經(jīng)典力學課件：第4章慣量張量

1、xyzoxyzijkiiiirxiy jzk在Oxyz坐標系下()iiii iiJrm vm rr AAA(BC )= (C )B - (B )C由2() iiiiJm rrr得代入xyzijkiiiirxiy jzk222222222()()()()j + ()()iiiixixiyiziiiiiyixiyiziiiiizixiyiziJmxyzxyzx imxyzxyzymxyzxyzz k + 222222()()()iiixiiiyiiiziiixiiiyiiiziiixiiiyiiizm yzm x ym x zim y xm zxm y zjm z xm y zm xyk -可得x

2、yzJJ iJ jJ k即222222()()()xiiixiiiyiiizyiiixiiiyiiizziiixiiiyiiizJmyzm x ym x zJm y xmzxm y zJm z xm z ymxy -222222()()()xxiiiyyiiizziiixyiiixziiiyxiiiyziiizxiiizyiiiIm yzIm zxIm xyIm x yIm x zIm y xIm y zIm z xIm z y ， ， ， 令xyyxxzzxyzzyIIIIII ， ， 顯然有xxxxxyxxzxyyxxyyyyzzzyxxzyyzzzJIIIJIIIJIII 則其中Ixx、

3、 Iyy、I zz分別是剛體相對x、y、z軸的轉動慣量；Ixy、 Iyx、I xz、Izx、 Iyz、I zy是交叉項，稱作慣量積。222222()()()xxxyyxyyxzzxzzyzzyIyzdmIIxydmIzxdmIIxzdmIxydmIIyzdm , , , 若是連續(xù)的質點組，應該是積分n 角動量的矩陣形式xxxxyxzxyyxyyyzyzxzyzzzzJIIIJIIIIIIJ以上，以上，Ixx、Ixy、Izz等等9個量組成了個量組成了一個張量，稱為一個張量，稱為慣性張量慣性張量。00 xxxxyxzxzzyyxyyyzyzzzxzyzzzzzzzJIIIIJIIIIIIIIJ 當

4、z軸與轉軸重合時，xy0。角動量矩陣簡化為2kk111E2211()()22()E()2iiiiiiiiiim vm v vm vrrm vABCBCAJ =）即代入xyzijkxyzJJ iJ jJ k可得222kxxxyyyzzz1E(2222)yzyzzxzxxyxyIIIIII 2k1EI2而對比上兩式，可得轉動慣量I的表達式222xxxyyyzzz2yzyzzxzxxyxy1(222)IIIIII (coscoscos)xyzijkijk又因為代入上式可得xxyyzzyzzxxy(coscoscos2coscos2coscos2coscos)IIIIII若將cos，cos，cos分別

5、記為，和xxyyzzyzzxxy(222) IIIIIIxxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIII =對于具有幾何對稱性的勻質剛體，若選擇其對稱軸為坐標軸，則可消除掉交叉項Iij。例如z軸是剛體的幾何對稱軸，則剛體上任意一點（xi，yi，zi），總存在一個對稱點（xj，yj，zj），并有xixj，yiyj，zizj0 xzzxiiiyzzyiiiIIm x zIIm y z=0 角動量 轉動慣量動能xxyyyzzzJ=Ii+Ij+Ikx222xxyyzz(coscoscos)IIIyz222kxxyyzz1E =(I+I+I)2x 角動量xyzJ00J0000JxxxyyyzzzI

6、II 轉動慣量xxyyzz000000III = 動能xxyyzz000000 xxyzyzIII k1E =2LLyxzABROzxzxJJzJxJ1xzJ2以O點為原點，z軸沿盤面的法線方向，建立Oxyz坐標系，z軸、x軸和轉軸在一個平面內。(sincos)xzikij（）則22xxzz11ImRmR42，22211J=mR(sincos4211mRsincos42ik）（+）而所以本題可以這樣考慮，將Jx和Jz分別向轉軸方向投影并求和，得到J的轉軸分量為J1xz222JJ sinJ cos11mR(sincos)421JI22211mR (sincos)42I而得到JJzJxJ1xzJ2

7、J2(t)J2(t+t)J J2 2J J2 2J的變化是由于J的與軸垂直的分量J2變化所致。J2繞轉軸以的角速度旋轉。2zx22J =J sinJ cos11mR(cossinsincos)241mRsin 28J2的大小不變，但方向變化。222221J =JmRsin 28J1=mRsin 28t1mRsin 28dddd22222J M2FLtJ1F=m Rsin 2t16Ldddd12LABCDABCDCDBADCPAPAAr = r + rV= V + V= V + VOrPrAAPrVVPVAVAPAVV =r(rr )PAPAAAPAdrdrddrV=(r + r) =+dtdtdtdtdrdrd rVrdtdtdtd r0dtVVr ， （剛體，P到A的距離恒定）以A為基點時PAAAV= V +r BAABAV= V +r(r = rr ) 證明：O為固定參照點，P為剛體上任一點，A、B是任選的兩個基點。以A為基點時以A為基點，B點的速度為PBBBV= V+r 代入VP的表達式，得到PAABBAABABBPAAAABABBAAV= V+rr V+(rr )r V= V+r (rr )r r BAABAABBBAA