整式綜合提高

1、暑假專題整式綜合提高【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：整式綜合提高1. 認(rèn)真思考運算性質(zhì)、法則、公式的形成過程，做到深刻理解，切實掌握.  2. 在解題實踐中逐步學(xué)習(xí)運用數(shù)學(xué)思想方法. 【知識掌握】【知識點精析】一、認(rèn)真思考運算性質(zhì)、法則、公式的形成過程，做到深刻理解，切實掌握.    例如多項式乘以多項式的法則，從幾何上求具體矩形面積入手；再從代數(shù)上運用代換思想轉(zhuǎn)化為多項式乘以多項式，得到相同的結(jié)果.這樣，在計算時，就會掌握“有序”、“不重”、“不偏”.    與上面法則直接有關(guān)的就是完全平方公式；利用多項式乘

2、以多項式的乘法法則，結(jié)合幾何模型，在理解、記憶的基礎(chǔ)上就能導(dǎo)出兩數(shù)差的平方公式.最后達(dá)到對公式要會“三用”：“順用”（展開）、“逆用”（把二次三項式寫成完全平方式）和“變用”（配成完全平方）. 二、在解題實踐中逐步學(xué)習(xí)運用數(shù)學(xué)思想方法.  1. 轉(zhuǎn)化思想    轉(zhuǎn)化就是把不熟悉的問題化為熟悉的問題，把不規(guī)范的問題化為規(guī)范的問題，把復(fù)雜問題化為簡單問題.例如，多項式除以單項式可轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式，單項式除以單項式可轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法；在因式分解中，分組分解法就是為了把問題轉(zhuǎn)化為用提公因式法、公式法或十字相乘法.  

3、60; 換元法是轉(zhuǎn)化的一條途徑，也是轉(zhuǎn)化的一種思想.例如，要能運用換元的思想把一個式子看作一個字母，從而能夠廣泛地應(yīng)用因式分解方法解決問題；要能夠把一個數(shù)看作一個字母，以便能應(yīng)用乘法公式或因式分解的方法快速、簡便地解決問題.總之，掌握這種思想，能擴(kuò)大公式、法則的運用范圍，以便靈活運用它們解決問題.    恒等變形也是轉(zhuǎn)化的一種方法.恒等變形是在數(shù)學(xué)解題中把一種數(shù)學(xué)對象“恒等”地變成所需要的形式，例如，去括號、添括號、整式加減法、整式乘除法、因式分解、配方等都是恒等變形.恒等變形的作用一是化簡，二是定向變形.恒等變形也是一種重要的數(shù)學(xué)能力，必須在解題實踐中，通過一定

4、的訓(xùn)練、總結(jié)，才能達(dá)到熟練和敏銳的程度. 【解題方法指導(dǎo)】  例1. 求值：（1）已知：，求的值.（2）已知：，求的值.分析：本題沒有給出已知字母的值，應(yīng)先將原式變形，再回過頭來看已知的關(guān)系式應(yīng)如何變形.解：（1）由已知，得原式（2）原式         而由已知，得原式    點評：本例兩個小題都是在給出條件的情況下求代數(shù)式的值的問題.但是兩個小題的難度是逐漸加大的.第（1）題考查綜合觀察和分析的能力：把所給已知條件（整式）變形后，得到一個較簡單的整式，然后再把原

5、式變形“掛靠”到已知的整式.第（2）題則是既考查綜合觀察和分析能力，又考查恒等變形的能力：首先應(yīng)敏銳地看到已知條件雖然x、y、z各自孤立，但都與a有聯(lián)系，消去a就建立了x、y、z的兩兩差的關(guān)系；由此啟發(fā)把原式變形成x、y、z兩兩差的代數(shù)式，加上觀察原式的結(jié)構(gòu)，采用“乘以2又除以2”的特殊手法，將原式進(jìn)行配方（注意：這是一個重要的手段?。?，也是有目的地化簡，立即求得原式的值.建議同學(xué)們仔細(xì)體會這兩個小題的結(jié)構(gòu)特點、解題方法，因為這些方法在將來解題時很有用處. 【考點突破】【考點指要】    整式的概念和運算、乘法公式、因式分解在中考說明中是C級知識點，它常

6、與分式、根式綜合在一起，以選擇題、填空題、解答題等題型出現(xiàn)在中考題中，大約占有48分左右.解決這類問題需熟練掌握整式的概念和運算法則，熟練掌握乘法公式，明確因式分解的概念，并能靈活本講知識解決有關(guān)問題. 【典型例題分析】  例1. （2006年江蘇省中考題）已知：，其中a>1.（1）求證：；（2）試比較A、B、C三者之間的大小關(guān)系，并說明理由.解：（1）（2分）.（4分）（2）          ，.，即A>C.     &

7、#160;       （6分）     ，.即C>B.                 （8分）由，得.           （9分）   例2. （2006年安徽省中考題）老師在黑板上寫出有三個算式：，王華接著又寫出兩個具有同樣規(guī)

8、律的算式：              （1）請你再寫出兩個（不同于上面的算式）具有上述規(guī)律的算式；（2）用文字寫出反映上述算式的規(guī)律；（3）證明這個規(guī)律的正確性.解：（1）寫出兩個正確的算式.（2）規(guī)律：任意兩個奇數(shù)的平方差等于8的倍數(shù).（3）證明：設(shè)m，n為整數(shù)，兩個奇數(shù)可表示為和，則，當(dāng)m，n同是奇數(shù)或偶數(shù)時，一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù).當(dāng)m，n一奇一偶時，則一定為偶數(shù)，所以一定是8的倍數(shù).所以，任意兩奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).說明：規(guī)律說成是“兩奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)

9、”，且證明正確，給8分.   例3. （2001年中考題）選擇題：下列多項式中，不是完全平方式的是（    ）A.                          B. C.            

10、             D. 分析：完全平方公式展開式的特點是：都是三項式；其中兩項是這兩個數(shù)的平方和；第三項是這兩個數(shù)乘積的2倍，前面數(shù)上加號或減號.顯然不是完全平方式.故選B.   例4. （2001年中考題）選擇題：多項式分解因式的結(jié)果是，則m：n的值是（    ）A.             

11、60;   B.                     C.                 D. 解法1：，取，.故選D.解法2：由，得，比較等式兩邊同次項的系數(shù)，得，即.點評：解法1是抓住完全平方公式的特點：“中間項”是第一、二兩數(shù)乘

12、積的2倍，即，所以分析出：既然第一數(shù)為x，則第二數(shù)必然是，即，于是.解法2是把完全平方公式展開，用待定系數(shù)法.這兩個解法的思考方向是互逆的：前者是“配方”（收攏），后者是“展開”（放開）. 例5. 一個正整數(shù)a恰好等于另一個正整數(shù)b的平方，則稱a為完全平方數(shù)，如，36就是一個完全平方數(shù).若，求證：a是一個完全平方數(shù).分析：要證明a是一個完全平方數(shù)，只須證明（b是正整數(shù)），也就是要證明，由前面例題的“數(shù)字用字母代換”方法，可通過設(shè)，把數(shù)字式子化成關(guān)于x的代數(shù)式的平方，甚至可以預(yù)測要用到配方法.證明：設(shè)，則，于是 a是一個完全平方數(shù).   例6. 若實數(shù)x滿

13、足，則_.       分析：先由已知式求出x的值，再代入原式求值.       解：由，得，.即.x是實數(shù)，從而，即.原式.   例7. 求證：31×30×29×28+1是一個完全平方數(shù).       分析：把數(shù)字用字母代換，變原數(shù)為多項式，運用因式分解或配方法變成完全平方式.       證明：設(shè)k=30

14、，則              31×30×29×28+1是一個完全平方數(shù).   例8. （天津市初中生數(shù)學(xué)競賽題）選擇題：設(shè)，則下列各數(shù)中一定不是某個自然數(shù)的平方的是（    ）A.                   

15、;      B. C.                         D. 分析：A. 當(dāng)n=2時，C. 當(dāng)n=3時，D. 當(dāng)n=3時，選B.點評：因為數(shù)學(xué)考試的選擇題（除去有特別說明的）都是四選一型，即在所給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，所以只需排除不符合要求的選項，就可以確定符合要求的選項.&#

16、160;  例9. 代數(shù)式的最小值是多少？當(dāng)這個代數(shù)式取得最小值時，a和b要滿足什么條件？       分析：所給代數(shù)式可變形為，注意.       解：.       是非負(fù)數(shù)，       不論a、b取什么有理數(shù)，總有.       又如果ab，那么.   

17、;    只有當(dāng)，即a=b時，/       即取到最小值，最小值為10.       因此，代數(shù)式的最小值為10.當(dāng)這個代數(shù)式取得最小值時，a和b要滿足的條件是a=b.       代數(shù)式的最小值是多少？當(dāng)這代數(shù)式取到最小值時，a和b要滿足什么條件？       略解：     

18、;  .       只有當(dāng)，即a=b時，.       當(dāng)取到最大值2時，a=b.       因此，當(dāng)取到最小值時，.【模擬試題】一、選擇題：  1. （2006年沈陽市中考題）下列運算中，正確的是（    ）       A.       &#

19、160;              B. C.           D.   2. （2006年呼和浩特市中考題）下列運算中，正確的是（    ）       A.          

20、60;       B. C.                    D.   3. （2002年河北省中考題）在下列計算中，正確的是（    ）       A.         

21、;         B. C.              D.   4. （2001年湖北省武漢市中考題）下列計算中，正確的是（    ）       A.             

22、;     B. C.                    D.  二、填空題：  1. 已知：_.  2. 已知，則_.  3. _.  4. _.  5. （海南?。┙衲晔袌錾侠笾Φ膬r格比去年便宜了5%，去年的價格是每千克m元，則今年的價格是每千克_元. 三、計算題：  1.   2

23、.  四、將下列各式分解因式：  1.   2.  五、解方程： 六、三角形的邊長為a、b、c，且滿足，判斷三角形的形狀，并說明理由. 七、求證：四個連續(xù)整數(shù)的積加上1，一定是一個奇數(shù)的平方. 八、考查下列式子，歸納規(guī)律并填空._（n1且為整數(shù)） 九、用同樣大小的黑、白兩種顏色的棋子擺設(shè)如下圖所示的正方形圖案，則第n個圖案需要用白色棋子多少枚（用含有n的代數(shù)式表示） 十、某校師生到天安門廣場觀看升國旗儀式，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用60座客車則可以少租一輛且余30個空座位.

24、60;      （1）求該校到天安門廣場觀看升國旗儀式的人數(shù).（2）已知45座客車租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次活動同時租用了這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租一輛，所以租金比單獨租用一種客車要省，按這種方案，需要租金多少元？試題答案】一、選擇題：  1. D           2. D        3. D  

25、;      4. B二、填空題：  1.                 2.          3.   4.   5. 95%m三、計算題：  1. 原式  2. 設(shè)，則       四、1. 原式             2. 原式         五、