幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(老師版)

1、 1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，yx2，y，y的導(dǎo)數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).知識(shí)點(diǎn)一幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)思考(1)函數(shù)f(x)c，f(x)x，f(x)x2的導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義分別是什么？(2)函數(shù)f(x)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？答案(1)常數(shù)函數(shù)f(x)c：導(dǎo)數(shù)為0，幾何意義為函數(shù)在任意點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直于y軸，斜率為0；當(dāng)yc表示路程關(guān)于時(shí)

2、間的函數(shù)時(shí)，y0可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即一直處于靜止?fàn)顟B(tài).一次函數(shù)f(x)x：導(dǎo)數(shù)為1，幾何意義為函數(shù)在任意點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為1，當(dāng)yx表示路程與時(shí)間的函數(shù)，則y1可以解釋為某物體作瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)；一般地，一次函數(shù)ykx：導(dǎo)數(shù)yk的幾何意義為函數(shù)在任意點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為k，|k|越大，函數(shù)變化得越快.二次函數(shù)f(x)x2：導(dǎo)數(shù)y2x，幾何意義為函數(shù)yx2的圖象上點(diǎn)(x，y)處的切線(xiàn)斜率為2x，當(dāng)yx2表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)時(shí)，y2x表示在時(shí)刻x的瞬時(shí)速度為2x.(2)反比例函數(shù)f(x)：導(dǎo)數(shù)y，幾何意義為函數(shù)y的圖象上某點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為.知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)

3、函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a>0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a>0，且a1)f(x)ln xf(x)思考由函數(shù)yx，yx2的導(dǎo)數(shù)，你能得到y(tǒng)x(Q*)的導(dǎo)數(shù)嗎？如何記憶該公式？答案因yx，得y1；yx2，得y2x，故yx的導(dǎo)數(shù)yx1，結(jié)合該規(guī)律，可記憶為“求導(dǎo)冪減1，原冪作系數(shù)”.題型一運(yùn)用求導(dǎo)公式求常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)；(3)ycos ；(4)y22x.解(1)

4、y(x5)5x6； (2)y；(3)y0； (4)y(22x)(4x)4x·ln 4.反思與感悟求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法：(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運(yùn)算比較繁雜；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、降低運(yùn)算難度.解題時(shí)根據(jù)所給問(wèn)題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式.跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4)y.解(1)y8x7； (2)yxln xln 2；(3)yx，y； (4) y.題型二利用導(dǎo)數(shù)公式求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程例2求過(guò)曲線(xiàn)ysin x上點(diǎn)P且與過(guò)這點(diǎn)的切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程.解ysin x，ycos x，曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切

5、線(xiàn)斜率是：y|cos.過(guò)點(diǎn)P且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的斜率為，故所求的直線(xiàn)方程為y，即2xy0.反思與感悟?qū)?shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，兩條直線(xiàn)互相垂直時(shí)，其斜率之積為1(在其斜率都存在的情形下).跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)x34x25x4.(1)求曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線(xiàn)方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)的曲線(xiàn)f(x)的切線(xiàn)方程.解(1)f(x)3x28x5，f(2)1.又f(2)2，曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線(xiàn)方程為y(2)x2，即xy40.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x4x5x04).f(x0)3x8x05，切線(xiàn)方程為y(2)(3x8x05)(x2).又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(

6、x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02).整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01.當(dāng)x02時(shí)，f(x0)1，此時(shí)所求切線(xiàn)方程為xy40；當(dāng)x01時(shí)，f(x0)0，此時(shí)所求切線(xiàn)方程為y20.故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，2)的曲線(xiàn)f(x)的切線(xiàn)方程為xy40或y20.在利用求導(dǎo)公式時(shí)，因沒(méi)有進(jìn)行等價(jià)變形出錯(cuò)例3求函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).錯(cuò)解y，y，故y.錯(cuò)因分析出錯(cuò)的地方是根式化為指數(shù)冪，沒(méi)有進(jìn)行等價(jià)變形，從而導(dǎo)致得到錯(cuò)誤的結(jié)果.正解y，y.防范措施準(zhǔn)確把握根式與指數(shù)冪的互化：，.1.設(shè)曲線(xiàn)yaxln(x1)在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程為y2x，則a等于()A.0 B.1C.2 D.3

7、答案D解析令f(x)axln(x1)，則f(x)a.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)的斜率為f(0)a1.又切線(xiàn)方程為y2x，則有a12，a3.2.函數(shù)f(x)，則f(3)等于()A. B.0 C. D.答案A解析f(x)()，f(3).3.給出下列結(jié)論：sin ； 若y，則y2x3；若f(x)3x，則 f(1)3； 若y，則y.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析cos 為常數(shù)，則0，所以錯(cuò)誤；y(x2)2x3，所以正確；因?yàn)閒(x)3x，所以f(x)3，所以 f(1)0，所以錯(cuò)誤；y()，所以錯(cuò)誤.4.曲線(xiàn)yex在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍三角形

8、的面積為 .答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲線(xiàn)在點(diǎn)(2，e2)處的切線(xiàn)方程為ye2e2(x2)，即ye2xe2.當(dāng)x0時(shí)，ye2，當(dāng)y0時(shí)，x1.S×1×e2.5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)y.解(1)y(x3)3x313x4.(2)y().1.利用常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以比較簡(jiǎn)捷地求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其關(guān)鍵是牢記和運(yùn)用好導(dǎo)數(shù)公式.解題時(shí)，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸.2.有些函數(shù)可先化簡(jiǎn)再應(yīng)用公式求導(dǎo).如求y12sin2 的導(dǎo)數(shù).因?yàn)閥12sin2 cos x，所以y(cos x)sin x.3.對(duì)于正弦、余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一是注意函數(shù)名稱(chēng)的變化，二

9、是注意函數(shù)符號(hào)的變化.一、選擇題1.設(shè)直線(xiàn)yxb1是曲線(xiàn)yln x(x0)的一條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值為()A.1ln 2 B.ln 2 C.ln 2 D.2答案C解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，得y|，解得x02，代入曲線(xiàn)方程得y0ln 2.故切點(diǎn)為(2，ln 2)，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程得ln 2×2b1，解得bln 2，故選C.2.過(guò)曲線(xiàn)y上一點(diǎn)P的切線(xiàn)的斜率為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A. B.或C. D.答案B解析y4，x±，故選B.3.已知f(x)xa，若f(1)4，則a的值等于()A.4 B.4 C.5 D.5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)

10、a14，a4.4.函數(shù)f(x)x3的斜率等于1的切線(xiàn)有()A.1條 B.2條C.3條 D.不確定答案B解析f(x)3x2，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則3x1，得x0±，即在點(diǎn)和點(diǎn)處有斜率為1的切線(xiàn).所以有2條切線(xiàn).5.已知直線(xiàn)ykx是曲線(xiàn)yex的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)k的值為()A. B.C.e D.e答案D解析yex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則ex0ex0·x0，x01，ke.6.已知f(x)2x，g(x)ln x，則方程f(x)1g(x)的解為()A.1 B. C.1或 D.1答案B解析由g(x)ln x，得x0，且g(x).故2x1，即2x2x10，解得x或x1.又因x0，故x(

11、x1舍去)，選B.7.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(其中s的單位為米，t的單位為秒)，則質(zhì)點(diǎn)在t3秒時(shí)的速度為()A.4×34米/秒 B.3×34米/秒C.5×35米/秒 D.4×35米/秒答案D解析由s得s(t4)4t5.得s|t34×35，故選D.二、填空題8.曲線(xiàn)y在點(diǎn)M(3,3)處的切線(xiàn)方程是 .答案xy60解析y，y|x31，過(guò)點(diǎn)(3,3)的斜率為1的切線(xiàn)方程為y3(x3)，即xy60.9.若曲線(xiàn)y在點(diǎn)(a，)處的切線(xiàn)與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a .答案64解析y，y，曲線(xiàn)在點(diǎn)(a，)處的切線(xiàn)斜率k，切線(xiàn)方程為y (xa).令x

12、0得y；令y0得x3a.該切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S·3a·18，a64.10.點(diǎn)P是曲線(xiàn)yex上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)yx的最小距離為 .答案解析根據(jù)題意設(shè)平行于直線(xiàn)yx的直線(xiàn)與曲線(xiàn)yex相切于點(diǎn)(x0，y0)，該切點(diǎn)即為與yx距離最近的點(diǎn)，如圖.則在點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)斜率為1，即y|1. y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1).利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得最小距離為.三、解答題11.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)y .(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).12.已知f(x)cos x，g(x)x，求適合f(x)g(x)0的x的值.解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kZ.13.設(shè)f