清華大學(xué)2015年暑期學(xué)校測(cè)試真題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上清華大學(xué)2015年暑期學(xué)校測(cè)試真題1.（1） 求在上的最小值。（2） 對(duì)于任意不同兩數(shù)，恒成立，求的取值范圍。 【解答】函數(shù)單調(diào)性的討論，拉格朗日中值定理（1） 考慮的導(dǎo)數(shù)：。于是當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，只需對(duì)的大小分類討論即可：當(dāng)時(shí)，在上最小值為；當(dāng)時(shí)，在上最小值為。（2不妨假設(shè)，在恒成立。注意，為導(dǎo)函數(shù)形式，令，由拉格朗日中值定理，存在中的一點(diǎn)使得 等于上式，故只需求在上導(dǎo)數(shù)的最大值即可，該最大值在右端取得，同時(shí)原式只能無(wú)限趨向于該值，所以。同理對(duì)另一部分同樣計(jì)算。于是可得到的取值范圍是 或者。2. 一點(diǎn)從出發(fā)，擲一枚骰子，若大于等于5點(diǎn)，則沿平行于方向（

2、正反方向均可）移動(dòng)一步，若小于等于4點(diǎn)，則沿平行于方向（正反方向均可）移動(dòng)一步，設(shè)擲次骰子后回到點(diǎn)的概率為，回到點(diǎn)的概率為。（1） 求（2） 設(shè)擲4次骰子經(jīng)過(guò)點(diǎn)的次數(shù)為，求的分布列。（3） 是比較，的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）【解答】數(shù)列的遞推和歸納法（1）已知每一步沿水平方向走得概率為，沿垂直方向走得概率為，兩次后回到A點(diǎn)的概率，有兩種可能：沿垂直方向上下或者沿水平方向上下。故。（2）直接計(jì)算可得：（3）注遺到擲偶數(shù)次不可能停在點(diǎn)或點(diǎn)。故。由第一問(wèn)，故擲兩次后停在點(diǎn)概率為，記作。設(shè)擲次骰子后回到點(diǎn)的概率為，可以得到遞推公式：。兩式相減得，可以歸納得到對(duì)任意成立，因?yàn)?，所以，可得?. 圓，圓心為，

3、點(diǎn)，作圓上任一點(diǎn)和點(diǎn)連線的中垂線，交于。（1） 求的軌跡方程。（2） 軸上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍。（3） 在曲線上任取兩點(diǎn)，且不垂直于軸，線段的中垂線 交軸于點(diǎn)，求證?！窘獯稹拷鈳字械膸缀畏ê吐?lián)立（1）注意到，因此點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)，的橢圓上。故的軌跡的方程為：（2）不妨設(shè)在上方。若，則。若不然，由圖像可知，離軸夾角越大，越大，越小。則可得。故的取值范圍為。（3）設(shè)，。則又因?yàn)榫€段的中垂線交軸于點(diǎn)，故。將消去，化簡(jiǎn)即得：。利用，得到。4.（1） 求的遞減區(qū)間。（2） 若有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍?！窘獯稹咳呛瘮?shù)代換（1）化簡(jiǎn)可得：于是易知求的遞減區(qū)間為。（2）。于是由圖像即得的取值范圍為。5. 5個(gè)人下棋，平局兩人各得1分，贏的人得2分，輸?shù)娜说?分，下了若干盤后所有人分?jǐn)?shù)兩兩不同，求至多還沒(méi)下幾盤棋？【解答】極限法，這里用到極限法，先求最小值，再去構(gòu)造，在組合的極限原理中也有運(yùn)用5個(gè)人分?jǐn)?shù)兩兩不同，因此他們得分至少為0、1、2、3、4，共10分，每局比賽無(wú)論輸贏如何分?jǐn)?shù)和均為2分，所以至少比5場(chǎng)，比賽5場(chǎng)并且分?jǐn)?shù)分布為0、1、2、3、4是