《函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用》案例分析

1、函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用案例分析一、相關(guān)背景介紹 建構(gòu)主義理論告訴我們，學(xué)習(xí)是學(xué)生在原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的過(guò)程。這一建構(gòu)過(guò)程實(shí)際上需要學(xué)生將原有知識(shí)與新知識(shí)（包括思想、觀點(diǎn)、方法）進(jìn)行有效組合與溝通。而學(xué)生知識(shí)、方法的遷移，水平、能力的提高均依賴于這個(gè)過(guò)程。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上是指學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的領(lǐng)悟和實(shí)質(zhì)理解。抽象函數(shù)這部分內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性和簡(jiǎn)潔性，近幾年高考幾乎每年都有類似的題目。由于它的提干都是由抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)給出，因此它對(duì)學(xué)生閱讀理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的能力要求很高。對(duì)學(xué)生的思維能力是一個(gè)大的挑戰(zhàn)。二、本節(jié)課教學(xué)目標(biāo) 1 、知識(shí)與技能 使學(xué)生深刻理解函數(shù)的奇偶性、周

2、期性、對(duì)稱性等性質(zhì)。掌握代數(shù)變換的方法。 學(xué)會(huì)閱讀理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，會(huì)綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題。2 、過(guò)程與方法通過(guò)讓學(xué)生經(jīng)歷閱讀、理解、探索求解的過(guò)程，滲透化歸轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想。尋求合理、有效的途徑，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。3 、情感、態(tài)度、價(jià)值觀使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)他們實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神。4 、重點(diǎn)：綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題難點(diǎn)：對(duì)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言的理解和相互轉(zhuǎn)換。三、設(shè)計(jì)理念 1 、首先通過(guò)復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)入，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換2 、例 1 的設(shè)計(jì)的意圖是：加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念、性質(zhì)的理解

3、。教學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀、理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)；學(xué)會(huì)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化。通過(guò)一題多解、一題多思，滲透化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，以及代數(shù)變換的方法，培養(yǎng)他們的思維能力。課堂形式是：分組討論。3 、例 2 的設(shè)計(jì)主要讓學(xué)生獨(dú)立思考解答探求多種解法，思考、交流、表達(dá)，體現(xiàn)學(xué)生主體參與合作學(xué)習(xí)。要求學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題，提高他們抽象思維能力，問(wèn)題延伸思考，主要針對(duì)較好學(xué)生，讓他們課后繼續(xù)鉆研，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，也體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想。四、下面是課堂實(shí)錄函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用 師：前面我們已經(jīng)分別復(fù)習(xí)了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性及周期性等。今天我們學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。請(qǐng)先思考回答以

4、下問(wèn)題： 若函數(shù) f （ _ ）是奇函數(shù)，如何用符號(hào)表示？用圖形表示？ 若給出圖形 請(qǐng)用文字語(yǔ)言敘述它的對(duì)稱性，用符號(hào)如何表示？ 若 f （ _+2 ） =f （ _ ），你能有何結(jié)論？如何用文字語(yǔ)言敘述，用符號(hào)表示？生 1 ： f （ -_ ） =-f （ _ ）生 2 ： 函數(shù) f （ _ ）關(guān)于 _=1 對(duì)稱，即 f （ 1+_ ） =f （ 1-_ ）生 3 ： f （ _ ）是周期函數(shù)，周期為 T=2 ，示意圖： 師：由 f （ _+2 ） =-f （ _ ）你能說(shuō)出什么信息？生： f （ _ ）的周期是 T=4師：為什么？能否用圖象解釋？生：將式中的 _ 用 _+2 來(lái)替代，得到：

5、 f （ _+4 ） =-f （ _+2 ）又因?yàn)?-f （ _+2 ） =f （ _ ），所以 f （ _+4 ） =f （ _ ）即： T=4但是不太用圖像來(lái)解釋師：提示：從圖示看出 f （ _+4 ） =f （ _ ）的周期為 4 ?？偨Y(jié)：通過(guò)對(duì)函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性等性質(zhì)的復(fù)習(xí)，我們要熟悉數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換。好，下面我們來(lái)看例 1例 1 ：設(shè) f （ _ ）是（ - ， + ）上的奇函數(shù)， f （ _+2 ） =-f （ _ ），當(dāng) 0_1 時(shí)， f （ _ ） =_ ，則 f （ 7.5 ） =?生 1 ：利用周期性由 f （ _+2 ） =-f

6、（ _ ）可得到 f （ _+4 ） =f （ _ ）所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5生 2 ：直接利用 f （ _+2 ） =-f （ _ ）f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f-f(3.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5師：還有其他方法嗎？f （ _ ）是奇函數(shù)且 f （ _+2 ） =-f （ _ ），除了能說(shuō)出周期 T=4 外，還能說(shuō)出哪些信息？（師提示）生： f （ _+2 ） =-f （ _ ） =f （ -_ ）而 f （ _+2 ） =f （ -_ ）得到 f （ _ ）關(guān)于直線 _=1 對(duì)稱師：很

7、好，你能否根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性、周期性及奇偶性，畫出它的圖象？從而利用圖象來(lái)解題呢？生： 從圖中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5師：我們?cè)诮忸}的過(guò)程中，應(yīng)善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，有時(shí)能收到意想不到的效果的。師總結(jié)：方法一：主要要求對(duì)符號(hào)的深刻理解及獲取信息方法二：利用 f （ _+2 ） =-f （ _ ），通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到解題的目的，滲透了轉(zhuǎn)化的思想方法三：利用函數(shù)的幾何性質(zhì)，通過(guò)作圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解題。下面我們來(lái)將這道題目進(jìn)行變化：變化 1 ：已知條件不變，問(wèn)題變?yōu)楫?dāng) _ -1 ， 0 時(shí)，求 f （ _ ）的解析式生 1 ：設(shè) _ -1 ， 0 則 -_ 0

8、， 1 f （ -_ ） =-_ ，又 f （ -_ ） =-f （ _ ） f （ _ ） =_ 當(dāng) _ -1 ， 0 時(shí)， f （ _ ） =_師：能否總結(jié)一下解題步驟？生 2 ：小結(jié)：首先要 “ 問(wèn)啥設(shè)啥 ” ，不要把變量設(shè)錯(cuò)了區(qū)間；第二，把變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上去最后，再利用函數(shù)的奇偶性、周期性求出 f （ _ ）的解析式。變化 2 ：當(dāng) -1_1 時(shí)， f （ _ ）的解析式生：由已知和變化 1 可知當(dāng) -1_1 時(shí)， f （ _ ） =_變化 3 ：當(dāng) _ 3 ， 5 時(shí)，求 f （ _ ）的解析式生：設(shè) _ 3 ， 5 ，則 _-4 -1 ， 1 f （ _-4 ） =_-4 T=

9、4 f （ _ ） =_-4變化 4 ：當(dāng) _ 1 ， 3 時(shí)，求 f （ _ ）的解析式生：設(shè) _ 1 ， 3 ，則 _-2 -1 ， 1 f （ _-2 ） =_-2 T=4 f （ _-2 ） =f （ _+4-2 ） =f （ _+2 ） =-f （ _ ） -f （ _ ） =_-2 f （ _ ） =2-_師：小結(jié)：上面這四個(gè)變化訓(xùn)練要求我們要掌握代數(shù)變換這種數(shù)學(xué)方法，體會(huì)化歸轉(zhuǎn)化的思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用。例 2 ：定義在（ - ， + ）上的偶函數(shù) y=f （ _ ）滿足關(guān)系 f （ _+2 ） =-f （ _ ）且 f （ _ ）在區(qū)間 -2 ， 0 上是增函數(shù)，那么以下結(jié)論正

10、確的有 y=f （ _ ）是周期函數(shù) y=f （ _ ）的圖象關(guān)于直線 _=2 對(duì)稱 y=f （ _ ）在區(qū)間 2 ， 4 上是減函數(shù) f （ ） =f （ ）生 1 ： f （ _ ）是周期函數(shù)， T=4師： 分析：要證明直線 _=2 是 y=f （ _ ）圖象的對(duì)稱軸，只需要證明什么關(guān)系式成立？生：只需證 f （ 2-_ ） =f （ 2+_ ）或證 f （ -_ ） =f （ 4+_ ）或證 f （ _ ） =f （ 4-_ ）師：那我們選擇證第三個(gè)等式 f （ _ ） =f （ 4-_ ）成立生： f （ _ ）的周期 T=4 ，且 f （ _ ）是偶函數(shù) f （ 4-_ ） =f （

11、 -_ ） =f （ _ ）即 f （ _ ） =f （ 4-_ ） y=f （ _ ）圖象的對(duì)稱軸 _=2 ：生 1 ：有已知在區(qū)間 -2 ， 0 上， y=f （ _ ）是增函數(shù)，由于 y=f （ _ ）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，那么在 0 ， 2 上 y=f （ _ ）是減函數(shù)，又由于 y=f （ _ ）圖象關(guān)于直線 _=2 對(duì)稱，所以 y=f （ _ ）在區(qū)間 2 ， 4 上是增函數(shù)所以結(jié)論錯(cuò)誤生 2 ：也可以借助于圖象（示意圖）證明 是錯(cuò)誤的 ：生 3 ：由于 f （ _ ）在區(qū)間 0 ， 2 上是遞減的 f （ ） >f （ ） 結(jié)論錯(cuò)誤師：請(qǐng)同學(xué)們課后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行延伸

12、思考：通過(guò)以上兩個(gè)例題，我們發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)結(jié)論：如果 f （ _ ）具備奇偶性，同時(shí) f （ _ ）的圖象還關(guān)于某條直線對(duì)稱，則 f （ _ ）是周期函數(shù)，你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？請(qǐng)證明。課堂總結(jié)：（師生共同完成）要求對(duì)函數(shù)性質(zhì)有深刻的理解及三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解轉(zhuǎn)化掌握代表變換的方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸思想在解題過(guò)程中的應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力課堂檢測(cè)：已知定義在 R 上的周期函數(shù) y=f （ _ ），周期 T=4 ，若 y=f （ _ ）的圖象關(guān)于直線 _=2 成軸對(duì)稱圖形求證： y=f （ _ ）是偶函數(shù)五、課后反思 這節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)比較合理。特別是課前的復(fù)習(xí)導(dǎo)入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言理解和相互轉(zhuǎn)換，為突破本節(jié)課的難點(diǎn)做了有益的鋪墊。例 1 的三種解法和四種變化，從不同的角度和方面加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)有關(guān)概念性質(zhì)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言閱讀能力的培養(yǎng)，同時(shí)對(duì)提高他們的抽象思維能力是極有好處的學(xué)生課堂上的反映熱烈，積極參與，回答問(wèn)題踴躍。特別是一些平時(shí)成績(jī)偏下的學(xué)生也積極發(fā)言，很想表現(xiàn)自己，渴望得到來(lái)勢(shì)和同學(xué)的認(rèn)可。看來(lái)，如果平時(shí)也經(jīng)常關(guān)注這部分學(xué)生，多給他們成功的機(jī)會(huì)，調(diào)動(dòng)他們參與課堂的積極性，那么他們一定回愿意學(xué)，樂(lè)于學(xué)，學(xué)好的從課堂小測(cè)反饋的情況看，有少數(shù)學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的掌握還有困難，不會(huì)閱讀，理解數(shù)學(xué)符號(hào)，因此運(yùn)