微積分課件：9-1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與基本性質(zhì)

1、一、級(jí)數(shù)的概念一、級(jí)數(shù)的概念二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)三、收斂的必要條件三、收斂的必要條件四、小結(jié)四、小結(jié) 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 與基本性質(zhì)與基本性質(zhì)一、級(jí)數(shù)的概念一、級(jí)數(shù)的概念1. 1. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)一般項(xiàng)部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: :如果如果ns沒(méi)有極限沒(méi)有極限, ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散. .即即 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)

2、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )例例 1 1 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)( (幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時(shí)時(shí)如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)如果如果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上01,1,nnqaqq a a當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂

3、于于1-q1-q當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散例例 2 2 判判別別無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) )12()12(1531311nn 的的收收斂斂性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和為和為級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂二、基本性質(zhì)二、基本性質(zhì)性性質(zhì)質(zhì) 1 1 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnku亦亦收收斂斂. .性性質(zhì)質(zhì) 2 2 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnus, , 1nnv, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1

4、)(nnnvu收收斂斂, ,其其和和為為 s. .推論推論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性影響級(jí)數(shù)的斂散性.證明證明

5、 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 推推論論 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, ,則則原原來(lái)來(lái)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散. .注意注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. )11()11(例如例如 1111 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散三、收斂的必要條件三、收斂的必要條件級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂n nn nlim u0.lim u0. 反反之之未未必必證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趨于零趨于零它的一般項(xiàng)它的一般項(xiàng)無(wú)限增大時(shí)無(wú)

6、限增大時(shí)當(dāng)當(dāng),nun級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件: :注意注意1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例如例如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. .?, 0lim但級(jí)數(shù)是否收斂但級(jí)數(shù)是否收斂有有 nnu n131211例如調(diào)和級(jí)數(shù)例如調(diào)和級(jí)數(shù)討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于是于是ss , 0 .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散)(210 n便有便有.這是不可能的這是不可能的 nnnnn nn 1n 1例例3:3:若若

7、(u2007)2008,(u2007)2008,求求 lim ulim u1nnu 如如何何判判別別的的斂斂散散性性111.lim2.lim0lim0,nnnnnnnnnnuuuuu 考考察察若若發(fā)發(fā)散散若若未未必必收收斂斂, ,用用其其它它方方法法判判別別例例4 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 n 1n 1n 1n 1n nn nn 1n 1n 1n 11010n nn 1n 1n n(1) ,100(1) ,100n1n13(-1)3(-1)(2) (2) 3 3n n(3) sin(3) sin2 21 1(4) 10(a0)(4) 10(a0)a a發(fā)散發(fā)散 1nn1n)31(31收斂收斂不存在不存在2nsinlimn 發(fā)散發(fā)散 1a 1a 發(fā)散發(fā)散收斂收斂四、小結(jié)四、小結(jié)1 1.