正弦定理余弦定理應(yīng)用舉例

1、資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除第7講正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例【2013年高考會(huì)這樣考】考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題中的角度、方向、距離及測(cè)量問(wèn)題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1 .本講聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模過(guò)程，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法.2 .加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力.ajKAOJIZIZHUDAOXUE01”舍意自主導(dǎo)學(xué)必考必記；童學(xué)相長(zhǎng)基礎(chǔ)梳理1 .用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等.2 .實(shí)際問(wèn)題中的常用角（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中

2、，視線在水平線上左的角叫仰角，在水平線下方的角2 / 11叫俯角(如圖(1).(2)(2)方位角指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為a(如圖(2).(3)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30。，北偏西45。，西偏東60。等.(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).勿當(dāng)<臨一個(gè)步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請(qǐng)聯(lián)系改正或者刪除(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型.(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形問(wèn)

3、題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.兩種情形解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.雙基自測(cè)1.(人教A版教材習(xí)題改編)如圖，設(shè)A,8兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的距離為50m,ZACB=45°,ZCAB=105。后，就可以計(jì)算出A

4、,8兩點(diǎn)的距離為().解析由正弦定理得二，又I二30。.".AB-50(m).答案A2.從4處望8處的仰角為a,從8處望A處的俯角為及則a,4的關(guān)系為().A.a>0B.a=BC.a+/?=90°D.a+夕=180。解析根據(jù)仰角與俯角的定義易知夕二夕。答案B3 .若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30。，點(diǎn)8在點(diǎn)C的南偏東60。，且AC=8C,則點(diǎn)A在點(diǎn)8的（）.A.北偏東15°B.北偏西15°C.北偏東10°D.北偏西10°解析如圖.4 .一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在

5、船的南偏西60。，另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速度是每小時(shí)（）.A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析如圖所示，依題意有N84C=60。,/94。=75°,所以NC4。=aCDA=15°,從而8=01=10（海里），/c8在口948（7中，得48二5（海里），于是這艘船的速度是二10（海里/時(shí)）.答案C5.海上有A,B,。三個(gè)小島，測(cè)得A,8兩島相距10海里，ZBAC=60°,ZA8C=75。,則8,C間的距離是海里.解析由正弦定理知二.解得8c=5（海里）.答案5KAOXIANGTANJIUDAOXI 02 » 考向探究導(dǎo)

6、析研析考向案例突破考向一測(cè)量距離問(wèn)題【例1】A如圖所示,產(chǎn)%為了測(cè)量河對(duì)岸A,8兩點(diǎn)間的距離，在這岸定一基線C。，現(xiàn)已測(cè)出CO=a和NACD=60。，ZBCD=3OZBDC=105°,ZDC=60°,試求AB的長(zhǎng).審題視點(diǎn)在MCD中，求出8C,在中，求出ABO解在AC。中，已知CD=a,ZACD=60°,/AOC=60。,所以4C=a：NBC。=3O°,ZBDC=105%ZCBD=45°在BCD中，由正弦定理可得8C=a在aABC中，已經(jīng)求得4c和8C,乂因?yàn)镹AC8=30。，所以利用余弦定理可以求得A,8兩點(diǎn)之間的距離為A8=a。方法總結(jié)況1

7、）利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型.（2）利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解.【訓(xùn)練1】如圖，A,8C,。都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、。為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測(cè)量船于水面4處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75。,30。，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=O.Ikmo試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求8,。的距離.解在4C。中,ND4C=30。，ZADC=600-ZDAC=3009所以CO=AC=0。1km,乂/8。=180。-60。-60。=60。,故。8是4。1。底邊/10的中垂線

8、,所以8。=BAq乂:ZABC=150在A8C中，=,所以A8=(km),同理,BD=(km).故仄。的距離為km.考向二測(cè)量高度問(wèn)題【例2】a如圖，山腳下有一小塔A以在塔底8測(cè)得山頂C的仰角為60。,在山頂。測(cè)得塔頂A的俯角為45。，已知塔高A8=20m,求山高審題視點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作CEIIDB，延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)E,在5EC中建立關(guān)系.解如圖，設(shè)C0=xm,則4E=x-20m,tan60°=,BD=x(m).在AEC中，x20=x,解得x=10(3+)m.故山高CD為10(3+)m°方法總結(jié)(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(畫(huà)出)示意圖、

9、明確在哪個(gè)三角形內(nèi)應(yīng)用正、余弦定理.【訓(xùn)練2】如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高A8時(shí)，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與。，現(xiàn)測(cè)得CD=s,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為6,求塔高AB.A解在BCO中，ZCBD=n-a-/3,由正弦定理得=,所以BC=在RtA48C中，AB=BCtanZACB=.考向三正、余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用【例3】a如圖所示，在梯形48C。中，AD/BC,AB=5,AC=9,ZBCA=30°,ZADB=45°,求8。的長(zhǎng).445BnbN皿審題視點(diǎn)由于48=5，乙408=45。,因止匕要求8。，可在乂8。中，由正弦定理求解.關(guān)鍵是確定N8AO的正弦

10、值.在&48C中48=5,4。二9,AACB二30。，因此可用正弦定理求出sin乙ABC,再依據(jù)乙鉆C與互補(bǔ)確定sinZBAD即可.解在ABC中，AB=5,AC=9,ZBCA=30°.由正弦定理，得=,sinZABC=.*：AD/BC,：.ZBAD=SO°-ZABC,于是sinZBAD=sinZABC=.同理，在AB。中，AB=5,sinZBAD=,NAO8=45。，由正弦定理：=,解得8。=.故8。的長(zhǎng)為.方法總結(jié)要利用正、余弦定理解決問(wèn)題，需將多邊形分割成若干個(gè)三角形，在分割時(shí).要注意有利于應(yīng)用正、余弦定理.【訓(xùn)練3】如圖，在ABC中，已知/8=45。，。是BC

11、邊上的一點(diǎn)，AO=10,AC=14,DC=6,求48的長(zhǎng).AC=14,DC=6,由余弦定理得cos/4£>C=一，AZADC=nO°,AZADB=60°o在ABO中4。=10,N8=45o,NAO8=60。，由正弦定理得=,；A8=5.M 1入 A，" -03» 考題專(zhuān)項(xiàng)突破KAOTIZXUANXIANGTUPO冷艙展示：名師解讀規(guī)范解答9如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)【問(wèn)題研究】（1）解三角形實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是：審題建模（準(zhǔn)確地畫(huà)出圖形）一求解一檢驗(yàn)作答.,（2）三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的類(lèi)型：，實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后、已知量與未知量全部集

12、中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之:，實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形、這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理。，【解決方案】航海、測(cè)量問(wèn)題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù)、這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過(guò)這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中?！臼纠縜（本題滿(mǎn)分12分）如圖，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于4處時(shí)，

13、乙船位于甲船的北偏西105。方向的囪處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)中船航行20分鐘到達(dá)4處時(shí)，乙船航行到中船的北偏西120。方向的電處，此時(shí)兩船相距10海里.問(wèn):乙船每小時(shí)航行多少海里？2甲思維突幼（1）分清已知條件和未知條件（待求）.（2）將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中.（3）利用正、余弦定理求解.解答示范如圖，連接由已知42%=10,A1A230X10,AA2=乂ZAiA2B2=180°-120°=60°,是等邊三角形，二Aj52=AA2=10,由已知8=20,ZBAB2=105°-60°=45°,（8分）在中，由余弦定理得BB=ABAB2Ai8i4&,cos45°=202+（10）2-2X20X10X=200,8182=10。因此，乙船的速度為x60=30（海里/時(shí)）.（12分）覆瓦物利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題要注意根據(jù)條件畫(huà)出示意圖,結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形.然后轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題進(jìn)行求解.【試一試】如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的8處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30。、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東0的方向即沿直線CB前往B處救