第二講股票期權(quán)的價(jià)格特性

1、.股票的現(xiàn)價(jià)，S執(zhí)行價(jià)格，X到期期限，T股票價(jià)格的波動率，無風(fēng)險(xiǎn)利率，r期權(quán)有效期內(nèi)預(yù)計(jì)發(fā)放的紅利.股票價(jià)格，S20 40 60 80 10001020304050看漲期權(quán)價(jià)格，C股票價(jià)格，S20 40 60 80 10001020304050看跌期權(quán)價(jià)格，P假定：S=50，X=100，r=5%，=30%（年率），T=1年，不分紅.執(zhí)行價(jià)格，X20 40 60 80 10001020304050看漲期權(quán)價(jià)格，C執(zhí)行價(jià)格，X20 40 60 80 10001020304050看跌期權(quán)價(jià)格，P假定：S=50，X=100，r=5%，=30%（年率），T=1年，不分紅.到期日，T0.4 0.8 1.2

2、 1.6 2.00246810看漲期權(quán)價(jià)格，C到期日，T0.4 0.8 1.2 1.6 2.00246810看跌期權(quán)價(jià)格，P假定：S=50，X=100，r=5%，=30%（年率），T=1年，不分紅.幾點(diǎn)說明： 到期期限對歐式、美式期權(quán)的影響不同。 美式期權(quán)：期權(quán)有效期限增加，價(jià)值增加； 歐式期權(quán)：不確定.波動率，10 20 30 405003691215看漲期權(quán)價(jià)格，C10 20 30 405003691215看跌期權(quán)價(jià)格，P假定：S=50，X=100，r=5%，=30%（年率），T=1年，不分紅波動率，.股票價(jià)格的波動率用來衡量未來股票價(jià)格變動的不確定性。 波動率增加，股票上升很高或下降很低

3、的機(jī)會隨之增加。 股票持有者：兩種變動趨勢將互相抵消； 期權(quán)持有者：波動率增加，價(jià)值增加。.無風(fēng)險(xiǎn)利率，r（%）2468100246810看漲期權(quán)價(jià)格，C2468100246810看跌期權(quán)價(jià)格，P假定：S=50，X=100，r=5%，=30%（年率），T=1年，不分紅無風(fēng)險(xiǎn)利率，r（%）.除息日后，紅利將減少股票的價(jià)格。 看漲期權(quán)：價(jià)值與預(yù)期紅利的大小呈反向變動； 看跌期權(quán)：價(jià)值與預(yù)期紅利的大小呈正向變動。.變量變量歐式看漲歐式看漲期權(quán)期權(quán)歐式看跌歐式看跌期權(quán)期權(quán)美式看漲美式看漲期權(quán)期權(quán)美式看跌美式看跌期權(quán)期權(quán)股票價(jià)格+-+-執(zhí)行價(jià)格-+-+到期期限？+波動率+無風(fēng)險(xiǎn)利率+-+-紅利-+-+“

4、+”表示若該變量上升，則期權(quán)價(jià)格將上升?！?”表示若該變量上升，則期權(quán)價(jià)格將下降?！?？”表示兩者無必然聯(lián)系。.如果期權(quán)的價(jià)格超過其上限或低于其下限，則套利有利可圖。假設(shè)條件 存在一些市場參與者； 市場中沒有交易費(fèi)用； 市場中所有交易利潤（減去交易損失后）具有相同的稅率； 可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金； 市場中不存在套利機(jī)會；.符號： S:股票現(xiàn)價(jià)； X:期權(quán)執(zhí)行價(jià)格； T:期權(quán)的到期時(shí)間； ST:在T時(shí)刻股票的價(jià)格； r:在T時(shí)刻到期的投資的無風(fēng)險(xiǎn)利率（連續(xù)復(fù)利）； (r0,且r是名義利率，不是實(shí)際利率) C:購買一股股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)值； P:出售一股股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)值； c:購

5、買一股股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值； p:出售一股股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值；.看漲期權(quán)價(jià)格上限： 股票價(jià)格 c S 或 C S （否則：套利，買入股票并賣出看漲期權(quán)）看跌期權(quán)價(jià)格上限： 執(zhí)行價(jià)格 p X 或 P X p Xe-rT（歐式期權(quán)現(xiàn)值）（否則：套利，出售期權(quán)并將所得收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。）.不付紅利的歐式看漲期權(quán)的下限不付紅利的歐式看跌期權(quán)的下限提前執(zhí)行：不付紅利股票的美式看漲期權(quán)的下限提前執(zhí)行：不付紅利股票的美式看跌期權(quán)的下限. S-Xe-rT證明： 組合A:一個歐式看漲期權(quán)加上金額為Xe-rT的現(xiàn)金； 組合B：一股股票 cmax( S-Xe-rT,0).當(dāng)歐式看漲

6、期權(quán)價(jià)格小于下限時(shí)的套利機(jī)會當(dāng)歐式看漲期權(quán)價(jià)格小于下限時(shí)的套利機(jī)會市場情況市場情況： 某投資者獲得報(bào)價(jià)如下（基于不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)）： 執(zhí)行價(jià)格為18美元，有效期限為一年，看漲期權(quán)價(jià)格為3美元，股票現(xiàn)價(jià)為20美元，一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%做法做法：1.購買看漲期權(quán)2.賣空股票3.將賣空股票收入扣除購買期權(quán)成本后的盈余按10%年率投資一年結(jié)果：期初現(xiàn)金流=20-3=17美元。將其投資一年。期末：收入=17e0.1=18.79美元1.期權(quán)到期時(shí)，如果股票價(jià)格高于18美元，則：投資者執(zhí)行期權(quán)，并將股票空頭平倉，可獲利：18.79-18=0.79美元；2.期權(quán)到期時(shí)，如果股票價(jià)格低于18美元

7、，則從市場直接購買股票將股票空頭平倉，則獲利：18.79-ST.舉例：考慮一個不支付紅利的股票的歐式看漲期權(quán)，此時(shí)股票價(jià)格為51美元，執(zhí)行價(jià)格為50美元，距離到期日6個月，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%。則期權(quán)價(jià)格下限是多少？解答：S=51美元，X=50美元，T=0.5，r=0.12，則：S-Xe-rT=51-50e-0.120.5=3.91美元. Xe-rT-S證明： 組合C:一個歐式看跌期權(quán)加上一股股票； 組合D：金額為Xe-rT的現(xiàn)金 pmax(Xe-rT-S,0).當(dāng)歐式看跌期權(quán)價(jià)格小于下限時(shí)的套利機(jī)會當(dāng)歐式看跌期權(quán)價(jià)格小于下限時(shí)的套利機(jī)會市場情況市場情況： 某投資者獲得報(bào)價(jià)如下（基于不支付紅利

8、股票的歐式看跌期權(quán)）： 執(zhí)行價(jià)格為40美元，有效期限為0.5年，看跌期權(quán)價(jià)格為1美元，股票現(xiàn)價(jià)為37美元，一年期無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%做法做法：1.借38美元，6個月期2.購買一份看跌期權(quán)3.購買一股股票結(jié)果：期初：-38美元。（6個月投資）期末：支付38e0.05*0.5=38.96美元1.期權(quán)到期時(shí)，如果股票價(jià)格低于40美元，則：投資者執(zhí)行期權(quán)，付本還息后，可獲利：40-38.96=1.04美元；2.期權(quán)到期時(shí)，如果股票價(jià)格高于40美元，則，投資者出售股票，付本還息后，則獲利：ST-38.96.舉例：考慮一個不支付紅利的股票的歐式看跌期權(quán)，此時(shí)股票價(jià)格為38美元，執(zhí)行價(jià)格為40美元，距離到期日3

9、個月，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%。則期權(quán)價(jià)格下限是多少？解答：S=38美元，X=40美元，T=0.25，r=0.1，則：Xe-rT-S=40e-0.250.1-38=1.01美元.證明： 組合A:一個歐式看漲期權(quán)加上金額為Xe-rT的現(xiàn)金； 組合C：一個歐式看跌期權(quán)加上一股股票 期權(quán)到期時(shí)，兩個組合價(jià)值均為max（ST,X),由于歐式期權(quán)到期日前不能執(zhí)行，因此，組合A和組合C必須具備相等的價(jià)值，則： c+ Xe-rT=p+S.歐式期權(quán)平價(jià)關(guān)系不滿足時(shí)的套利機(jī)會：歐式期權(quán)平價(jià)關(guān)系不滿足時(shí)的套利機(jī)會：相對看跌期權(quán)價(jià)格而言看漲期權(quán)價(jià)格被低估相對看跌期權(quán)價(jià)格而言看漲期權(quán)價(jià)格被低估市場情況市場情況： 某投資者

10、獲得報(bào)價(jià)如下（基于不支付紅利股票的歐式期權(quán)）：股票價(jià)格31美元，3個月期無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元，3個月到期。歐式看漲期權(quán)價(jià)格：3美元 歐式看跌期權(quán)價(jià)格：2.25美元做法做法：1.購買看漲期權(quán)2.出售看跌期權(quán)3.賣空一股股票結(jié)果結(jié)果：期初現(xiàn)金流：31-3+2.25=30.25美元，3個月無風(fēng)險(xiǎn)投資。期末：無風(fēng)險(xiǎn)投資所得為30.25e0.25*0.1=31.02美元1.到期時(shí)，如果股票價(jià)格大于30美元，則：投資者執(zhí)行看漲期權(quán)，即按照30美元價(jià)格購買一份股票，將股票空頭平倉，可獲利31.02-30=1.02美元；2.到期時(shí)，如果股票價(jià)格小于30美元，則：該投

11、資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即投資者按照30美元價(jià)格購買一份股票，將空頭平倉，可獲利31.02-30=1.02美元；.歐式期權(quán)平價(jià)關(guān)系不滿足時(shí)的套利機(jī)會：歐式期權(quán)平價(jià)關(guān)系不滿足時(shí)的套利機(jī)會：相對看漲期權(quán)而言看跌期權(quán)被低估相對看漲期權(quán)而言看跌期權(quán)被低估市場情況市場情況： 某投資者獲得報(bào)價(jià)如下（基于不支付紅利股票的歐式期權(quán)）：股票價(jià)格31美元，3個月期無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格都是30美元，3個月到期。歐式看漲期權(quán)價(jià)格：3美元 歐式看跌期權(quán)價(jià)格：1美元做法做法：1.出售看漲期權(quán)2.購買看跌期權(quán)3.購買一股股票結(jié)果結(jié)果：期初現(xiàn)金流：-31-1+3=-29美元，3個月以無風(fēng)險(xiǎn)利率

12、進(jìn)行融資。期末：無風(fēng)險(xiǎn)融資本息歸還：29e0.25*0.1=29.73美元1.到期時(shí)，如果股票價(jià)格大于30美元，則：該投資者的對手執(zhí)行看漲期權(quán)，這意味著該投資者需按30美元價(jià)格出售一份股票，可獲利30-29.73=0.27美元；2.到期時(shí)，如果股票價(jià)格小于30美元，則：該投資者執(zhí)行看跌期權(quán)，這意味著該投資者按30美元出售一份股票，可獲利30-29.73=0.27美元；.問題：問題： 提前執(zhí)行不支付紅利股票的美提前執(zhí)行不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)是否明智？式看漲期權(quán)是否明智？.證明：組合E：一個美式看漲期權(quán)加上金額為Xe-rT的現(xiàn)金；組合F：一股股票C S-Xe-rTr0,CS-X提前執(zhí)行：C=

13、S-X故，提前執(zhí)行不明智提前執(zhí)行不明智.X股價(jià)為S的不付紅利股票的美式或歐式看漲期權(quán)價(jià)格圖股價(jià)S看漲期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)的價(jià)格總是高于其內(nèi)涵價(jià)值max（S-X,0)隨r，T和波動率的增加，看漲期權(quán)價(jià)格將更加遠(yuǎn)離內(nèi)涵價(jià)值.結(jié)論:不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)不支付紅利股票的美式看漲期權(quán)不應(yīng)提前執(zhí)行不應(yīng)提前執(zhí)行 期權(quán)提供保險(xiǎn)：當(dāng)持有看漲期權(quán)而不是持有股票本身時(shí)，看漲期權(quán)保證持有者在股票價(jià)格下降到執(zhí)行價(jià)格之下時(shí)不受損失；一旦該期權(quán)被執(zhí)行，股票價(jià)格取代執(zhí)行價(jià)格，保險(xiǎn)則消失。 與貨幣的時(shí)間價(jià)值有關(guān)：支付執(zhí)行價(jià)格越晚越好。.問題：問題： 提前執(zhí)行不支付紅利股票的美式看跌期提前執(zhí)行不支付紅利股票的美式看跌期權(quán)是否

14、明智？權(quán)是否明智？.結(jié)論：提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權(quán)提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權(quán)可可能能是明智的是明智的。事實(shí)上，在期權(quán)有效期內(nèi)的任一給定的時(shí)刻，如果看跌期權(quán)的實(shí)值額很大，則應(yīng)提前執(zhí)行。.證明：組合G：一個美式看跌期權(quán)加上一股股票組合F：金額為Xe-rT的現(xiàn)金PX-S可能提前執(zhí)行是明智的可能提前執(zhí)行是明智的.X股價(jià)為S的不付紅利股票的美式看跌期權(quán)價(jià)格圖股價(jià)S美式看跌期權(quán)價(jià)格美式看跌期權(quán)的價(jià)值通常等于或高于內(nèi)涵價(jià)值max（X-S,0)r0,當(dāng)股票價(jià)格足夠低時(shí)，立即執(zhí)行美式看跌期權(quán)是非常明智的。A當(dāng)r減少，增加，T增加時(shí)，移動.X股價(jià)為S的不付紅利股票的歐式看跌期權(quán)價(jià)格圖股價(jià)S歐式看跌期權(quán)價(jià)格B一些

15、情況下，投資者迫切希望提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)，因此，美式看跌期權(quán)價(jià)值通常高于相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)。由于美式看跌期權(quán)有時(shí)等于其內(nèi)涵價(jià)值，故，歐式看跌期權(quán)的價(jià)值有時(shí)低于內(nèi)涵價(jià)值max（X-S,0).看漲期權(quán)價(jià)格和看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系僅適用于歐式歐式期權(quán)。即： c+ Xe-rT=p+S美式期權(quán)價(jià)格的關(guān)系： S-XC-PS-Xe-rT.證明：組合I：一個歐式看漲期權(quán)加上金額為X的現(xiàn)金；組合J：一個美式看跌期權(quán)加上一股股票 S-XC-PS-Xe-rT.舉例：考慮不付紅利股票的美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為20美元，到期期限為5個月，期權(quán)價(jià)格為1.5美元。同一股票相同執(zhí)行價(jià)格和到期期限的歐式看漲期權(quán)價(jià)格也如此

16、。假定，股票現(xiàn)價(jià)19美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率10%。執(zhí)行價(jià)格為20美元，到期期限為5個月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格為？執(zhí)行價(jià)格為20美元，到期期限為5個月的美式看跌期權(quán)價(jià)格區(qū)間為？.解答： 1. 因?yàn)椋琧+ Xe-rT=p+S， 則p=1.5+20e-0.1*5/12-19=1.68美元 2. 因?yàn)?，S-XC-PS-Xe-rT 則：19-20C-PP-C0.18 1 P-1.50.18 2.5P1.68.歐式期權(quán)： cS-D-Xe-rT pD+Xe-rT-S D為期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值 （假定在除息日發(fā)放紅利）.證明：組合A:一個歐式看漲期權(quán)加上金額為D+Xe-rT的現(xiàn)金組合B：一股股票組合C：一個歐式看跌期權(quán)加上一股股票組合D：金額為D+Xe-rT的現(xiàn)金cS-D-Xe-rT pD+Xe-rT-S.提前執(zhí)行支付紅利的美式看漲期權(quán)是明智的嗎？不確定不確定有時(shí)在除息日前，有時(shí)在除息