中國(guó)民航大學(xué)大學(xué)物理學(xué)第05章剛體力學(xué)基礎(chǔ)

1、2021/4/212021/4/225-1 5-1 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)5-2 5-2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 5-3 5-3 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 5-5 5-5 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)5-4 5-4 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 和角動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律2021/4/232021/4/241.1.剛體剛體 內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生形變的物體。變的物體，即運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型 剛體可視為由無(wú)限多個(gè)彼此間距離保持不變的質(zhì)剛

2、體可視為由無(wú)限多個(gè)彼此間距離保持不變的質(zhì)元組成的質(zhì)點(diǎn)系。元組成的質(zhì)點(diǎn)系。2021/4/252.1 2.1 平動(dòng)：平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)任意一條直線(xiàn)在運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體內(nèi)任意一條直線(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持方向不變。過(guò)程中始終保持方向不變。 特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加剛體內(nèi)所有質(zhì)元具有相同的位移、速度和加速度。速度。2.2.剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)2021/4/262.2 2.2 轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線(xiàn)作圓周運(yùn)動(dòng)。剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線(xiàn)作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱(chēng)為若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱(chēng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和

3、剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。角加速度。zO2021/4/273.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述 3.1 3.1 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述 角位置：角位置： ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dddtdtxOP rv 角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸角速度和角加速度均為矢量，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中其方向沿轉(zhuǎn)軸的方向并滿(mǎn)足右手螺旋定則。的方向并滿(mǎn)足右手螺旋定則。2021/4/28角量的單位為角量的單位為rad,rad/s,rad/s2。質(zhì)點(diǎn)作勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角量的變化規(guī)律與勻變質(zhì)點(diǎn)作勻變速曲線(xiàn)

4、運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角量的變化規(guī)律與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中線(xiàn)量的規(guī)律相似，表示如下：速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中線(xiàn)量的規(guī)律相似，表示如下：22020t20012tt2021/4/293.2 3.2 角量和線(xiàn)量的關(guān)系角量和線(xiàn)量的關(guān)系rv 2tnararxOP rv質(zhì)元轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧長(zhǎng)：質(zhì)元轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧長(zhǎng)：rsrv2021/4/2102021/4/2111.1.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩 力對(duì)轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)力對(duì)轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)O O的力矩矢量的力矩矢量: : FrMFrMzzrOPdFzr大?。捍笮。簊inFrMz方向：方向：，即沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向方向沿Fr2021/4/212 力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩矢量力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩矢量zFO rrOPdF/Fzr一

5、般情況一般情況FFF/平行轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸 垂直轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸 能改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)只有FFrMz2021/4/213FrMz結(jié)論：結(jié)論：zdPOrFFzFO rzr 力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩等于在等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的外力內(nèi)的外力 F 的大的大小和小和 F 與軸之間的垂直距離與軸之間的垂直距離 d 的乘積。的乘積。2021/4/2142 2剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量2.1 2.1 質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量： 質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸上參考點(diǎn)O O的角動(dòng)量矢量的角動(dòng)量矢量: : zmOrpprLprLz大小：大?。簉prpLzsin方向：方向：，即沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸方向方向

6、沿pr2021/4/215zdmOrpP/pO rzr對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量一般情況一般情況ppp/平行轉(zhuǎn)軸平行轉(zhuǎn)軸 垂直轉(zhuǎn)軸垂直轉(zhuǎn)軸 對(duì)軸向角動(dòng)量有貢獻(xiàn)只有pprLz2021/4/216zLrp結(jié)論：結(jié)論：zdmOrpP/pO rzr對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量角動(dòng)量等于在等于在轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的動(dòng)量?jī)?nèi)的動(dòng)量p 的大小的大小和和 p與軸之間的垂直距離與軸之間的垂直距離 d 的乘積。的乘積。2021/4/2172.2 2.2 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 zOriimiv 組成剛體的所有質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的和組成剛體的所有質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的和: :2izii ii iLmv rmr

7、 ziiiiiizJrmrmL)(22iiizrmJ2剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量： zzLJ2021/4/2183 3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律dtLdM)(zzzJdtddtdLM若若常量zJ，則，則zzJM簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)寫(xiě)為：JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 2021/4/219連續(xù)體：連續(xù)體：dmrJ24.2 4.2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算4 4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4.1 4.1 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小 的量度。的量度。 2iirmJ分立體：分立體：

8、計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素:(1):(1)總質(zhì)量總質(zhì)量 (2)(2)質(zhì)量分質(zhì)量分布布 (3)(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置2021/4/220(1) I (1) I 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如兩根等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如兩根等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LzOxdxM2020231MLdxLMxdxxILL 木木鐵鐵II4 4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2021/4/221(2) (2) I I 與質(zhì)量分布有關(guān)與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例如圓盤(pán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dlOmRRO

9、mrdrdlRdmRIRL 202022203222mRRmRdlRR rdrds 2dsdm rRmrrRmd2d222 2302022d2dRmrrRmmrIRm2021/4/222OLxdxMzLOxdxMz(3) (3) I I 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)20231dMLxxIL 2222121dMLxxILL 2021/4/2234.3 4.3 平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：平行軸定理：2zCJJmdiririmCOzzd2222222()(2)()0zi iiiiiiiiiii iiiiCJmrm rdm rdr dmrm dJmd2021/4/22

10、4垂直軸定理垂直軸定理:yxzJJJimOzxyxiyiri22222()zi iiiiiiiiiiiixyJmrm xym xm yJJ2021/4/225解：（解：（1 1）對(duì)對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)對(duì)稱(chēng)軸dRdmldJ4421cos321212420 441418cos32mRRdRJ 例例 求質(zhì)量均勻分布的半圓形薄板對(duì)（求質(zhì)量均勻分布的半圓形薄板對(duì)（1 1）它的對(duì)稱(chēng)）它的對(duì)稱(chēng)軸；（軸；（2 2）它的直邊；（）它的直邊；（3 3）通過(guò)質(zhì)心平行于直邊的軸的轉(zhuǎn)）通過(guò)質(zhì)心平行于直邊的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。設(shè)圓弧直徑為動(dòng)慣量。設(shè)圓弧直徑為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 。 mRmCR)3()2() 1 (Oxy取半圓上取半圓上

11、窄條窄條為為 。dyyydmdRRlddm22cos2 )sin(cos2sinRlRydy2021/4/226（2 2）對(duì)直邊）對(duì)直邊mCR)3()2() 1 (OxyDJ設(shè)設(shè) 為整圓對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為整圓對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。DJJ211因因 和和 DJJ212故有故有 21241mRJJ（3 3）對(duì)通過(guò)）對(duì)通過(guò)C且平行于直邊（且平行于直邊（2 2）232mdJJ應(yīng)用平行軸定理：應(yīng)用平行軸定理： ，先求質(zhì)心位置：，先求質(zhì)心位置：222223070. 091641mRmRmdJJ34322130RmRxdyymydRC22yRx2021/4/227 5. 5.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 解題

12、要點(diǎn)解題要點(diǎn):2021/4/228 m2 m1RR1T2T m1gFm2gT1MgT2a2021/4/229O2021/4/230COmg2021/4/231FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物體掛在繩的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速端，試計(jì)算飛輪的角加速解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別mgT例例求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.5 kgm2，

13、飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，不計(jì)， (見(jiàn)圖見(jiàn)圖)2mrJmgr22rad/s 8212010502098.2021/4/232圓盤(pán)以圓盤(pán)以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng), ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圓盤(pán)靜止所需到圓盤(pán)靜止所需時(shí)間時(shí)間取一質(zhì)元取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律摩擦力矩摩擦力矩R2021/4/233例例 一個(gè)剛體系統(tǒng)，如圖所示，一個(gè)剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量231mlJ ，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為，現(xiàn)有一

14、水平力作用于距軸為 l 處處求求 軸對(duì)棒的作用力（也稱(chēng)軸反力）。軸對(duì)棒的作用力（也稱(chēng)軸反力）。解解 設(shè)軸對(duì)棒的作用力為設(shè)軸對(duì)棒的作用力為 NyxNN ,JFl 由質(zhì)心運(yùn)由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)定理2lmmaNFcxx022lmmamgNcyy) 123(2llFFJFlmlNxmgNyl l320 xN打擊中心打擊中心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與轉(zhuǎn)動(dòng)定律聯(lián)用xNyNOCmg lF質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律2021/4/2342021/4/2351.1.力矩的功和功率力矩的功和功率 1.1 1.1 力矩的功力矩的功dOzP0PFrdl0AMdMddFrrdFdlFl dFdAsinsi

15、ncos2021/4/2362.2 2.2 力矩的功率力矩的功率MdtdMdtdAPMP 2021/4/2372 2剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能 222221)(21)21(JrmvmEiiiiiik221JEk2.1 2.1 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 O zrimivi2021/4/2382.2 2.2 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 piiiiiiiiCEm ghmhmgmmghpCEmghhimi2021/4/2393.3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 002201122ddddMJJJJdtddtdMdJ dJJ 0kkEEA剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)合外力矩

16、對(duì)剛體所作的功等于剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)合外力矩對(duì)剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 2021/4/240O2021/4/241解：解：2021/4/242MmkR2021/4/2432021/4/2442021/4/2451.1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 zzdLMdt00zzttzLLdtM00ttMdtLL簡(jiǎn)寫(xiě)為簡(jiǎn)寫(xiě)為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理0M 000LLJJ剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律2021/4/246 角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例角動(dòng)量守恒現(xiàn)象舉例2021/4/247例例

17、如圖，長(zhǎng)為如圖，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過(guò)的均勻細(xì)棒可饒過(guò)O點(diǎn)的點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以的質(zhì)點(diǎn)以初速初速v0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求上擺。求（1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度 ；（2）兩者一起上擺的最大角度）兩者一起上擺的最大角度 。Olmv02021/4/2482021/4/249例例: 半徑半徑R、質(zhì)量、質(zhì)量M 的水平均勻圓盤(pán)可繞通過(guò)圓心的光滑豎直的水

18、平均勻圓盤(pán)可繞通過(guò)圓心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，其邊緣有一質(zhì)量軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，其邊緣有一質(zhì)量m 的人，二者最初相對(duì)地面靜的人，二者最初相對(duì)地面靜止止求求: 當(dāng)人繞盤(pán)一周時(shí)，盤(pán)對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度？當(dāng)人繞盤(pán)一周時(shí)，盤(pán)對(duì)地面轉(zhuǎn)過(guò)的角度？解：解：（人（人+盤(pán)）關(guān)于轉(zhuǎn)軸盤(pán)）關(guān)于轉(zhuǎn)軸O 的外力矩為零，的外力矩為零， （人（人+盤(pán)）角動(dòng)量守恒盤(pán)）角動(dòng)量守恒xO 以逆時(shí)針為正方向，在地面參照系以逆時(shí)針為正方向，在地面參照系02122 MRmR021 Mm021 Mm且且 2 222Mmm 2021/4/2502021/4/251進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng): 高速自旋的物體的自轉(zhuǎn)軸在空間旋進(jìn)的運(yùn)動(dòng)高速自旋的物體的自轉(zhuǎn)軸在空間旋進(jìn)的運(yùn)動(dòng)高速自轉(zhuǎn)的陀螺在高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對(duì)支點(diǎn)陀螺重力對(duì)支點(diǎn)O 的力矩作用下發(fā)生進(jìn)動(dòng)的力矩作用下發(fā)生進(jìn)動(dòng)陀螺的角動(dòng)量近似為陀螺的角動(dòng)量近似為JL 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理tLMddtMLddM/Ld當(dāng)當(dāng)LM時(shí)時(shí)則則只改變方向，只改變方向，不改變大小不改變大小(進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng))LOLgmMLd2021/4/252 進(jìn)動(dòng)角速度進(jìn)動(dòng)角速度所以所以1sins