課件說明第9積分

1、 9.3 三三 重重 積積 分分1三重積分的三重積分的概念概念三重積分的計算三重積分的計算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)triple integral9.3三三 重重 積積 分分問題的提出問題的提出第第9 9章章 重重 積積 分分 9.3 三三 重重 積積 分分2一、一、問題的提出問題的提出采用計算采用計算非均勻非均勻平面平面設(shè)有一非設(shè)有一非均勻空間均勻空間物體物體,非均勻非均勻空間物體的質(zhì)量空間物體的質(zhì)量占有界閉區(qū)域占有界閉區(qū)域,物體在點物體在點 (x, y, z)處的密度處的密度f ( x, y, z)為閉區(qū)域為閉區(qū)域 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù), 計算該物體的質(zhì)量計算該物體的質(zhì)量M.如果物體

2、是如果物體是均勻的均勻的, 即其密度為常數(shù)即其密度為常數(shù),則物體則物體的的質(zhì)量等于物體的密度乘以物體的體積質(zhì)量等于物體的密度乘以物體的體積. 對于計對于計算算非均勻非均勻空間物體空間物體的的質(zhì)量質(zhì)量,薄片質(zhì)量的方法薄片質(zhì)量的方法. 9.3 三三 重重 積積 分分3),(iii ,),(的近似值的近似值作為作為以以iiiiiMVf 即即(1) 分割分割 用一組曲面網(wǎng)將有界閉區(qū)域用一組曲面網(wǎng)將有界閉區(qū)域任意任意分成分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域n ,21的體積記的體積記i (),iV 為為)., 2 , 1(niMii 的質(zhì)量記為的質(zhì)量記為(2) 取近似取近似 在每個小閉區(qū)域在每個小閉區(qū)域i上任取一點

3、上任取一點iiiiiVfM ),( ), 2 , 1(ni (3) 求和求和 整個物體質(zhì)量的近似值整個物體質(zhì)量的近似值 niiiiiniiVfMM11),( (4) 取極限取極限求物體質(zhì)量的精確值求物體質(zhì)量的精確值四步四步:當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值 趨于零時趨于零時,.),(lim10 niiiiiVfM 9.3 三三 重重 積積 分分4設(shè)設(shè)f (x, y, z)是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的上的如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個在每個iv ),(iii ), 2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三

4、重積分的定義三重積分的定義nvvv ,21將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域任意分成任意分成 n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域 其中其中iv 并作和并作和作乘積作乘積有界函數(shù)有界函數(shù). .也表示它的體積也表示它的體積.表示第表示第 i 個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域,上任取一點上任取一點二、三重積分的概念二、三重積分的概念(define)定義定義9.2(1)(2)(3)(4) 9.3 三三 重重 積積 分分5記為記為函數(shù)函數(shù) f (x, y, z)在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上的上的三重積分三重積分. . 趨于零時這和的極限總存在趨于零時這和的極限總存在,iiiniivf ),(lim10 則稱此極限為則稱此極限為 vzyxfd),(即即v

5、zyxfd),(體積元素體積元素 9.3 三三 重重 積積 分分63. 三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義設(shè)被積函數(shù)設(shè)被積函數(shù), 1),( zyxf vVd1連續(xù)函數(shù)或分片連續(xù)函數(shù)一定可積連續(xù)函數(shù)或分片連續(xù)函數(shù)一定可積2. 三重積分存在性三重積分存在性則區(qū)域則區(qū)域 的體積為的體積為在在上是可積的上是可積的.當(dāng)當(dāng)f (x, y, z)的三重積分存在性時的三重積分存在性時,(existence)稱稱f (x, y, z) 9.3 三三 重重 積積 分分7對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)補(bǔ)充三重積分補(bǔ)充三重積分4. 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類似與二重積分的性質(zhì)類似.,d),(vzyxf, 0

6、vzyxfd),(則則 21其中其中1為為在在xOy坐標(biāo)面的上半部區(qū)域坐標(biāo)面的上半部區(qū)域.(property)若區(qū)域若區(qū)域關(guān)于關(guān)于xOy坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱,f (x, y, z)為為z的奇函數(shù)的奇函數(shù),f (x, y, z)為為z的偶函數(shù)的偶函數(shù),),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關(guān)于變量關(guān)于變量z的的奇奇 函數(shù)函數(shù).),(),(zyxfzyxf (偶偶) 9.3 三三 重重 積積 分分8或或,坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱關(guān)于關(guān)于xOz 的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf而得結(jié)果為零而得結(jié)果為零.例例,2222azyx vzyxd22 vzy d2 0vzy d221 0 則則為為設(shè)域設(shè)域 部分部分的的

7、為為01 z ,1坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱關(guān)于關(guān)于xOz 的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf,坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱關(guān)于關(guān)于xOy 的偶函數(shù)的偶函數(shù)是是zf 9.3 三三 重重 積積 分分9例例,2222azyx 為為設(shè)域設(shè)域 vyzxd2 0 vzyd22 vzyd4222 , 04,d),(vzyxf vzyxfd),(則則若域若域關(guān)于兩個坐標(biāo)面關(guān)于兩個坐標(biāo)面 yOz, xOz都對稱都對稱, 其中其中2是是在第一在第一, 五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域.2是是在一在一, 五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域, 則則2 f 同為同為 x, y的奇函數(shù)的奇函數(shù),f 同為同為 x, y的偶函數(shù)的偶函數(shù), 9.3

8、三三 重重 積積 分分10研究生考題研究生考題,選擇選擇, 3分分, 0,22221 zRzyx：設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域 .d4d)A(21 vxvx.d4d)B(21 vyvy.d4d)C(21 vzvz.d4d)D(21 vxyzvxyzC則則( )成立成立., 0, 0, 0,22222 zyxRzyx： 9.3 三三 重重 積積 分分11若域若域關(guān)于關(guān)于三個三個坐標(biāo)坐標(biāo)面面都都對稱對稱,其中其中3是是 在第在第一一卦限部分的區(qū)域卦限部分的區(qū)域.例例,2222azyx vyzxd 0 vzyd22 vzyd8223 , 0 vzyxfd),(則則3 ,d),(vzyxf8為為設(shè)域設(shè)域 3是

9、是 在第一在第一 卦限的部分卦限的部分, 則則f 同為同為 x, y, z的奇函數(shù)的奇函數(shù),f 同為同為 x, y, z的偶函數(shù)的偶函數(shù), 9.3 三三 重重 積積 分分12 vzyxfd),(則則 , 0 vzyxfd),(24 若若 關(guān)于關(guān)于原點對稱原點對稱,其中其中4為為 中中關(guān)于原點對稱的一半?yún)^(qū)域關(guān)于原點對稱的一半?yún)^(qū)域.f 為為 x, y, z的奇函數(shù)的奇函數(shù),f 為為 x, y, z的偶函數(shù)的偶函數(shù), 9.3 三三 重重 積積 分分13.lkjizyxv 則則zyxvdddd 三、三重積分的計算三、三重積分的計算1. 利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分故故直角坐標(biāo)系下直

10、角坐標(biāo)系下的體積元素為的體積元素為在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為三重積分可表為 vzyxfd),().(是是小小長長方方體體iv 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 如果用平行于坐標(biāo)面的如果用平行于坐標(biāo)面的平面的來劃分平面的來劃分,zyxf),(直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分.思想是思想是zyxddd 9.3 三三 重重 積積 分分14,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由于由于V是長方體是長方體, 故故.20115141 Ixx d103 例例三次積分的上、下限都三次積分的上、下限都是常數(shù)是常數(shù)

11、,計算三重積分計算三重積分其中其中V是長方體是長方體 2 zzdcos0yy d104 43yxyOx 20dcoszz11D先一后二法先一后二法 D d xyzO211 9.3 三三 重重 積積 分分15),(:11yxzzS Dyx ),( 投影法投影法),(:22yxzzS 先一后二法先一后二法如圖如圖, 閉區(qū)域閉區(qū)域在在xOy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D,過點過點作直線作直線,xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z從從z1穿入穿入, 從從z2穿出穿出.(如先如先z后后xy) 9.3 三三 重重 積積 分分16

12、 ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型再計算再計算F(x, y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上的二重積分上的二重積分d),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D dvzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd則則先將先將x, y 看作定值看作定值,將將f (x, y, z)只看作只看作z的函數(shù)的函數(shù),xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z因為因為 9.3 三三 重重 積積 分分17

13、vzyxfd),(如何寫出當(dāng)如何寫出當(dāng)D為為Y型閉域型閉域時時, ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf baxd注注三次積分的公式三次積分的公式三重積分化為三重積分化為交不多兩點情形交不多兩點情形. )()(21dxyxyy這是平行于這是平行于z軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域內(nèi)部的直線與內(nèi)部的直線與閉區(qū)域閉區(qū)域的邊界曲面的邊界曲面S相相 9.3 三三 重重 積積 分分18所以所以, 三重積分可以化為六種不同次序的三次積三重積分可以化為六種不同次序的三次積和積分域和積分域 選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計算選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計算.解題時解題時, 要依據(jù)具體的被積函數(shù)要依據(jù)具體的被積函數(shù) f

14、(x, y, z)同樣同樣, 也可以把積分域也可以把積分域向向yOz、zOx面投影面投影.分分(累次積分累次積分). 9.3 三三 重重 積積 分分19 以上計算三重積分的方法按先以上計算三重積分的方法按先“單積分單積分”又由于此方法是先把積分區(qū)域又由于此方法是先把積分區(qū)域向坐標(biāo)向坐標(biāo)所以又稱其為所以又稱其為“先一先一后后“二重積分二重積分”的步驟的步驟, 后二后二”的積分次序的積分次序.故該方法也稱為故該方法也稱為坐標(biāo)面投影法坐標(biāo)面投影法.面投影面投影, 且二重積分的積分區(qū)域就是且二重積分的積分區(qū)域就是的投影的投影區(qū)域區(qū)域, 9.3 三三 重重 積積 分分20解解1:22 yxD化三重積分化

15、三重積分 zyxzyxfIddd),(為三次為三次222yxz 22xz 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 22222xzyxz由由其中積分區(qū)域為由曲面其中積分區(qū)域為由曲面得交線投影區(qū)域得交線投影區(qū)域 ：2211xyx 11 xz I 222yx22x xyzO22xz 222yxz 積分積分, zzyxfyxd),(dd22x 222yx 21x 21x 1 1 9.3 三三 重重 積積 分分21解解1:22 yxD化三重積分化三重積分 zyxzyxfIddd),(為三次為三次例例222yxz 22xz 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 22222xzyxz由由其中積分區(qū)域為由曲面其中積

16、分區(qū)域為由曲面消消z得交線投影區(qū)域得交線投影區(qū)域 I積分積分, zzyxfyxd),(dd22x 222yx 21x 21x 1 1確定積分限的口訣確定積分限的口訣:含含z方程為上、下面方程為上、下面,無無z 、 有有z消消z圍圍D線線. 9.3 三三 重重 積積 分分22例例 求求 zxzyxyyzxI10)1(1010de )1(dd2111解解2ey 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),應(yīng)先對應(yīng)先對x積分后對積分后對yz積分積分 xd 10d)1(yy21.e41 一定要一定要交換積分次序交換積分次序. I yy d)1(1 zyxxyzO 10d)1(yy yzyzy102)1(

17、)1(de2 yzyzzy10)1(d)1(e2 zzyde2)1(zy 10y 1010 10)1(21yyzy 10)1(2eyd( (先一后二先一后二) ) 9.3 三三 重重 積積 分分23 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) ) xzd dyzDzy 10計算三重積分計算三重積分 ,dddzyxz.1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域個坐標(biāo)面及平面?zhèn)€坐標(biāo)面及平面 zyx zyxzddd 102d)(121zzz.241 111xyzO1 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 例例解解其中其中為三為三 9.3 三

18、三 重重 積積 分分24 zyxzddd zDyxdd1,10 ,10| ),(zyxzyzxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二后一法) )解解)1)(1(21zz 10dzz計算三重積分計算三重積分 ,dddzyxz例例原式原式= zzzd)1(21210.241111xyzO1 zyxzD.1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域個坐標(biāo)面及平面?zhèn)€坐標(biāo)面及平面 zyx其中其中為三為三 9.3 三三 重重 積積 分分25 截面法截面法(紅色部分紅色部分)先二后一法先二后一法截面法的一般步驟截面法的一般步驟(1)投影投影, ,得投影區(qū)間得投影區(qū)間c1, c2;(2),21ccz 對對(

19、3)計算二重積分計算二重積分 zDyxzyxfdd),(4).d)(21 cczzF最后計算定積分最后計算定積分xzOy1c2cz得截面得截面Dz;其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù)F(z);(如先如先xy 后后z) zD把積分區(qū)域把積分區(qū)域向某軸向某軸(如如z軸軸)用過用過z軸且平行軸且平行xOy的平面去截的平面去截, 9.3 三三 重重 積積 分分26 即即 zDccyxzyxfzvzyxfdd),(dd),(21 21d)(cczzF當(dāng)被積函數(shù)僅與變量當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān)有關(guān),截面法的公式還有兩個截面法的公式還有兩個.用上公式簡便用上公式簡便. 希望自己推希望自己推注注且截面且截面Dz易

20、知時易知時, 9.3 三三 重重 積積 分分27對上述公式可作一直觀的物理解釋對上述公式可作一直觀的物理解釋: Dyxddd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf設(shè)設(shè) f (x, y, z)是一物體的密度函數(shù)是一物體的密度函數(shù),是是中位于點中位于點 (x, y)處的豎直細(xì)棒處的豎直細(xì)棒),(),(),( 21yxzzyxzzyx 的質(zhì)量的質(zhì)量,而二重積分而二重積分d),(),(),(21 yxzyxzzzyxfyxDdd vzyxfd),(),(yxM yxDdd 則表示將諸細(xì)棒的質(zhì)量累積成整個物體的質(zhì)量則表示將諸細(xì)棒的質(zhì)量累積成整個物體

21、的質(zhì)量.d),( vzyxf則則 ),(yxM先一后二法先一后二法 9.3 三三 重重 積積 分分28zyxzyxfccDzddd),(21 zDccyxzyxfzdd),(d21 vzyxfd),(對上述公式可作如下物理解釋對上述公式可作如下物理解釋:物體的密度函數(shù)物體的密度函數(shù),是截面是截面Dz的質(zhì)量的質(zhì)量,則二重積分則二重積分則表示將諸截面的質(zhì)量累積成整個物體的質(zhì)量則表示將諸截面的質(zhì)量累積成整個物體的質(zhì)量.d),( vzyxf設(shè)設(shè) f (x, y, z)是一是一 zDyxzyxfdd),( )(zM而定積分而定積分dd),( zDyxzyxf)(zM zccd21 zccd21 先二后一

22、法先二后一法 9.3 三三 重重 積積 分分29計算計算,ddd2zyxz其中其中為橢球體為橢球體:. 1222222 czbyax解解 先二后一法先二后一法, czc zDyx ),( 2222221),(czbyaxyxDz zDyxdd cczz d2 cczzczabd)1(222.1543abc zyxzddd2abczOxyzD 9.3 三三 重重 積積 分分301222222 czbyax提示提示vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 ,222222czbyax 已知橢球已知橢球V:內(nèi)點內(nèi)點(x, y, z)處質(zhì)量處質(zhì)量的體密度為的體密度

23、為:求求橢球的橢球的質(zhì)量質(zhì)量. 9.3 三三 重重 積積 分分31a a解解 因為因為vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 而而 vaxVd22等于等于 xDzydd 222211axcaxbxaxaad22 zyddxD:1222222的面積的面積橢圓橢圓axczby 221axbc其中其中zOxy先二后一法先二后一法(截面法截面法) 9.3 三三 重重 積積 分分32由對等性知由對等性知abc154 VVvczvbydd2222因此因此.54abcM 所以所以 vaxVd22xaxaad22 xDzydd)1(dd22axbczyxD abc15

24、4xaxxabcad)1(202222 a azOxy 9.3 三三 重重 積積 分分33xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面解解2222ayx VvVd zd xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa極坐標(biāo)極坐標(biāo)所圍立體體積所圍立體體積V.)22(383a 例例 xyD d2224yxa 22yx yOxa2xyDV在在xOy面的面的投影域投影域Dxy為為 9.3 三三 重重 積積 分分34,0 ,20 z規(guī)定規(guī)定xyzo ),(zyxM),( P z , , 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)的關(guān)系為的關(guān)系為,cos xzz 就叫點就叫點M的的柱

25、面坐標(biāo)柱面坐標(biāo).2. .利用柱面坐標(biāo)利用柱面坐標(biāo)計算三重積分計算三重積分cylindrical coordinates設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點為空間內(nèi)一點,并設(shè)點并設(shè)點M在在xOy面上的投影面上的投影 P 的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為則這樣的三個數(shù)則這樣的三個數(shù)直觀地講直觀地講, 以以O(shè)為觀察點去為觀察點去觀察空間一個點觀察空間一個點M,則則M之間的水平距離之間的水平距離, 是是而而z是是M的高度的高度.表示表示O與與 的方向角的方向角, ,sin yyxz 22yx xy tanzz 9.3 三三 重重 積積 分分35為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)系中系中,

26、以以z軸為中心軸的軸為中心軸的圓柱面圓柱面;過過z軸的軸的半平面半平面.與與xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐標(biāo)面分別為三坐標(biāo)面分別為z , 稱點稱點M的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)),(zyxM),( PxyzO vzyxfd),(,cos xzz ,sin y 9.3 三三 重重 積積 分分36 xyzo 柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中的中的體積元素體積元素為為zvdddd V 在在柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中中,如圖如圖,V 得小柱體得小柱體即即直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下三重積分與下三重積分與(紅色部分紅色部分).若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域,柱柱(面面)坐標(biāo)系坐標(biāo)系下三重下三重積分的關(guān)系

27、是積分的關(guān)系是 z z 9.3 三三 重重 積積 分分37 如何計算如何計算柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分下三重積分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下計算三重積分方法下計算三重積分方法.將三重積分化為將三重積分化為,cos x,sin yzz 三次積分三次積分( (累次積分累次積分) )zvdddd 9.3 三三 重重 積積 分分38 zyxzyxfddd),(柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分的計算下三重積分的計算, 可得可得柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分化為下三重積分化為三次積分三次積分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),(

28、),(2121d),(ddz , 與與x, y, z等同的看為三個變量等同的看為三個變量. 如如,極坐標(biāo)極坐標(biāo)不等式表示不等式表示, ).()(21 只要把被積只要把被積函數(shù)中的函數(shù)中的的計算公式的計算公式. 類比公式類比公式先先將將在在xOy面上的投影域用面上的投影域用 9.3 三三 重重 積積 分分39從而從而, ),()(21 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d: 再再確定確定的下的下, 上邊界面上邊界面),(1 zz ),(2 zz 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積、 、z. ),(),(21 zzz 9

29、.3 三三 重重 積積 分分40如積分域如積分域為圓柱域為圓柱域(如圖如圖).20 ,0R ,0Hz vzyxfd),(則則: HRzzf0020d),sin,cos(dd xyzO 9.3 三三 重重 積積 分分4120 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例,d22 vyxz計算計算)0(0222 yxyx 所圍成所圍成.積分域用積分域用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)表示為表示為.982a 20d azz0d cos202d z原式原式 zddd 其中其中由半圓柱面由半圓柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222

30、xyx 2200dcosdsinxxxxInnn ,3254231,22143231nnnnnnnnn為正偶數(shù)為正偶數(shù)n為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù) 9.3 三三 重重 積積 分分42例例222yxz 已知立體內(nèi)任一點的質(zhì)量的體密度已知立體內(nèi)任一點的質(zhì)量的體密度解解vyxkMd)(22 因為因為222yxz 平面平面2222 yx柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)求曲面求曲面2 z與與所圍立體的質(zhì)量所圍立體的質(zhì)量M,與該點到與該點到z軸軸 的距離的平方成正比的距離的平方成正比.)0( k常數(shù)常數(shù)的的交線交線是是2 z與與2 z上的圓上的圓體密度函數(shù)為體密度函數(shù)為xyzO2 z222yxz )(22yxk 9.

31、3 三三 重重 積積 分分43的的下邊界面下邊界面是是),(2122yxz 上邊界面上邊界面是是故故zkddd2 222d z.316k 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xy 即即vyxkMd)(22 是半徑為是半徑為2的圓域的圓域 d203 20d k . 2 zxyzO422 yxxy 20,20 ;212 z 9.3 三三 重重 積積 分分44解解zzddde2 如先對如先對z積分積分其中其中是由錐面是由錐面,ddde222zyxyxz 計計算算與平面與平面22yxz zyxyxzddde222 21 zz、所圍成的錐臺體所圍成的錐臺體.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)xyzO22yxz 9.

32、3 三三 重重 積積 分分45xyzO可看出如先對可看出如先對z積分積分,zzde2 (積不出來積不出來).zzddde2 ).ee (4 zzzde2212 212ez 將遇到積分將遇到積分最后對最后對z積分積分.zyxyxzddde222 ddde2zz0z120這里應(yīng)先對這里應(yīng)先對 、 積分積分,22yxz 2 9.3 三三 重重 積積 分分46解解2)(zyx 222zyx 對稱性質(zhì)對稱性質(zhì))(2zxyzxy 是關(guān)于是關(guān)于yzxy vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 計算計算是拋物面是拋物面其中其中 所圍成的空間閉區(qū)域所圍成的空間閉區(qū)域.,的奇函數(shù)的奇函數(shù)y222222 zyxy

33、xz和球面和球面同理同理, vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz 因為因為所以所以因為因為zx是關(guān)于是關(guān)于x的奇函數(shù)的奇函數(shù),所以所以且且關(guān)于關(guān)于zOx面對稱面對稱.且且關(guān)于關(guān)于yOz面對稱面對稱. 9.3 三三 重重 積積 分分47vzyxd)(222 計算計算20 10 222 z d)2(222103 20102322ddd zvyxd)(22 zddd3 vzyxd)(2 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz 122 yx在在xOy面上的面上的yOx1xyD 投影域投影域Dxy為為 9.3 三三 重重 積積 分分48).89290(60 vz

34、 d2 ,1323260 所以所以 222210dd zz 20d 對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)vzyxd)(222 2221020: z4vzyxd)(222 計算計算vzyxd)(2 的偶函數(shù)的偶函數(shù)yx,都對稱都對稱xOzyOz,關(guān)于兩個坐標(biāo)面關(guān)于兩個坐標(biāo)面同同為為fvyxd)(22 )19216(15 vzyxd)(2 9.3 三三 重重 積積 分分49 當(dāng)被積函數(shù)是當(dāng)被積函數(shù)是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf 積分域積分域由圓柱面由圓柱面 (或一部分或一部分)、錐面、拋物面、錐面、拋物面用用所圍成的所圍成的.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)計算三重積分較方便計算三重積分較方便.在應(yīng)用柱面坐標(biāo)計算三

35、重積分時在應(yīng)用柱面坐標(biāo)計算三重積分時, 應(yīng)熟悉一些常見應(yīng)熟悉一些常見曲面的柱面坐標(biāo)方程曲面的柱面坐標(biāo)方程:直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程柱面坐標(biāo)方程柱面坐標(biāo)方程半球面半球面圓錐面圓錐面旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面圓柱面圓柱面圓柱面圓柱面222yxaz 22 az22yxz z22yxz 2 z222ayx a axyx222 cos2a 9.3 三三 重重 積積 分分50 r P zyxA,0 記投影記投影向量與向量與.20 ),( r規(guī)定規(guī)定, ,0 r),(zyxM OM再再將將正方向間的夾角為正方向間的夾角為軸軸與與zOM, r球面坐標(biāo)球面坐標(biāo).稱稱為點為點M的的之之長長為為記記向向量量OM3. .利

36、用球面坐標(biāo)利用球面坐標(biāo)計算三重積分計算三重積分xyzO設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點為空間內(nèi)一點,向向xOy平面投影平面投影, x 軸正方向的夾角為軸正方向的夾角為直觀地講直觀地講, 角度角度 和角度和角度 類似于我們確定地球類似于我們確定地球 表面上任一地點的緯度和經(jīng)度表面上任一地點的緯度和經(jīng)度,而長度而長度r則表示球面則表示球面到球心的距離到球心的距離.可想而知可想而知, 球面坐標(biāo)很適合描述球體球面坐標(biāo)很適合描述球體或與球體有關(guān)的空間區(qū)域或與球體有關(guān)的空間區(qū)域., 9.3 三三 重重 積積 分分51球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為為,sinsin ry ,cossi

37、n rx cosrz r zyxA),(zyxM xyzOyzxvzyxfd),( 222zyxr xy tan222coszyxz 9.3 三三 重重 積積 分分52為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為中的三坐標(biāo)面分別為原點為心的原點為心的球面球面;過過z軸的軸的半平面半平面.為常數(shù)為常數(shù) 原點為頂點、原點為頂點、xyzOxyzOxyzOxyzOz軸為軸的軸為軸的圓錐面圓錐面; , r稱點稱點M的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)vzyxfd),( 9.3 三三 重重 積積 分分53球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中的中的體積元素體積元素為為rxyzo r dddsind2rrv V若以三

38、坐標(biāo)面分割空間若以三坐標(biāo)面分割空間V 得小六得小六面體面體(紅色部分紅色部分).于是于是,在在球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中中, r sinrr 區(qū)域區(qū)域, sinr r sinr 9.3 三三 重重 積積 分分54 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先積積r、再積再積 . 后積后積)cos r (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r dddsin2rr 9.3 三三 重重 積積 分分55如積分域如積分域為球域為球域(如圖如圖).: Rfvf0020(ddd 則則,0 ,0Rr 20 ,cossin r,si

39、nsin r cosr sin2rrdxyzO) 9.3 三三 重重 積積 分分56zyxzddd2 22cosr sin2rxyzO,1),( 222 zyxzyx設(shè)設(shè) zyxzddd2則則.154 154解解 cossinsincossinrzryrxrddd 02010考研數(shù)學(xué)一考研數(shù)學(xué)一, 填空填空, 4分分rr ddsincos210402 zyxvdddd dddsin2rr 9.3 三三 重重 積積 分分57az cosar 222zyx 4 .cos0 ar 解解 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 計算計算例例所圍的立體所圍的立體. .)0(222 aa

40、zzyx與平面與平面球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)xyzOaz 222zyx cossinsincossinrzryrx因為因為其中其中是錐面是錐面 9.3 三三 重重 積積 分分58 zyxyxIddd)(22raddd40cos020 d)0cos(51sin255403 a.105a cossinsincossinrzryrx cos0ar ,40 : ,20 34sinr dddsind2rrv 9.3 三三 重重 積積 分分59解解4 ,40 22222azyx 由由22yxz 由由: ,20ar 采用采用例例由錐面和球面圍成由錐面和球面圍成, 的立體體積的立體體積. .2222222yxzazy

41、x 與與求求球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) V zyxddd1 ar20020ddd4 .)12(343a 403d3)2(sin2 a sin2rxyzOar2 dddsind2rrv 20 cosrz ,cossin rx ,sinsin ry 所圍成所圍成 9.3 三三 重重 積積 分分60解解 積分域關(guān)于積分域關(guān)于xOy坐標(biāo)面對稱坐標(biāo)面對稱, zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222. 0 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222被積函數(shù)是被積函數(shù)是z的奇函數(shù)的奇函數(shù).例例利用利用對稱性對稱性簡化計算簡化計算其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域. 1222 zyx為為 xyzO 9.3 三三

42、 重重 積積 分分61 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222球球rddd sin2r01002 10223020d1)1ln(dcossindrrrr 或或積分區(qū)域積分區(qū)域1222 zyx為為 cosr)1ln(2r 21r . 0 )0dcossin(0 因為因為 9.3 三三 重重 積積 分分62當(dāng)積分區(qū)域是球形域或是球的一部分當(dāng)積分區(qū)域是球形域或是球的一部分;或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面,被積函數(shù)具有被積函數(shù)具有的形式時的形式時, 用用球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)計算三重積分較簡便計算三重積分較簡便. .)(222zyxf 9.3 三三

43、重重 積積 分分63研究生考題研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)計算計算, 5分分 .d)(vzx求求解解 vzxd)( vxd vzd被積函數(shù)是被積函數(shù)是 vxd圍成的空間區(qū)域圍成的空間區(qū)域,x的奇函數(shù)的奇函數(shù).0 vzd dd cosr sin2r rd014200)(20 )sin21(402 )41(104r .8 球球請再用柱面坐標(biāo)做請再用柱面坐標(biāo)做.xyzO22221yxzyxz 與與是曲面是曲面設(shè)設(shè)所以所以積分域積分域關(guān)于關(guān)于yOz面對稱面對稱, 9.3 三三 重重 積積 分分64研究生考題研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一) 12分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零, ,d)

44、(d)()()(22)(222 tDtyxfvzyxftF ,d)(d)()(2)(22 tttDxxfyxftG 其中其中,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性. (2) 證明證明,0時時當(dāng)當(dāng) t).(2)(tGtF 9.3 三三 重重 積積 分分65,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 解解 因為因為 )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF 球球極坐標(biāo)極坐標(biāo) 200220dsin)(ddtrrrf tf0220d)(

45、d ttfrrrf02022d)(d)(2 ttrrrfrrrf02022d)(d)(2 (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.rrr 9.3 三三 重重 積積 分分66 )(tF2 trrtrrfttf022d)()()( ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)( trrrf022d)( 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零 所以所以,內(nèi)內(nèi)在在), 0()( tF 單調(diào)增加單調(diào)增加.0 ), 0( t (1) 討論討論F (t) 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性. 9.3 三三 重重 積積 分分67 (2) 證證 因因 (2) 證明證明,0時時當(dāng)當(dāng) t).(2)(tGtF ttrrfrrrf0202d)(d)(,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 要證明要證明,0時時 t),(2)(tGtF 只需證明只需證明,0時時 t, 0)(2)( tGtF即即20202202d)(d )(d)(rrrfrrfrrrfttt )(tg ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)(令令. 0 9.3 三三 重重 積積 分分68則則rrtrftftgtd)()()(0222 0 內(nèi)內(nèi)