微積分課件：5-5 空間曲線

1、 第五節(jié)第五節(jié) 空間曲線空間曲線一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影四、小結(jié)四、小結(jié) 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點特點：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表

2、示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點點.空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、

3、空間曲線的參數(shù)方程 動點從動點從A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運(yùn)動到時間，運(yùn)動到M點點 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo例例2: 2: 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示: : 6321)1(22zxyx 0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , , txcos tysin )cos26(31tz (2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)(42222aayx 故所求為故所求為

4、得所求為得所求為txaacos22 tyasin2 tazcos2121 )20( t)20( t 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他

5、坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面

6、上，上，21 z例例5.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個立體設(shè)一個立體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx一個圓一個圓,面面上上的的投投影影為為所所求求立立體體在在 xoy. 0122zyx空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程四、小結(jié)四、小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxGzyx

7、F )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 222與與拋拋物物柱柱面面zx 22的的交交線線關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.思考題解答思考題解答,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲面曲面zyx10922 與與yoz平面的交線是平面的交線是_；2 2、 通過曲線通過曲線162222 zyx, ,022

8、2 yzx，且，且 母線平行于母線平行于y軸的柱面方程是軸的柱面方程是_；3 3、 曲線曲線01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程組方程組 3215xyxy在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_；5 5、 方程組方程組 319422yyx在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_ _ _，在空間解析幾何中表示，在空間解析幾何中表示_；練練 習(xí)習(xí) 題題6 6 、旋轉(zhuǎn)拋物面、旋轉(zhuǎn)拋物面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面的投影為面的投影為_， 在在yoz面的投影為面的投影為_， 在在zox面上的投影為面上的投影為_.

9、_.二、二、 畫出下列曲線在第一卦限的圖形：畫出下列曲線在第一卦限的圖形：1 1、 0422yxyxz2 2、 222222azxayx三三、 將將曲曲線線 xyzyx9222化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程四、四、 求螺旋線求螺旋線 bzayaxsincos在三個坐標(biāo)面上的投影曲線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所圍成的立體，在所圍成的立體，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、兩直線的交點、兩直線的交點, ,兩平面的交線；兩平面的交線；5 5、橢圓與其一切線的交點、橢圓與其一切線的交點, ,橢圓柱面橢圓柱面19422 yx與與其切平面其切平面3 y的交線；的交線；