微積分課件：第一章習(xí)題課

1、第一章 函數(shù)與極限(習(xí)題課）（一）函數(shù)的定義（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容函函 數(shù)數(shù)的定義的定義反函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)函函 數(shù)數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)單值與多值單值與多值奇偶性奇偶性單調(diào)性單調(diào)性有界性有界性周期性周期性雙曲函數(shù)與雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)左右極限左右極限兩個(gè)重要兩個(gè)重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件判定極限判定極限存在的準(zhǔn)則存在的準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較無(wú)窮

2、小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)唯一性唯一性無(wú)窮小無(wú)窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無(wú)窮大無(wú)窮大 )(limxf左右連續(xù)左右連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b上連續(xù)上連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的的 性性 質(zhì)質(zhì)初等函數(shù)初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義間斷點(diǎn)定義連連 續(xù)續(xù) 定定 義義0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 連續(xù)的連續(xù)的充要條件充要條件連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)非初等函數(shù)的連續(xù)性的連續(xù)性 振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮

3、間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第一類 第二類第二類 求極限的常用方法求極限的常用方法1.利用連續(xù)性求極限利用連續(xù)性求極限;2.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;3.無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限;4.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;5.利用左右極限求分段函數(shù)分段點(diǎn)處極限利用左右極限求分段函數(shù)分段點(diǎn)處極限;6.利用分子或分母有理化利用分子或分母有理化;7.利用兩個(gè)重要極限；利用兩個(gè)重要極限；8.利用等價(jià)無(wú)窮小替換；利用等價(jià)無(wú)窮小替換； 9.利用極限存在準(zhǔn)則求極限利用極限存在準(zhǔn)則求極限10.其它方法其它方法二、典型例題二、典型例題例例1

4、 1.)16(log2)1(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即例例3 3).1()1)(1)(1(lim,1242nxxxxxn 求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解解將分子、分母同乘以因子將分子、分母同乘以因子(1-x), 則則xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原式原式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxxn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例4 4.)sin1tan1(lim

5、310 xxxx 求求解解 解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21.21e 原式原式例例6 6.1,2cos1,1)(的連續(xù)性的連續(xù)性討論討論 xxxxxf 解解改改寫寫

6、成成將將)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然 xf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連連續(xù)續(xù)在在 xf例例7 7).()21(1 , 0),1()0(,1 , 0)( ffffxf 使得使得證明必有一點(diǎn)證明必有一點(diǎn)且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()21(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0