接觸問(wèn)題之經(jīng)驗(yàn)談

1、接觸問(wèn)題之經(jīng)驗(yàn)談關(guān)鍵字：法向關(guān)系、切向關(guān)系、罰函數(shù)、拉格朗日乘子法、擴(kuò)展拉格朗日乘子法。接觸問(wèn)題的關(guān)鍵在于接觸體間的相互關(guān)系，也就是求解對(duì)象之間的相互聯(lián)系，此關(guān)系又可分為在接觸前后的法向關(guān)系與切向關(guān)系。法向關(guān)系（垂直于接觸面的接觸關(guān)系）：在法向關(guān)系中，必須實(shí)現(xiàn)兩點(diǎn)：1）接觸力的傳遞；2）兩接觸面間沒(méi)有穿透。也就是說(shuō)即有力的傳遞，同時(shí)又不能發(fā)生穿透現(xiàn)象。ANSYS通過(guò)兩種算法來(lái)實(shí)現(xiàn)此法向接觸關(guān)系：罰函數(shù)法和拉格朗日乘子法。1、 罰函數(shù)法是通過(guò)接觸剛度在接觸力與接觸面間的穿透值（接觸位移）間建立力與位移的線(xiàn)性關(guān)系：接觸剛度×接觸位移=法向接觸力對(duì)面面接觸單元（CONTA17*系列），接觸

2、剛度由實(shí)常數(shù)FKN來(lái)定義，穿透值在程序中通過(guò)分離的接觸體上節(jié)點(diǎn)間的距離來(lái)計(jì)算。接觸剛度越大，則穿透就越小，理論上在接觸剛度為無(wú)窮大時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)完全的接觸狀態(tài)，即使穿透值等于零。但是顯而易見(jiàn)，在程序計(jì)算中，接觸剛度不可能為無(wú)窮大（否則會(huì)導(dǎo)致病態(tài)矩陣），穿透也就不可能真實(shí)達(dá)到零，而只能是個(gè)接近于零的有限值。以上力與位移的接觸關(guān)系可以很容易地合并入整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組【K】×【X】=【F】中去，并不改變總體剛度【K】的大小（【X】位移矩陣，【F】力矩陣）；同時(shí)，采用罰函數(shù)法有以下幾個(gè)問(wèn)題必須解決：1）接觸剛度FKN應(yīng)該取多大？2）接觸剛度FKN取大些可以減少虛假穿透，但是也可能會(huì)使剛度矩陣

3、成為病態(tài)。3）既然與實(shí)際情況不符合的虛假穿透既然是不可避免的，那么可以允許有多大為合適？因此，在ANSYS程序里，通常輸入FKN實(shí)常數(shù)不是直接定義接觸剛度的數(shù)值，而是定義接觸面覆蓋之下的單元?jiǎng)偠鹊囊粋€(gè)因子，這使得用戶(hù)可以方便地定義接觸剛度，一般FKN取0.1到1中間的值。當(dāng)然，在需要時(shí)，也可以把接觸剛度直接定義，例如：FKN輸入為負(fù)數(shù)，則程序?qū)⑵渲道斫鉃橹苯虞斎氲慕佑|剛度值。對(duì)于接近病態(tài)的剛度陣，不要使用迭代求解器，例如PCG等，它們會(huì)需要更多的迭代次數(shù)，同時(shí)有可能導(dǎo)致不收斂。這時(shí)可以使用直接法求解器，例如稀疏矩陣求解器等，這些求解器可以有效求解病態(tài)問(wèn)題。穿透的大小影響結(jié)果的精度：用戶(hù)可以用P

4、LESOL,CONT,PENE來(lái)在后處理中查看穿透的數(shù)值大小。如果使用的是罰函數(shù)法求解接觸問(wèn)題，用戶(hù)一般需要試用多個(gè)FKN值進(jìn)行計(jì)算，可以先用一個(gè)較小的FKN值開(kāi)始計(jì)算，例如0.1。因?yàn)檩^小的FKN有助于收斂，然后再逐步增加FKN值進(jìn)行一系列計(jì)算，最后得到一個(gè)滿(mǎn)意的穿透值。FKN的收斂性要求和穿透太大產(chǎn)生的計(jì)算誤差總會(huì)是一對(duì)矛盾。解決此矛盾的辦法是在接觸算法中采用擴(kuò)展拉格朗日乘子法。此方法在接觸問(wèn)題的求解控制中可以有更多更靈活的控制，可以更快的實(shí)現(xiàn)一個(gè)需要的穿透極限。2、拉格朗日乘子法與擴(kuò)展拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法與罰函數(shù)法不同，不是采用力與位移的關(guān)系來(lái)求接觸力，而是把接觸力作為一個(gè)獨(dú)立自

5、由度。因此這里不需要進(jìn)行迭代，而是在方程里直接求出接觸力（接觸壓力）來(lái)。Kx=F+Fcontact從而，拉格朗日乘子法不需要定義人為的接觸剛度去滿(mǎn)足接觸面間不可穿透的條件，可以直接實(shí)現(xiàn)穿透為零的真實(shí)接觸條件，這是罰函數(shù)法所不可能實(shí)現(xiàn)的，也是采用拉格朗日乘子法的優(yōu)點(diǎn)所在，但是在使用拉格朗日乘子法有下列注意事項(xiàng)：1）若剛度矩陣中有零對(duì)角元，則使得某些求解器不可使用，而只能使用直接法求解器，例如波前法或系數(shù)求解器，而PCG之類(lèi)迭代求解器是不能用于有零主元問(wèn)題的。2）由于增加了額外的自由度，剛度矩陣變大了。3）對(duì)于一個(gè)可能發(fā)生的接觸突變的解除類(lèi)問(wèn)題，就是在接觸狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，例如從接觸到分離，從分離到

6、接觸，此時(shí)接觸力有個(gè)突變，產(chǎn)生chattering（接觸狀態(tài)的振動(dòng)式交替改變）。如何控制這種chattering，是純粹拉格朗日法所難以解決的。因此，為控制chattering，ANSYS采用的是罰函數(shù)法與拉格朗日法相結(jié)合的擴(kuò)展拉格朗日乘子法。在擴(kuò)展拉格朗日法中，可以采用實(shí)常數(shù)TOLN來(lái)控制最大允許穿透值，還有最大允許拉力FTOL；這兩個(gè)參數(shù)只對(duì)擴(kuò)展拉格朗日乘子法有效。在擴(kuò)展拉格朗日乘子法里，程序按照罰函數(shù)法開(kāi)始，與純粹拉格朗日法類(lèi)似，用TOLN來(lái)控制最大允許穿透值。如果迭代中發(fā)現(xiàn)穿透大于允許的TOLN值（對(duì)CONTA178單元是TOLN，而對(duì)面面接觸單元CONTA171-174則是FTOLN），則將各個(gè)接觸單元的接觸剛度加上接觸力乘以拉格朗日乘子的數(shù)值。因此，這種擴(kuò)展拉格朗日法是不停更新接觸剛度的罰函數(shù)法，這種更新不斷重復(fù)，直到計(jì)算的穿透值小于允許值為止。盡管與拉格朗日法相比，擴(kuò)展拉格朗日法的穿透并不是零，與罰函數(shù)法相比，可能迭帶次數(shù)會(huì)更多；但是擴(kuò)展拉格朗日法有下列優(yōu)點(diǎn)：1）較少病態(tài)矩陣，對(duì)于接觸單元的接觸剛度取值可能更合理。2）與罰函數(shù)法相比較少病態(tài)，與單純的拉格朗日法相比，又沒(méi)有剛度陣零對(duì)角元，因此在選擇求解器上沒(méi)有限制，PCG等迭代求解器都可以應(yīng)用。3）用戶(hù)可以自由控制允許的穿透值TOLN（如果輸入了TOLN，而使用罰函數(shù)法，則程序