求二面角方法定義法

1、面角一一1定義法二面角.面角大小的求法中知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，方法的靈活性較大，一般而言,.面角的大小往往轉(zhuǎn)化為其平面角的大小，從而又化歸為三角形的內(nèi)角大小,在其求解過(guò)程中，主要是利用平面幾何、立體幾何、三角函數(shù)等重要知識(shí)。求二面角大小的關(guān)鍵是，根據(jù)不同問(wèn)題給出的幾何背景，恰在此時(shí)當(dāng)選擇方法，作出二面角的平面角，有時(shí)亦可直接運(yùn)用射影面積公式（設(shè)二面角的度S數(shù)為日，則cos6=,多用于求無(wú)棱二面角）求出二面角的大小。S側(cè)面三角形求二面角的大小的基本方法為先證后算，即先由有關(guān)立幾結(jié)論找出二面角的平面角（大多數(shù)題是用三垂線法去找），然后借助于解三角形求出平面角.現(xiàn)將二面角大小的求法歸類分析如下:定義法：

2、利用二面角的平面角定義，在二面角棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)）兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線、兩射線所成角就是二面角的平面角.用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性1.如圖，四面體ABCD的棱BD長(zhǎng)為2,其余各棱的長(zhǎng)均是面角ABDC、BACD的大小解析：取BD的中點(diǎn)。，連AO、OC在AABD中，AB=AD=衣，BD=2,AABD是等腰直角三角形,同理OCBD，/AOC是二面角ABDC的平面角。又AO=OC=1,AC=AOC=90°即二面角ABDC為直二面角。(2)取AC的中點(diǎn)E,連BE、DE,.AB=BC,AD=DC,，BD，AC,DELAC,BED就是二面角的平面角在ABDE中，BE=DE=,由余弦

3、定理，得cos，Z=-3解:D2.在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。PA.LABPA_LAD>=PB=PD,AB=AD=a,PB=PD'BC=DC=PBD=PDCPC=PC過(guò)B作BH，PC于H,連結(jié)DHB使DHPC,故/BHD為二面角B-PC-D的平面角。因PB=72a,BC=a,pc=73a,-PBBC=Sbc=PCBH,貝UBH=a=DH223在4BHD中由余弦定理，得:a'、3 )2-(V2a)cos/BHD=222BH2DH2BD22BHLBD又0v/BHDv兀，則/BHD=2,二面角B-PC

4、-D的大小是。3.三棱錐A-BCD中，ZBAC=/BCD=90°,/DBC=30°,AB=AC=<6AD =4,求二面角 A BC D的度數(shù)。DC -AB D的大小。解：cos 1 =3練習(xí):若 AC = CD4.如圖 AC，面 BCD, BDL面 ACD ,=1, Z ABC =30°,求二面角AD即所求角的大小為C（此題也可用垂線法）1.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯DCBarccos。 3形，AB/DC/DAB=90：PA_L底面ABCD且PA=AD=D$AB=1,2PB的中點(diǎn)。(I)證明：面PADL面PCD(n)求AC與PB所成的角；(出)求面

5、AMCW面BM的成二面角的大小。萬(wàn)案一：(I)證明：PAL面ABCDCD±AQ由三垂線定理得：CDLPD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AQPD都垂直，CDX面PAD.又CD=面PCD面PADh面PCD.(n)解：過(guò)點(diǎn)B作BE/CA,且BE=CA貝U/PBE是AC與PB所成的角.連結(jié)AE,可知AC=CB=BE=AE=2,又AB=2,所以四邊形ACBE為正方形.由PA1面ABCD導(dǎo)/PEB=9(J在RtPEB中BE=J2,PB=V,5,COSPBE=BE=21°PB5(出)解：作ANI±CM垂足為N,連結(jié)BN.在RtPAB中,AM=MB又AC=CB.AM挈BMC

6、,BNI±CM故/ANB為所求二面角的平面角.CB±AC,由三垂線定理，得CB±PC,在RtPCB中,CM=MB所以CM=AM.1在等腰三角形AMC中，AN-MCCM2(拳)2AC,ANAB=2cos-ANB =AN2 BN2 - AB22 AN BN故所求的二面角為arccos(-).方法二：因?yàn)镻ALPD,PALAB,AD±AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,-).2(I)證明：因而=(0,0,1),DC=(0,1,0)，故APDC=0,所以AP_LDC.由題設(shè)知AD±DC,且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC!面PAD.又DC面PCD上，故面PADL面PCD.(n)解：因Ac-(1,1,0),PB-(0,2,-1),(m)解：在MC上取一點(diǎn)N(