）。解: a. 。b. 。c. 。或?！荆灞剡_(dá)法則）】在收斂圓周上，級(jí)數(shù)成為。，它的通項(xiàng)在時(shí)，不趨于。故級(jí)數(shù)發(fā)散。16、試求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑。a.；b.；c. 。解: a.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。亦即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。于是收斂半徑。 b.。c.，。 又因?yàn)?，且?故。于是所求級(jí)數(shù)的收斂半

6、徑?；颍?，。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，17、將下列函數(shù)按的冪展開，并指明收斂范圍。a. ；b. 。解: a.， 。b. ， ， 。18、將下列函數(shù)按的冪展開，并指出收斂范圍。a. ；b. ；c. 。解: a.。， 。，。 ?；颍毫睿瑒t，所以 。b. c. 令，從而 進(jìn)一步，所以 。19、將下列函數(shù)在指定的環(huán)域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。a.,；b.。解: a. 。在內(nèi),， 。 在內(nèi),， 。 b. 在內(nèi)，且，。，。20、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)的無(wú)心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)，并指出成立范圍。a.【】；b.【】。解: a. 的無(wú)心鄰域?yàn)?，且?【】 。 ， 。 b.當(dāng)時(shí)， ， 。21、把展成下列級(jí)數(shù)。（1）在上展成的泰勒級(jí)數(shù)；（2）在

7、上展成的羅朗級(jí)數(shù)；（3）在上展成的泰勒級(jí)數(shù)；（4）在上展成的羅朗級(jí)數(shù)。解:（1）在上，【在上解析】。（2）在上，。（3）在上解析，且，所以。（4）在上，所以。第四章習(xí)題解答22、確定下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出它們是什么樣的類型（對(duì)于極點(diǎn)，要指出它們的階），對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)也要加以討論：（1）；（2）；（3）。解: （1）是的孤立奇點(diǎn)且是極點(diǎn)。，是的一階零點(diǎn)，從而是的一階極點(diǎn)；，是的二階零點(diǎn)，從而是的二階極點(diǎn)。在內(nèi)解析，是可去奇點(diǎn)，四階零點(diǎn)。 （2）在的羅朗展開式的主要部分有無(wú)窮多項(xiàng)，是的本性奇點(diǎn)。 在內(nèi)解析，是的可去奇點(diǎn)。 （3），的零點(diǎn)，是的極點(diǎn)。又，是的一階零點(diǎn)，從而是的一階極點(diǎn)。是的奇點(diǎn)，

8、但不是孤立奇點(diǎn)，因?yàn)樵跓o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的的任何鄰域內(nèi),總有其它奇點(diǎn)。23、求在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。解:的解，是的奇點(diǎn)。 由于，是的極點(diǎn)。又，是的一階零點(diǎn)，從而是的一階極點(diǎn)。不是的孤立奇點(diǎn)，因?yàn)樵谒娜我秽徲騼?nèi),總有其它的奇點(diǎn)。由推論2：?！尽?4、求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù)。（1） 在；（2）在，。解:（1）為的一階級(jí)點(diǎn).，為的二階極點(diǎn)。，。由于已是的所有有限孤立奇點(diǎn)，。（2）在的羅朗展開式為。由于是的僅有的一個(gè)有限孤立奇點(diǎn)，?！驹诘牧_朗展開式為】25、求下列函數(shù)在其奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）處的留數(shù)，（是自然數(shù)）（1） （是自然數(shù)）；（2）；（3）。解: （1）是的有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)。在,的羅朗展開式為。令,則

9、。為非負(fù)整數(shù)，只有為偶數(shù)時(shí)上式才成立。而當(dāng)為奇數(shù)時(shí),，即在的羅朗展開式中沒有次冪項(xiàng)，即。當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 。當(dāng)為偶數(shù)時(shí),的項(xiàng)是次冪項(xiàng)，所以，此時(shí)?？傊?，不管為偶數(shù)或奇數(shù)，都有。（2）是的唯一的有限奇點(diǎn),且是二階極點(diǎn)。，（3），是的孤立奇點(diǎn)。在點(diǎn)的羅朗展開式為在解析，且為的偶函數(shù),所以它在處的泰勒展開式中只有的偶次項(xiàng)。而，及。，次冪項(xiàng)的系數(shù)。不是的孤立奇點(diǎn)。26、求下列函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）處的留數(shù)。（1）；（2）。解:（1）是的本性奇點(diǎn)，為其孤立奇點(diǎn)。在點(diǎn)的羅朗展開式為。當(dāng)時(shí)，即，時(shí),的系數(shù)即為，所以【利用了】。（2）是的階極點(diǎn)，而是的一階（單）極點(diǎn)。，。是的僅有的二個(gè)有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)，。

10、27、計(jì)算下列積分（1）；（2）為自然數(shù)；（3）。解:（1）是被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的孤立奇點(diǎn)。，。是的二階零點(diǎn)，也就是的二階極點(diǎn)。由留數(shù)定理，得。（2）由于，被積函數(shù)在單位圓內(nèi)有二個(gè) 階極點(diǎn)，。于是。同理 。由留數(shù)定理，得。（3）被積函數(shù)，是在圓內(nèi)的二個(gè)一階極點(diǎn)。，。由留數(shù)定理，得。28、求下列各積分值（1） ； （2）。解:（1），。令，則，。令，則。有二個(gè)一階極點(diǎn)，。，在單位圓外。又，在單位圓內(nèi)。由關(guān)于極點(diǎn)的留數(shù)定理的推論2，得。由留數(shù)定理，得。（2），。令，則。令，則。有兩個(gè)一階極點(diǎn)和。，在單位圓外。，在單位圓內(nèi)。由關(guān)于極點(diǎn)的留數(shù)定理的推論2，得。由留數(shù)定理，得。29、求下列各積分的值（1

11、） ； （2）；（3）（）。解:（1）。在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，且。有四個(gè)一階極點(diǎn)，但只有二個(gè)，在上半平面。，。（2）在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn),當(dāng)時(shí),。在上半平面有兩個(gè)一階極點(diǎn)和。，。（3）在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn),且。在上半平面有二個(gè)一階極點(diǎn)和。由關(guān)于極點(diǎn)的留數(shù)定理的推論2，得，。30、從出發(fā)，其中為如圖所示之圍線，方向沿逆時(shí)針?lè)较?。證明。解:在所圍的區(qū)域內(nèi)解析，由柯西定理:。（1）又。（2）令,則，。又，。（3），。又，。（4）令,由（1）、（2）、（3）、（4）得，（5）而，及，于是。（6）由（5）和（6）得。（7）比較（7）兩邊的實(shí)部和虛部，得。（8）進(jìn)一步，若令，則（8）成為，從而 。二、數(shù)學(xué)物理方程及特殊函數(shù)

12、部分習(xí)題解答第五章習(xí)題解答31、弦在阻尼介質(zhì)中振動(dòng)，單位長(zhǎng)度的弦所受阻力（比例常數(shù)叫做阻力系數(shù)），試推導(dǎo)弦在這阻尼介質(zhì)中的振動(dòng)方程。解：與課上推導(dǎo)弦的受迫振動(dòng)方程一樣，令其中的，弦在介質(zhì)中的振動(dòng)方程為：，即，。32、長(zhǎng)為柔軟均質(zhì)輕繩，一端（）固定在以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的豎直軸上。由于慣性離心力的作用，這繩的平衡位置應(yīng)是水平線。試推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程。解：研究位于到這一 段繩A的振動(dòng)情況。設(shè)繩的質(zhì)量密度為。A在縱向沒有運(yùn)動(dòng)，于是A所受的縱向合力為零，即A所受的張力在縱向的合力等于其所受的慣性離心力，即 （1）在橫向，由牛頓第二定律，得 （2）在小振動(dòng)條件下，有，注意到，由（1）得，即 于是繩中

13、任一點(diǎn)處的張力為。（3）【段的慣性離心力】又，代入（2）得，即，（4）將的表達(dá)式（3）代入（4），得繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程為 與無(wú)關(guān)?！?，邊界條件，有限（自然邊界條件）】33、長(zhǎng)為的均勻桿，兩端由恒定熱流進(jìn)入，其強(qiáng)度為。試寫出這個(gè)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界條件。解：由熱傳導(dǎo)的傅里葉定律，在邊界上有，其中為邊界的單位法線矢量，為沿的方向?qū)?shù)。在端，而，所以 。 在端，而，所以。即邊界條件為：，。或：在一維時(shí)，而，由熱傳導(dǎo)的傅里葉定律，得，所以邊界條件為 ，。34、半徑為而表面燻黑的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，陽(yáng)光方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為。設(shè)圓柱外界的溫度為，試寫出這個(gè)圓柱的熱傳導(dǎo)問(wèn)題的邊界條件。解法一

14、：如圖取極坐標(biāo)系，極軸垂直于陽(yáng)光，由陽(yáng)光照射而產(chǎn)生的，通過(guò)圓柱表面流入圓柱體的熱流強(qiáng)度為 ， 同樣由陽(yáng)光照射而產(chǎn)生的，通過(guò)圓柱表面流出圓柱體的熱流強(qiáng)度為 。由圓柱本身的溫度分布產(chǎn)生的熱流強(qiáng)度為，而在極坐標(biāo)系中，故其通過(guò)圓柱表面流出圓柱體的熱流強(qiáng)度為?？偟耐ㄟ^(guò)圓柱表面流出圓柱體的熱流強(qiáng)度為，其在表面的大小為，其中。由牛頓熱交換定律，知應(yīng)與成正比，即 ，兩邊除以，即得邊界條件為：，。解法二：取如圖的圓柱表面的一個(gè)小塊來(lái)分析。 小塊的面積為，厚度為，兩個(gè)表面分別為和，為的外法線方向單位矢量，而為的內(nèi)法線方向單位矢量。單位時(shí)間流出小塊的熱量等于其能量的減少率，即，（*）其中，。令，則，（*）的左邊趨于

15、，（*）成為，（*）其中，（*）兩邊除以，即得邊界條件：，。第六章習(xí)題解答35、長(zhǎng)為的弦，兩端固定，弦中張力為，在距一端為的一點(diǎn)以力把弦拉開，然后突然撤除這力，求解此弦的振動(dòng)。解：先求出初始位移，分和兩段來(lái)考慮。設(shè)點(diǎn)的位移為，則 在中，在中，。 在小振動(dòng)，、很小的條件下，利用力的平衡條件和小振動(dòng)條件，得，于是 。定解問(wèn)題為。分離變數(shù)，令，代入方程及邊界條件，可得既滿足方程又滿足邊界條件的通解為。代入初始條件，得 ，。 。36、研究長(zhǎng)為，一端固定，另一端自由，初始位移為而初始速度為零的弦的自由振動(dòng)情況。解：即求解定解問(wèn)題 。分離變數(shù)，令，可得：， （1） ， （2）由（2）解得：，。由（1）解得

16、：。定解問(wèn)題的通解為。由初始條件，得：，。由初始條件，得：，。37、求解細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。桿長(zhǎng)為，兩端溫度保持為零度，初始溫度分布為。解：定解問(wèn)題為 。令，則可求得，滿足。定解問(wèn)題的通解為。由初始條件得：，。當(dāng)時(shí)，。整個(gè)桿達(dá)到平衡狀態(tài)。38、求解細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題。桿長(zhǎng)為，初始溫度為均勻的，兩端溫度分別保持為和。解：定解問(wèn)題為 。先將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件。令，使?jié)M足，則，（*）將（*）代入，得，將（*）代入，得，。于是滿足，其通解為。由初始條件得：，。39、長(zhǎng)為的柱形管，一端封閉，另一端開放。管外空氣中含有某種氣體，其濃度為，向管內(nèi)擴(kuò)散。求該氣體在管內(nèi)的濃度。解：定解問(wèn)題為。先將非齊次

17、邊界條件化為齊次邊界條件，令，使?jié)M足，解之，得：。滿足。令，可求得，。定解問(wèn)題的通解為： 。由初始條件得：，。于是，。40、均勻的薄板占據(jù)區(qū)域，。其邊界上的溫度為，。求解板的穩(wěn)定溫度分布。解：定解問(wèn)題為。關(guān)于的邊界條件是齊次的，用分離變數(shù)法來(lái)解：令，代入方程可得，于是， （1）。 （2）由（2）求得，將的值代入（1）得：，。于是。由，得，。由，得，。41、研究處于重力場(chǎng)中，長(zhǎng)為，一端固定，另一端自由，初始位移和初始速度均為零的弦的受迫振動(dòng)情況，設(shè)重力加速度為。即試用分離變數(shù)法求解定解問(wèn)題 。解：先將非齊次方程化為齊次方程。令，使?jié)M足。解之，得：，。滿足。用分離變數(shù)法可求得的通解為。由，得：。由

18、，得：，利用，及，得。42、半徑為，表面燻黑了的均勻長(zhǎng)圓柱，在溫度為零度的空氣中受著陽(yáng)光的照射，陽(yáng)光垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為，試求圓柱內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布。解：取圓柱的軸為軸，由于圓柱是均勻且長(zhǎng)（可以認(rèn)為無(wú)限長(zhǎng)），顯然溫度分布與無(wú)關(guān)，故只需在平面上研究就行了。取極坐標(biāo)系，由牛頓熱交換定律知： ，或。 【利用34題的結(jié)果】定解問(wèn)題為。方程的通解為。故通解又可寫為。由，得，上式相當(dāng)于在區(qū)間上將展成傅里葉級(jí)數(shù)，由展開系數(shù)公式得：， 。，。43、用傅里葉變換求解定解問(wèn)題。解：由于在內(nèi)變化，對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，（*）其中，（*）的通解為，。由，得，所以總的可寫為，其中。由，得。進(jìn)行傅里葉反變換，得，而，代入上、

19、下限時(shí)應(yīng)注意到，。第七章習(xí)題解答44、試用平面極坐標(biāo)系把二維波動(dòng)方程分離變數(shù)。解：二維波動(dòng)方程在極坐標(biāo)系中可表為 。 （1）令，代入（1），得：。 （2）（2）的兩邊除以，得。 （3）（3）的左邊僅是的函數(shù)，而右邊卻是，的函數(shù)，（3）的兩邊只能等于同一常數(shù)，記為，從而。， （4）（4）的兩邊乘以，并移項(xiàng)得。同理上式兩邊只能等于同一常數(shù)，記為。于是， ，。，令，得， 階Bessel eq.45、用平面極坐標(biāo)系把二維輸運(yùn)方程分離變數(shù)。解：在平面極坐標(biāo)系中，二維輸運(yùn)方程為 （1）令，代入（1），得：。 （2）（2）的兩邊除以，得.上式左邊僅是的函數(shù)，而右邊卻是，的函數(shù)，上式兩邊只能等于同一常數(shù)，記為

20、，從而。及與上一題的相同。46、求證，。證：勒讓德多項(xiàng)式的生成函數(shù)為，。（1）兩邊對(duì)求導(dǎo)，得。兩邊乘以，得，（2）（1）代入（2），得，比較兩邊項(xiàng)的系數(shù)，得。47、利用上題和，求證，。證：對(duì)勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式 （1）兩邊對(duì)求導(dǎo)，得。 （2）又由上題，得：， （3），得。 （4）從（3）及（4）中消去，得。 （5），得。48、在區(qū)間上將用勒讓德多項(xiàng)式展開。解：由于是偶函數(shù)，所以展開式中只含偶數(shù)階的勒讓德多項(xiàng)式，。，當(dāng)時(shí)，。或：令因?yàn)?，所以，比較上式兩邊系數(shù)，得。49、驗(yàn)證：。證：因?yàn)?，所以?0、證明：。證法一：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，只有當(dāng)，即時(shí)，上式才不為。此時(shí) 。 。證法二：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，又，。

21、當(dāng)，時(shí)，又，。當(dāng)時(shí)，又，。51、求解定解問(wèn)題。解：所要求解的定解問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，其軸對(duì)稱球內(nèi)解為。由，得。比較兩邊的系數(shù)，得， 。52、求解定解問(wèn)題。解：所要求解的定解問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，其軸對(duì)稱球外解為。由，得。比較兩邊的系數(shù)，得， 。53、用一層不導(dǎo)電的物質(zhì)把半徑為的導(dǎo)體球殼分隔為兩個(gè)半球殼，使半球殼各充電到電勢(shì)為和，試計(jì)算球殼內(nèi)外的電勢(shì)分布。解：本題可歸結(jié)為求解如下的的定解問(wèn)題。所要求解的定解問(wèn)題有軸對(duì)稱性，方程（1）的軸對(duì)稱有界通解為。在球內(nèi)中，有界，所以，當(dāng)時(shí)，。由邊界條件（2），得：， 【令，】。，。所以，當(dāng)時(shí)，。如果，則，球殼為等勢(shì)體，球殼內(nèi)電場(chǎng)。在球外中，有界，所以，當(dāng)時(shí)，。同

22、樣，由邊界條件（2），得：，。用類似上面的求解方法，可得。所以，當(dāng)時(shí)， 。如果，則球殼外的電勢(shì)分布，其中，相當(dāng)于一個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)。其實(shí)在情況下，球殼為等勢(shì)體，球殼所帶的電荷可由電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系得到。計(jì)算如下：球殼內(nèi)電場(chǎng)；球殼外,其法向分量大小。假定球殼內(nèi)外為真空，球殼的面電荷密度，總電荷。54、半徑為，表面燻黑的均勻球，在溫度為的空氣中，受著陽(yáng)光的照射，陽(yáng)光的熱流強(qiáng)度為，求解小球內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布。解：本題可歸結(jié)為求解如下的定解問(wèn)題：其中，為熱傳導(dǎo)系數(shù)，為熱交換系數(shù)。本定解問(wèn)題有軸對(duì)稱性，方程（1）的軸對(duì)稱球內(nèi)通解為， 。由邊界條件（2），得 ，即。 【令】。，。（3）又，。又 ，。（4）（4）代入（3），得：，。于是小球內(nèi)的穩(wěn)定溫度分布為，。55、計(jì)算下列積分（1）；（2）。解：（1）由遞推公式，得。 由遞推公式，得。（2）由遞推公式，得， 。又由遞推公式，得。將代入，得。56、半徑為而高為的圓柱體下底面和側(cè)面保持零度，上底面溫度分布為，求圓柱體內(nèi)各點(diǎn)的穩(wěn)恒溫度（穩(wěn)定溫度分布）。解：本題可歸結(jié)為求解如下的定解問(wèn)題定解問(wèn)題有軸對(duì)稱性，所以與無(wú)關(guān)，。的徑向部分滿足， 【零階Bessel eq.】其