matlab積分計算

1、符號積分例1 syms x t %定義符號變量x，t s=4*x*t; %定義符號表達式s int(s,2,sin(t) %求符號表達式s關(guān)于 默認變 量 x從2到sin(t)的定積分 ans = 2*t*(sin(t)2-4)q 問題背景和實驗目的問題背景和實驗目的定積分的數(shù)值計算定積分的數(shù)值計算u 定積分計算的基本公式是牛頓萊布尼茲公式。但定積分計算的基本公式是牛頓萊布尼茲公式。但當被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計算？這時就需當被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時，如何計算？這時就需要利用要利用近似計算近似計算。特別是在許多實際應(yīng)用中，被積函。特別是在許多實際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達式，而是一

2、條實驗記錄曲線，或數(shù)甚至沒有解析表達式，而是一條實驗記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。一組離散的采樣值，此時只能用近似方法計算定積分。u 本實驗主要研究定積分的三種近似計算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時介紹 Matlab 計算定積分的相關(guān)函數(shù)。q 矩形法矩形法u 定積分的定義：定積分的定義：實驗二、定積分的近似計算實驗二、定積分的近似計算badxxf)(,1iiixx0 x1x2x1nxnx 1x2x1ix ix nx,)(iixf ,1iiixxxiixxmax0limxnixni 1矩形法1( )(), nbiiaif x dxfx n 充分大，充分大，x

3、充分小充分小u 定積分的近似：定積分的近似：l 通常我們?nèi)⊥ǔＮ覀內(nèi)xxx21nabh左點法右點法中點法l 點點 可以任意選取，常見的取法有：可以任意選取，常見的取法有： 左端點左端點 ，右端點，右端點 和中點和中點 。,1iiixx1ixix2/ )(1iixx()/ixhban, 1 2ixaihi, ,n步長節(jié)點u 右點法：右點法：11( )()()nnbiiaiif x dxfxhf xixu 中點法：中點法：1111( )()22(nnbiiiaiixxf x dxfxhfiixx111( )()()nnbiiaiif x dxfxhf x-1ixu 左點法：左點法：左點法、右點法

4、和中點法解：解：矩形法舉例h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 u 例：用不同的矩形法計算下面的定積分例：用不同的矩形法計算下面的定積分 ( 取取 n=100 )， 并比較這三種方法的相對誤差。并比較這三種方法的相對誤差。1021xdxl 左點法：左點法：niiniixhxfhxdx1121110211 )(1 0.78789399673078l 右點法：右點法：1201()1niidxhf xx 0.78289399673078 0.78540024673078niiixxfhxdx11102)2(1l 中點法：中點法：(i = 0,1,2,.,1

5、00)11020arctan1dxxx40.78789399673078/4/40.003178l 理論值：理論值：l 左點法相對誤差：左點法相對誤差：0.78289399673078/4/40.0031880.78540024673078/4/4 -62.65310 u 誤差分析誤差分析矩形法舉例l 右點法相對誤差：右點法相對誤差：l 中點法相對誤差：中點法相對誤差：不同的方法有不同的計算精度有沒有更好的近似計算定積分的方法有沒有更好的近似計算定積分的方法 ?)(xfab1ixixxyobadxxfS)(1S2SiSnSniibaSdxxfS1)(定積分幾何意義iSiiiixyyS21nix

6、fyii, 2 , 1 ),(u 曲邊小梯形曲邊小梯形的面積可以由的面積可以由直邊小梯形直邊小梯形的面積來近似的面積來近似u 整個整個曲邊梯形曲邊梯形的面積的面積：badxxfS)(iniiiniixyyS1112梯形法u 如果我們?nèi)绻覀?n 等分區(qū)間等分區(qū)間 a,b，即令：即令：badxxfS)(niiiiniiiniiyyhxyyS1111122nxxx21nabh則則22)(110nnbayyyyhdxxf梯形公式梯形公式梯形法梯形公式與中點公式有什么區(qū)別梯形公式與中點公式有什么區(qū)別 ?解：解：101120122nndxyyhyyx 0.78539399673078u 例：用梯形法計算

7、下面定積分例：用梯形法計算下面定積分 ( 取取 n=100 )， 并計算相對誤差并計算相對誤差梯形法舉例1021xdxa=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) l 相對誤差：相對誤差：0.78539399673078/4/4 -65.30510 u 2n 等分區(qū)間等分區(qū)間 a,b ，得得該直線用拋物線代替，計算精度是否會更好？11, , 0,1,22ibahxihinnu 計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：計算每個節(jié)點上的函數(shù)值：nixfyii2 , 1 , 0 ),(拋物線法u 在區(qū)間在區(qū)間 x0,

8、 x2 上，用過以下三點上，用過以下三點),( ),( ),(222111000yxPyxPyxP的的拋物線拋物線來近似原函數(shù)來近似原函數(shù) f (x) 。u 設(shè)過以上三點的拋物線方程為：設(shè)過以上三點的拋物線方程為：則在區(qū)間區(qū)間 x0, x2 上，有y = x2 + x + = p1(x) 2020)()(1xxxxdxxpdxxf20) (2xxdxxx20 2 3 23xxxxx20012 (4)6xxyyy012 (4)6bayyyn拋物線法u 同理可得：同理可得：)4(6)( )4(6)(2122243222242nnnxxxxyyynabdxxfyyynabdxxfnnu 相加即得：相

9、加即得：2221222121( )( ) (4) 6iinbxaxiniiiif x dxf x dxbayyyn拋物線法u 整理后可得：整理后可得：)(2 )(46 )(2242123120nnnbayyyyyyyynabdxxf或或辛普森辛普森 (Simpson) 公式公式拋物線法公式拋物線法公式拋物線法)(461123120102nnyyyyynabxdx 0.78539816339745)(22242nyyyu 例：用拋物線法計算下面定積分例：用拋物線法計算下面定積分 ( 取取 n=100 )， 并計算相對誤差并計算相對誤差1021xdx解：解：a=0, b=1, n=100, yi

10、= f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 0.78539816339745/4/4-162.82710 l 相對誤差：相對誤差：拋物線法u 梯形法：梯形法：trapztrapz(x,y)x 為分割點（節(jié)點）組成的向量，y 為被積函數(shù)在節(jié)點上的函數(shù)值組成的向量。22)(110nnbayyyynabdxxf,x10nxxx01y (),(),()nf xf xf xq Matlab 近似計算定積分的相關(guān)函數(shù)近似計算定積分的相關(guān)函數(shù)Matlab 計算定積分函數(shù)介紹前面的做法u 例：用梯形法計算下面定積分例：用梯形法計算下面定積分 ( 取取 n=100) 1021xdx解：解：a=0, b=1,

11、n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); trapz(x, y)trapz函數(shù)1012120(/2/2)1nndxbayyyyyxntrapz(x,1./(1+x.2)trapz 舉例quad(f,a,b,tol)f = f(x) 為被積函數(shù)，a,b 為積分區(qū)間，tol 為計算精度將自變量看成是將自變量看成是向量向量badxxf)(u 拋物線法：拋物線法：quadl 不用自己分割積分區(qū)間l 可以指定計算精度，若不指定，缺省精度是 10-6l 精度越高，函數(shù)運行的時間越長l 此處的函數(shù) f 是數(shù)值形式，應(yīng)該使用數(shù)組運算

12、，即 點運算：.*，./ ，. ，. 注：拋物線法1021xdx解： quad(1./(1+x.2),0,1) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10) quad(1./(1+x.2),0,1,10e-16)函數(shù)表達式一定要用函數(shù)表達式一定要用 單引號單引號 括起來！括起來！涉及的運算一定要用涉及的運算一定要用 數(shù)組運算數(shù)組運算！u 例：用例：用 quad 計算定積分：計算定積分：quad 舉例q 拋物線法計算二重積分：拋物線法計算二重積分： dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)u tol 為計算精度，若不指定，則缺省精度為 10-6 badcdxdyyxf

13、),(u f(x,y) 可以由 inline 定義，或通過一個函數(shù)句柄傳遞u a,b 是第一積分變量的積分區(qū)間，c,d 是第二積分變量 的積分區(qū)間按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面二重積分的計算21201(43)Ixyydxdy f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f, -1,1,0,2)u f(x,y) 中關(guān)于第一自變量的運算是數(shù)組運算， 即把 x 看成是向量，y 看成是標量。 也可以全部采用數(shù)組運算例例2：計算二重積分計算二重積分 20112)34(dxdyxxy dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2) dblquad(in

14、line(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2)X例例1 1：計算二重積分計算二重積分dblquad 舉例例：例：計算計算二重積分二重積分 20112)34(dxdyxxy dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2)指定 x、y 分別是第一第一和第二第二積分變量 dblquad(inline(4*x*y+3*x.2), -1,1, 0, 2)q 被積函數(shù)被積函數(shù) f (x,y) 的另一種定義方法：的另一種定義方法：匿名函數(shù)匿名函數(shù) dblquad(y,x)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2)下面的命令運行結(jié)果和上面的一樣嗎？dblquad 舉

15、例int(f,a,b) 計算 f 關(guān)于默認自變量 的定積分，積分區(qū)間為a,b。int(f) 計算 f 關(guān)于默認自變量 的不定積分。int(f,v,a,b) 計算函數(shù) f 關(guān)于自變量 v 的定積分，積分區(qū)間為 a, bint(f,v) 計算函數(shù) f 關(guān)于自變量 v 的不定積分badvvf)( )f v dvfindsym(f,1)q 符號積分：符號積分： intint 符號積分 syms x y; f=y*sin(x); int(f,x) int(f,y) int(f) int(a+b)ans=-y*cos(x)ans=1/2*y2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*

16、b2u 例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果int 舉例u 例：用例：用 int 函數(shù)計算定積分：函數(shù)計算定積分：解：解： syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1) f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1) int(1/(1+x2),x,0,1)或或 int(1/(1+x2),0,1)1021xdx或或或或int 舉例double(a) 將將 a 轉(zhuǎn)化為雙精度型，若轉(zhuǎn)化為雙精度型，若 a 是字符，則取對應(yīng)的是字符，則取對應(yīng)的 ASCII 碼碼 a=3; double(a) double(a)例：例：ans = 3ans = 97其它相關(guān)函數(shù)221dxex x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y)l 梯形法：梯形法：l 拋物線法：拋物線法： quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10)l 符號積分法：符號積分法： syms x int(exp(x(-2),x,1,2)例例 1：用用 Matla