高等數(shù)學(xué)：8-1 多元函數(shù)的基本概念

1、1第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用應(yīng)用DxyzOM xyP),(yxfz 2第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)多元函數(shù)的基本概念的基本概念預(yù)備知識預(yù)備知識多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) function of many variables第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用3一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識1. 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 n 維空間維空間一元函數(shù)一元函數(shù)1R平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集2R n 維空間維空間nR實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)組(x, y)的全體的全體,即即,),( 2RyxyxRRR 建立

2、了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合,稱為稱為平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集, 記作記作.),(),( PyxyxE具有性質(zhì)具有性質(zhì) (1) 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 二元有序二元有序多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 4鄰域鄰域 (Neighborhood) 設(shè)設(shè)P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一個點(diǎn)平面上的一個點(diǎn),幾何表示：幾何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0鄰域鄰域的的點(diǎn)點(diǎn) P多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 令令, 0 ).(0PU有時簡記為有時簡記為2R

3、稱之為稱之為 將鄰域去掉中心將鄰域去掉中心, 也可將以也可將以P0為中心的為中心的某個矩形內(nèi)某個矩形內(nèi)(不算周界不算周界)注注稱之為稱之為的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)P0鄰域鄰域.去心鄰域去心鄰域.),(0 PU 5 (1) 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)顯然顯然, E的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于E.,EP 點(diǎn)點(diǎn),)(EPU 使使多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 E (2) 外點(diǎn)外點(diǎn) 如果存在點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個鄰域的某個鄰域),(PU則稱則稱P為為E的的外點(diǎn)外點(diǎn).(3) 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn) 如點(diǎn)如點(diǎn)P的的任一任一鄰域內(nèi)既有屬于鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)的點(diǎn),也有不屬于也有不屬于E的點(diǎn)的點(diǎn),稱稱P為為E的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn).任意一

4、點(diǎn)任意一點(diǎn)2RP 2RE 與任意一點(diǎn)集與任意一點(diǎn)集之間之間必有以下三種關(guān)系中的一種必有以下三種關(guān)系中的一種:設(shè)設(shè)E為一平面點(diǎn)集為一平面點(diǎn)集, 0 若存在若存在稱稱P為為E的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn).1P )(1P)(2P2P 3P )(3PE的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為E的的邊界邊界,記作記作.E 使使U(P) E = ,6聚點(diǎn)聚點(diǎn)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 如果對于任意給定的如果對于任意給定的, 0 點(diǎn)點(diǎn)P的去心鄰域的去心鄰域),( PU內(nèi)總有內(nèi)總有E中的點(diǎn)中的點(diǎn)則稱則稱P是是E的的聚點(diǎn)聚點(diǎn).例如例如, 設(shè)點(diǎn)集設(shè)點(diǎn)集(P本身可屬于本身可屬于E,也可不也可不屬于屬于E ),21),( 22

5、 yxyxE,),(200RyxP 點(diǎn)點(diǎn), 212020 yx若若則則P為為E的的內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn);12020 yx若若, 22020 yx或或則則P為為E的的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn),也是也是E的聚的聚點(diǎn)點(diǎn).E的邊界的邊界E 為集合為集合.2),( 1),( 2222 yxyxyxyx7平面區(qū)域平面區(qū)域(重要重要)設(shè)設(shè)D是是開集開集. 連通的開集稱連通的開集稱多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 連通的連通的.如對如對D內(nèi)任何兩點(diǎn)內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連都可用折線連且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于D,稱開集稱開集D是是 開區(qū)域開區(qū)域.如如都是區(qū)域都是區(qū)域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx

6、開集開集 若若E的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),例例41),( 221 yxyxE稱稱E為為開集開集.E1為為開集開集.0 yx0 yxOxy結(jié)起來結(jié)起來, 8 開區(qū)域連同其邊界開區(qū)域連同其邊界,稱為稱為開區(qū)域、閉區(qū)域與半開半閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域。開區(qū)域、閉區(qū)域與半開半閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域。但注意：當(dāng)教材規(guī)定了區(qū)域?yàn)殚_區(qū)域時，但注意：當(dāng)教材規(guī)定了區(qū)域?yàn)殚_區(qū)域時， 一般的區(qū)域要稱一般區(qū)域。一般的區(qū)域要稱一般區(qū)域。否則稱為否則稱為多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 都是閉區(qū)域都是閉區(qū)域 .,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如總可以被包圍在一個以原點(diǎn)為中心、總可以被包圍在一個以原點(diǎn)為中

7、心、適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域,稱此區(qū)域?yàn)榉Q此區(qū)域?yàn)榘霃桨霃?(可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域 ).閉區(qū)域閉區(qū)域.有界區(qū)域有界區(qū)域.無界區(qū)域無界區(qū)域有界區(qū)域有界區(qū)域9OxyOxyOxy Oxy有界開區(qū)域有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 10n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體的全體;nR n 維空間中的每一個元素維空間中的每一個元素稱為空間中稱為空間中 kx數(shù)數(shù)稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第k個個坐標(biāo)坐標(biāo). .n維空間中兩點(diǎn)維空間中兩點(diǎn)),(21nxxxP的的距

8、離距離定義為定義為2222211)()()(nnyxyxyxPQ n 維空間中點(diǎn)維空間中點(diǎn)0P記作記作及及),(21nyyyQ.,),(00nRPPPPPU 的的 鄰域鄰域?yàn)闉?2) n 維空間維空間多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 n 維空間維空間.稱為稱為即即., 2 , 1,),( 21 iRxxxxin的一個的一個點(diǎn)點(diǎn), , RRRRn11二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念1. 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義例例 理想氣體的狀態(tài)方程是理想氣體的狀態(tài)方程是 VTRp 稱稱 p為兩個變量為兩個變量T,V 的函數(shù)的函數(shù),其中其中(1) 定義定義 如溫度如溫度T、體積、體積V都在變化都在變

9、化, 則壓強(qiáng)則壓強(qiáng) p依賴依賴多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 (R為常數(shù)為常數(shù))RTpV 其中其中p為壓強(qiáng)為壓強(qiáng), V為體積為體積, T為絕對溫度為絕對溫度.于于T,V 的關(guān)系是的關(guān)系是,0 T.0 V12按著這個關(guān)系有確定的按著這個關(guān)系有確定的點(diǎn)集點(diǎn)集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)),(yxfz ) )(Pfz 或或稱為該函數(shù)的稱為該函數(shù)的 Dyxyxfzz ),(),(則稱則稱z是是x, y的的定義定義1 1若變量若變量z與與D中的變量中的變量x, y之間有一個依賴關(guān)系之間有一個依賴關(guān)系,設(shè)設(shè)D是是xOy平面上的點(diǎn)集平面上的點(diǎn)集,使得在使得在D內(nèi)內(nèi)每取定一個點(diǎn)每取定一個點(diǎn)P(x, y)時時,

10、z值與之對應(yīng)值與之對應(yīng),多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 記為記為稱稱x, y為為的的數(shù)集數(shù)集二元二元( (點(diǎn)點(diǎn)) )函數(shù)函數(shù). .稱稱z為為自變量自變量, ,因變量因變量, ,定義域定義域, ,值域值域. .13二元及二元以上的函二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為數(shù)統(tǒng)稱為(2) 多元函數(shù)定義域多元函數(shù)定義域定義域?yàn)槎x域?yàn)榉蠈?shí)際意義符合實(shí)際意義的的自變量取值的全體自變量取值的全體.記為記為 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值),(yxfz ),(00yxP),(00yxf多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 ).(0Pf或或類似類似, 可定義可定義n元函數(shù)元函數(shù).多元函數(shù)多元函數(shù). .實(shí)

11、際問題中的函數(shù)實(shí)際問題中的函數(shù):自變量取值的全體自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù)純數(shù)學(xué)問題的函數(shù): 定義域?yàn)槭苟x域?yàn)槭惯\(yùn)算有意義運(yùn)算有意義的的14例例 求下面函數(shù)的定義域求下面函數(shù)的定義域解解Oxy無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域xyz . 1和和 00yx 00yx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 即定義域?yàn)榧炊x域?yàn)? 0 xy15 1解解Oxy12. 22222 yxyxxz1)1(22 yx定義域是定義域是122 yx且且有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 16 用聯(lián)立不等式表示下列平面閉區(qū)域用聯(lián)立不等式表示下列平面閉區(qū)域 D .圓弧圓弧直線直線:有有下下

12、列列三三種種表表示示法法域域D解解01 x10 x多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 xOy11 1 )2(01 y112 yxy )3(012 yx及及 01 yxD(1)221xy0y 1xy172. 二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的幾何意義 研究單值函數(shù)研究單值函數(shù)二元函數(shù)的圖形通常是一張二元函數(shù)的圖形通常是一張多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 曲面曲面.),(yxfz DxyzOM xyP18222yxRz 的圖形是雙曲拋物面的圖形是雙曲拋物面.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 如如, , 由空間解析幾何知由空間解析幾何知, 函數(shù)函數(shù)的圖形是以原點(diǎn)為中心的圖形是以原點(diǎn)為中心, R

13、為半徑的上半球面為半徑的上半球面.又如又如, ,xyz 最后指出最后指出,從一元函數(shù)到二元函數(shù)從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容在內(nèi)容和方法上都會出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別和方法上都會出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別, 而多元而多元函數(shù)之間差異不大函數(shù)之間差異不大.因此研究多元函數(shù)時因此研究多元函數(shù)時, 將以將以二元函數(shù)為主二元函數(shù)為主.19三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù) 怎樣描述呢怎樣描述呢? Oxy (1) P(x, y)趨向于趨向于P0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000時的極限時的極限即即yxPyxP回憶回憶: 一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的極限 路徑又是多種多樣

14、的路徑又是多種多樣的.注注,00yyxx當(dāng)當(dāng)多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 方向有任意多個方向有任意多個, ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy20(2) 變點(diǎn)變點(diǎn)P(x,y) 這樣這樣,可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元函數(shù)極限的一般定義二元函數(shù)極限的一般定義. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP 0 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 0PP總可以用總可以用來表示極限過程來表示極限過程:與定點(diǎn)與定點(diǎn)P0(x0,y0)之間的距離記為之間的距離記為不論不

15、論的過程多復(fù)雜的過程多復(fù)雜,),(),(00yxPyxP趨向于趨向于21, 0 ,)()(02020 yyxx當(dāng)當(dāng), 0 ),(yxfzA 為為則則稱稱Ayxfyxyx ),(lim),(),(00記作記作)0(),( Ayxf或或多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )( 定義定義2 2在在D內(nèi)有內(nèi)有成立成立.的極限的極限.時時當(dāng)當(dāng)),(),(00yxyx 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) P0(x0, y0)是是D的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). 的定義的定義 ),()(yxfPf 義域?yàn)榱x域?yàn)镈, 如果存在常數(shù)如果存在常數(shù) A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也記作也記作).()(0PPAPf或或2

16、2 說明說明(1) 定義中定義中0PP (2) 二元函數(shù)的極限也叫二元函數(shù)的極限也叫),(lim00yxfyyxx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 (double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重極限二重極限.23則當(dāng)則當(dāng) 22)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx試證試證例例證證 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有證畢證畢.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 )0(22 yx22221sinyxyx 24 相同點(diǎn)相同點(diǎn) 多元函數(shù)的極限與一元

17、函數(shù)的極限的多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要在某點(diǎn)的極限存在的充要定義相同定義相同.差異為差異為必需是點(diǎn)必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以在定義域內(nèi)以任何方式和途徑任何方式和途徑趨趨而而多元函數(shù)多元函數(shù)于于P0時時,多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 相同點(diǎn)相同點(diǎn)和和差異差異是什么是什么條件是條件是左右極限都左右極限都存在且相等存在且相等;都有極限都有極限,且相等且相等.)(Pf25確定極限確定極限 關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到到n元函數(shù)上去元函數(shù)上去.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 不存在不存在的方法的方法則可斷言極

18、限不存在則可斷言極限不存在;),(yxP令令若極限值與若極限值與 k 有關(guān)有關(guān),(1)(2)此時也可斷言此時也可斷言找兩種不同趨近方式找兩種不同趨近方式,但兩者不相等但兩者不相等,),(lim00yxfyyxx使使處極限不存在處極限不存在.存在存在,在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxf),(000yxP00()yyk xx),(000yxP趨向于趨向于沿直線沿直線26設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明: :當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿x軸軸的方向的方向當(dāng)當(dāng)P(x, y)沿沿y軸軸的方向的方向)0 ,(lim0 xfx), 0(lim0yfy也有也有 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf證證22000lim xxx

19、00lim0 x22000limyyy 00lim0 y多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在.,0, 0時時當(dāng)當(dāng)yx無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時時,同樣同樣,無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時時,例例27函數(shù)的極限存在且相等函數(shù)的極限存在且相等.當(dāng)當(dāng)P(x, y) 沿直線沿直線 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化. 所以所以,極限不存在極限不存在多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 說明函數(shù)取上面兩個說明函數(shù)取上面兩個無限接近無限接近于點(diǎn)于點(diǎn)(0,0)時時

20、,另一方面另一方面,無限接近點(diǎn)無限接近點(diǎn)(0,0)時時,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證明證明: 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf函數(shù)的極限不存在函數(shù)的極限不存在.,0, 0時時當(dāng)當(dāng)yx特殊方向特殊方向28極限極限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿x軸的方向無限接近點(diǎn)軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時時, 當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿y軸的方向無限接近點(diǎn)軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時時,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基

21、本概念 0lim220 kxkxkxyx29多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 極限不存在極限不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx極限極限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 2130四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)定義定義3 3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 P0(x0, y0)為為D的定義區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)的定義區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn), P0D.如果如果連續(xù)連續(xù).),(),(000yxPyxf在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y) 在開區(qū)域在開區(qū)域

22、(閉區(qū)域閉區(qū)域)D內(nèi)的內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)每一點(diǎn)連續(xù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),),(yxf或稱函數(shù)或稱函數(shù)),(yxf是是 D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈, ),()(yxfPf 31的的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn),多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 若若函數(shù)函數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn) P0(x0, y0)不連續(xù)不連續(xù),稱稱P0為函數(shù)為函數(shù) 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).若在若在D內(nèi)某些孤立點(diǎn)內(nèi)某些孤立點(diǎn),沒有定義沒有定義,或沿或沿D內(nèi)某些曲線內(nèi)某些曲線,但在但在D內(nèi)其余部分內(nèi)其余部分,),(yxf都有定義都有定義, 則在這些孤立點(diǎn)或這些曲線則在這些孤立點(diǎn)或這些曲線上上,即間斷點(diǎn)即間斷點(diǎn).函數(shù)函數(shù))

23、,(yxf都是函數(shù)都是函數(shù)),(yxf),(yxf則則的的),(yxf32在單位圓在單位圓122 yx處處是處處是間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).2211sin),(yxyxf 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 函數(shù)函數(shù) (0,0)點(diǎn)是該函數(shù)的點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn). 函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf),0, 0(前前面面已已證證函函數(shù)數(shù)的的極極限限不不存存在在時時yx 不同在哪不同在哪?想一想想一想 二元函數(shù)的間斷性與一元函數(shù)的間斷性二元函數(shù)的間斷性與一元函數(shù)的間斷性33稱為多元初等函數(shù)稱為多元初等函數(shù),多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 積、商（分母不為零）及復(fù)合仍是連

24、續(xù)的積、商（分母不為零）及復(fù)合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, 多元函數(shù)的和、差、多元函數(shù)的和、差、每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算和有限次復(fù)合,由一個式子表達(dá)的函數(shù)由一個式子表達(dá)的函數(shù)處均連續(xù)處均連續(xù).在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)34有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域上上連續(xù)連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)的多元函數(shù)的性質(zhì)至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于這兩值之間的任何值至少一次介于這兩值之間的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)

25、的基本概念 在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的上的多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù), ,在在D上上在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的上的多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù), ,如果如果在在D上取得兩個不同的函數(shù)值上取得兩個不同的函數(shù)值, , 則它在則它在D上取得上取得35多元函數(shù)的極限的基本問題有三類多元函數(shù)的極限的基本問題有三類(1) 研究二元函數(shù)極限的存在性研究二元函數(shù)極限的存在性.常研究常研究若其依賴于若其依賴于k, 則則欲證明極限存在欲證明極限存在,*特別對于特別對于*),(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在不存在.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 常用定義或夾逼定理常用定義或夾逼定理.欲

26、證明極限不存在欲證明極限不存在(通過觀察、猜測通過觀察、猜測),常選擇兩條不同路徑常選擇兩條不同路徑, 求出不同的極限值求出不同的極限值.(2) 求極限值求極限值. 常按一元函數(shù)極限的求法求之常按一元函數(shù)極限的求法求之.(3) 研究二重極限與累次極限研究二重極限與累次極限(二次極限二次極限)間的關(guān)系間的關(guān)系.(羅必達(dá)法則除外羅必達(dá)法則除外),(limyxf0 x0 kxy36例例 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx , 00 x. 0)sin(

27、lim22200 yxyxyxyxu2 2|22xxyyx 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 yxyxyx2200)sin(lim,222yxyx 思考：如何改進(jìn)？思考：如何改進(jìn)？37多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 例例 求極限求極限 .42lim00 xyxyyx解解 將將分母有理化分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 38提示提示2222),(yxyxyxf ),(lim00yxfyyxx解解22220limyxyxy 0limx122 xx多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 是否把極限是否把極限理

28、解為理解為:先求先求0 xx 的極的極限限,再求再求0yy 的極的極限限;或者或者先求先求0yy 的極的極限限, 再求再求0 xx 的極的極限限研究研究二次極限二次極限對任意的對任意的)1(有有1 有有 22220limyxyxy, 0 x39 (2) 同理同理: (3)再來分析當(dāng)點(diǎn)再來分析當(dāng)點(diǎn)(x, y)沿過原點(diǎn)的直線沿過原點(diǎn)的直線 因此因此 1limlim222200 yxyxxy222200limyxyxyx 2222220limxkxxkxkxy 2211kk ),(lim00yxfyx不存在不存在.多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 對任意的對任意的有有2222),(yxyxyxf

29、 趨向于趨向于kxy , 0 y有有)0 , 0(時時,40可證明當(dāng)可證明當(dāng) f( x, y)在在P0(x0, y0)的一個鄰域上的一個鄰域上),(lim00yxfyyxx ),(limlim00yxfyyxx;),(limlim00 yxfxxyy與與 ),(limlim00yxfyyxx第二第二,一般也是不相同的一般也是不相同的; ),(limlim00yxfxxyy第三第三,由此看出由此看出: 第一第一,不能理解為不能理解為多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 連續(xù)時連續(xù)時,上述三個極限均相等上述三個極限均相等.或或41求求答答: 0答答:不存在不存在.答答:不存在不存在. 二次極限都不存在時二次極限都不存在時,但二重極限也可能但二重極限也可能 0001sin1sin),(xyxyxyyxyxf),(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfxy注注多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 存在存在.二次極限與二重極限有本質(zhì)的區(qū)別二次極限與二重極限有本質(zhì)的區(qū)別.| ),(|yxyxf 42想一想想一