經(jīng)典的微積分習(xí)題庫

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題121確定下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）2求函數(shù)的定義域和值域。3下列各題中，函數(shù)和是否相同？（1）；（2）；（3）；（4）。4設(shè)證明：5設(shè)且，試確定的值。6下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)？哪些是奇函數(shù)？哪些是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？（1）（2）；（3）；（4）；（5）（6）。7設(shè)為定義在上的任意函數(shù)，證明：（1） 偶函數(shù)； （2）為奇函數(shù)。8證明：定義在上的任意函數(shù)可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。9設(shè) 定義在上的奇函數(shù)，若在上單增，證明：在上也單增。10下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：（1）（2）；（3）；（4）；（5）

2、（6）。11下列各組函數(shù)中哪些不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)？把能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的寫成復(fù)合函數(shù)，并指出其定義域。（1）（2）；（3）；（4）（5）（6）。12下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的？（1）（2）；（3）（4）。13求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）；（2）；（3）。習(xí)題131利用數(shù)列極限定義證明：如果，則，并舉例說明反之不然。習(xí)題141設(shè)（1）作函數(shù)的圖形；（2）根據(jù)圖形求極限與；（3）當(dāng)時(shí)，有極限嗎？2求下列函數(shù)極限：（1）；（2）；（3）。3下列極限是否存在？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。習(xí)題15求下列極限1；2. ；3. ；4；5. ；6. 。習(xí)題161求下列極限：（1）；

3、（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）。2利用極限存在準(zhǔn)則證明：（1）；（2）數(shù)列，的極限存在；（3）。習(xí)題171當(dāng)無限增加時(shí)，下列整標(biāo)函數(shù)哪些是無窮??？（1）；（2）；（3）；（4）。2已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，上述各函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是無窮大？（2）當(dāng)時(shí)，上述各函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是無窮大？（3）“是無窮小”，這種說法確切嗎？3函數(shù)在是是否有界？又當(dāng)?shù)?，這個(gè)函數(shù)是否為無窮大？為什么？4求下列極限（1）； （2）；（3） ；（4）；（5）；（6）；5求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。6下列各題的做法是否正確？

4、為什么？（1）（2）（3）。7證明：當(dāng)時(shí)，。8利用等價(jià)無窮小的性質(zhì)，求下極限：（1）；（2）；（3）（為正整數(shù)）；（4）。9當(dāng)時(shí)，是是多少階無窮??？10當(dāng)時(shí)，是是多少階無窮??？11當(dāng)時(shí)，是是多少階無窮??？習(xí)題181研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形：（1）；（2）；（3）；（4）。2指出下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類？如果是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。（1）；（2）；（3）。3為何值時(shí)函數(shù)在0，2上連續(xù)？4討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)，判斷共類型。習(xí)題191設(shè)連續(xù)，證明也是連續(xù)的。2若在上連續(xù)，且在上恒為正，證明：在上跡連續(xù)。3求下列極限：（1）；（2）；（3）

5、；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）（12）。習(xí)題1101證明：方程在區(qū)間（1，2）上至少有一個(gè)根。2設(shè)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，是a，b內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，證明：，使得習(xí)題211用導(dǎo)數(shù)定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（是常數(shù)）；（2）；（3）。2下列各題中假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出表示什么？（1）；（2），其中，；（3）。3利用冪函數(shù)求導(dǎo)數(shù)公式，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）。4已知函數(shù)，求。5已知函數(shù)，求。6自由落體運(yùn)動(dòng)（g=9.8米/秒2）。（1）求在從秒到（）秒時(shí)間區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均速度，設(shè)秒，秒，0.001秒；（2）求落體在5秒末的瞬時(shí)速度

6、；（3）求落體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度。7函數(shù)在某點(diǎn)沒有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)所表示的曲線在該點(diǎn)是不是就沒有切線？舉例說明。8設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在處連續(xù)可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？9求曲線在及處的切線斜率。10求曲線上取橫坐標(biāo)為及的兩點(diǎn)，作過這兩點(diǎn)的割線。問該拋物線上哪一點(diǎn)的切線平行于這條割線？12證明函數(shù)數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)。13函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是否存在，為什么？14討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性：（1）在點(diǎn)處；（2）在點(diǎn)處；（3）在點(diǎn)處。習(xí)題221求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。2求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：（1），求，；（2），求。3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（

7、其中，是自變量，是大于零的常數(shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25） （26）；（27）；（28）；（29）；（30）；（31）；（32）；（33）；（34）；（35）；（36）；（37）；（38）（39）。4求與曲線相切且通過點(diǎn)（1，2）的直線方程。5求曲線的平行于直線的法線方程。6拋物線上哪一點(diǎn)的切線與直線交成45°角。7求過曲線上橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的法線方程，并求從原點(diǎn)到該法線的距離。8設(shè)對可

8、導(dǎo)，求：（1）；（2）；（3）（4）。習(xí)題231求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。2驗(yàn)證函數(shù)是常數(shù)）滿足關(guān)系式。3驗(yàn)證函數(shù)滿足關(guān)系式。4求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：（1），求；（2），求。5若存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）（2）；（3）。6試從導(dǎo)出。習(xí)題241求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）。2利用對數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。3求圓過點(diǎn)（2，1）的切線方程。4設(shè)，求。5設(shè)，求。6已知， 求 。7已知星形線， 求 。8已知擺線，求 。9求下列曲線在

9、給定點(diǎn)處的切線和法線方程：（1），在處；（2），在處。10已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為（1）求質(zhì)點(diǎn)出發(fā)時(shí)所在的位置；（2）秒時(shí)的水平與鉛直方向的速度；（3）求水平方向加速度與鉛直方向加速度。11驗(yàn)證參量方程，所確定的函數(shù)滿足關(guān)系式。12一架直升機(jī)離開地面時(shí)，距離一觀察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飛，求起飛后15秒時(shí)，飛機(jī)飛離觀察者的速度？13將水注入深8米、上頂直徑8米的正圓錐形容器中，其速率每分鐘4立方米，當(dāng)水深為5米時(shí)，其表面上升的速度為多少？14有一長為5米的梯子，靠在墻上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度離開墻腳滑動(dòng)，問：（1）當(dāng)其下端離開墻腳多少米，梯子的上、下端滑動(dòng)的速率相同？（2

10、）它的下端離開墻腳1.4米時(shí)，梯子上端下滑的速率是多少？（3）何時(shí)它的上端下滑的速率為4米/秒？習(xí)題251求下列函數(shù)的微分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；2求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的微分：（1），在和時(shí)；（2），在和處。3求下列函數(shù)在指定條件下的微分：（1）；（2），當(dāng)從變到時(shí)。4若函數(shù)，（1）在處，試計(jì)算及；（2）將點(diǎn)處的微分，增量和在函數(shù)圖形上標(biāo)出。5填空：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）。習(xí)題311驗(yàn)證在上滿足Rolle定理的條件，并在上，找出使的。2以定義在1，3上的函數(shù)為例，說明Rolle定理是正確的。3已知函數(shù)，但在-1，1沒有導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，這與Roll

11、e定理是否矛盾？為什么？4驗(yàn)證函數(shù)在0，1上滿足Lagrange中值定理的條件，并在區(qū)間（0，1）內(nèi)找出使成立的。5當(dāng)時(shí)，對于函數(shù)在（，）上能否找到滿足有限增量公式的點(diǎn)？這與Lagrange中值定理是否矛盾？6不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根？并指出它們所在的區(qū)間。7證明恒等式：。8若方程有一個(gè)正根，證明：方程必有一個(gè)小于的正根。9若函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且其中，證明：在（）上至少有一點(diǎn)，使得。12證明下列不等式：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，。習(xí)題321求下列各題的極限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）。2驗(yàn)證存在，但不

12、能用L¢Hospital法則計(jì)算。習(xí)題331將的多項(xiàng)式表為（）的多項(xiàng)式。2應(yīng)用Maclaurin公式，將函數(shù)表示為的多項(xiàng)式。3當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的三階Taylor公式。4當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的階Taylor公式，并寫出拉格朗日型余項(xiàng)。習(xí)題341判定函數(shù)的單調(diào)性。2證明：單調(diào)增加。3判定函數(shù)的單調(diào)性。4證明：在不含點(diǎn)的任何區(qū)間都是單調(diào)增加的。5求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。6證明下列不等式：（1） ；（2）；（3）；（4）。7試證方程只有一個(gè)實(shí)根。8試確定方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，并指出這些根所在范圍。9單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？（研究：）習(xí)題351求下列函數(shù)的

13、極值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值和最小值：（1），；（2）；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），。3將8分為兩部分，怎樣分才使它們的立方之和為最??？4設(shè)一球的半徑為，內(nèi)接于此球的圓柱體的最高為，問為多大時(shí)圓柱的體積最大？5過平面上一已知點(diǎn)引一條直線，要使它在二坐標(biāo)軸上的截距都為正，且它們之和為最小，求此直線的方程。6對某個(gè)量進(jìn)行次測量，得到個(gè)測量值，試證：當(dāng)取這上數(shù)的算術(shù)平均值時(shí)，所產(chǎn)生的誤差的平方和：為最小。7有一杠桿，支點(diǎn)在它的一端，在距支點(diǎn)0.1m處掛一重量為49kg的物體，加力于杠桿的另一端，使杠桿保持水平（圖3.5.3

14、），如果杠桿本身每米的重量為5kg，求最省力的桿長？8從一塊半徑為的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形做成一個(gè)漏斗（圖3.5.4）。問留下的扇形的中心角為多大時(shí)，做成的漏斗的容積最大？習(xí)題361求下列各函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：（1）；（2） （a為任意正數(shù)）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。2問和為何值時(shí)，點(diǎn)（1，3）為曲線的拐點(diǎn)？3求曲線的拐點(diǎn)。4試確定中的的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。習(xí)題37求下列曲線的漸近線：1；2；3；4；5。習(xí)題38描繪下列函數(shù)的圖形：1。2。3。4。5。6。習(xí)題391求拋物線在頂點(diǎn)處的曲率及曲率半徑。2計(jì)算曲線上點(diǎn)（0，1）處的曲率。3求曲線在處的曲率。4求

15、曲線在處的曲率。5證明曲線在任何一點(diǎn)處的曲率半徑為。習(xí)題3101試證明方程在區(qū)間（）內(nèi)有惟一的實(shí)根，并用切線法求這個(gè)根的近似值，使誤差不超過0.01。2求方程的近似根，使誤差不超過0.01。習(xí)題411定積分的幾何意義可否解釋為：介于曲線，軸與之間的曲邊梯形的面積？2設(shè)物體沿軸，在變力的作用上，由點(diǎn)移到點(diǎn)，試用定積分概念（積分和式的極限）來表示變力所作的功3利用定積分的幾何意義，說明下列等式：（1）；（2）；（3）；（4）。4把下列定積分寫成積分和式的極限：（1）；（2）。5根據(jù)定積分的性質(zhì)，說明下列積分哪一個(gè)的值較大？（1）與；（2）與；（3）與；（4）與。6求由 確定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)。7計(jì)算

16、下列各導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）。8計(jì)算下列各定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）；（7）；（8）設(shè)，求。9求下列極限（1）；（2）10設(shè)，求在0，2上的表達(dá)式，并討論在（0，2）內(nèi)的連續(xù)性。11求極限。習(xí)題421求下列不定積分（其中，a，m，n，g為常數(shù)）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）。2和是否都是的原函數(shù)？3已知曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率為切點(diǎn)橫坐標(biāo)的二倍，求滿足上述條件的所有曲線方程，并求出過點(diǎn)（0，1

17、）的曲線方程。4一物體由靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)和后的速度是（米/秒），問：（1）在3秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？（2）物體走完360米需要多少時(shí)間？習(xí)題431計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）；（25）；（26）；（27）；（28）；（29）；（30）；（31）；（32）；（33）；（34）；（35）；（36）。2計(jì)算下列定積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）

18、；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）。3利用函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分（1）；（2）；（3）；（4）。4設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明：。5設(shè)在上連續(xù)，證明：。6對于任意常數(shù)，證明：。7證明：。8證明：。9證明：。10設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：的值與無關(guān)。11若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明：是偶函數(shù)； 若連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明：是奇函數(shù)。習(xí)題441計(jì)算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21

19、）。2計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。習(xí)題451求下列不定積分：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）。2用學(xué)過的方法求下列不定積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）；（23）；（24）。習(xí)題521求由下列各曲線所圍圖形的面積：（1）及直線；（2）及直線；（3

20、）軸與直線；（4）與直線及。2求由下列曲線所圍圖形的面積：（1）；（2）；（3）。3求下列各曲線所圍圖形的公共部分的面積：（1）及；（2）及。習(xí)題531設(shè)曲線與三角直線圍成的曲邊梯形，求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體積。2求與圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積。3有一鑄件，系由拋物線與直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體。試算出其質(zhì)量（長度單位是10-2m，鑄件密度7.8×103kg/m3）。4求下列曲線圍成的圖形沿給定軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體之體積：（1），繞軸；（2），繞軸。5設(shè)有截錐體，高為上、下底為橢圓，橢圓的軸長分別為，和，求截錐體的體積。6計(jì)算底面是半徑為的圓，而垂直于底而上一條固定直

21、徑的所有截面都是等邊三角形的體積（圖5.3.5）。習(xí)題541計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的長度。2計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的長度。3求曲線的弧長。4計(jì)算星形線的全長。5計(jì)算漸伸線上相應(yīng)于從0到的一段弧的長度。6求對數(shù)螺線自到的一段弧長。7求曲線自到的一段弧長。8求心形線的全長。9計(jì)算曲線從到的弧長。習(xí)題561直徑為20厘米，高為80厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10Newton/厘米2的蒸氣，設(shè)溫度保持不變，要使蒸氣體積縮小一半，問需要做多少功?2一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體在由移至?xí)r，克服媒質(zhì)阻力所做的功。3灑水車上的水箱是一個(gè)橫向的橢圓柱體，尺寸如圖5.6.5所示，

22、當(dāng)水箱裝滿水時(shí)，計(jì)算水箱的一個(gè)端面所受的壓力。4有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長10米和6米，高為20米，較長的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力。5一高為5米的圓柱形貯水桶，其底半徑為3米，桶內(nèi)裝滿了水，問把桶內(nèi)的水全部吸收需要做多少功?6一底為8厘米，高為6厘米的等腰三角形片，鉛直地沉沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面3厘米，試求它每面所受的壓力。7邊長為和()的矩形薄板，與液面成角斜沉于液體內(nèi)，長邊平行于液面而位于深處，試求薄板每面所受的壓力(假設(shè)液體比重為重力加速度為)。8設(shè)有長為，線密度為的均勻細(xì)棒，在與棒的一端垂直距離為單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，試求細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)

23、的吸引力。9設(shè)有一半徑為R，中心角為的圓弧形細(xì)棒，其線密度為常數(shù)，在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，試求這細(xì)棒對質(zhì)點(diǎn)的引力。習(xí)題571一物體以速度（米/秒）作直線運(yùn)動(dòng)，算出它在到秒這段時(shí)間內(nèi)的平均速度。2求函數(shù)在區(qū)間上的平均值。習(xí)題61判斷下列廣義積分的斂散性，如果收斂，則計(jì)算廣義積分的值。1；2. 。習(xí)題62判別下列廣義積分的斂散性，如果收斂，則計(jì)算廣義積分的值。1；2. ；3；4. ；習(xí)題711在空間直角坐標(biāo)系中，畫出下列各點(diǎn)：。2求點(diǎn)關(guān)于（1）各坐標(biāo)面，（2）各坐標(biāo)軸，（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。3自點(diǎn)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線，寫出各垂足的坐標(biāo)。4一邊長為的立方體放置在面上，其底面的中心

24、在坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的頂點(diǎn)在軸和軸上，求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。5求點(diǎn)到各坐標(biāo)軸的距離。6在面上，求與三個(gè)已知點(diǎn)，和等距離的點(diǎn)。7證明：以三點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。習(xí)題721設(shè)向量與同和軸的夾角相等，而與同的夾角是前者的兩倍，求向量的方向余弦。2設(shè)向量的方向余弦分別滿足下列條件，試問這些向量與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系如何？（1）；（2）；（3）3分別求出向量及的模，并寫出單位向量。4設(shè)向量，證明兩兩正交。習(xí)題731設(shè)為非零向量，問它們分別滿足什么條件時(shí)，下列等式成立？（1）；（2）。2設(shè)，試用表示。3在中，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，試用表示向量，。4設(shè)，證明：對任意一點(diǎn)，有。5已知兩點(diǎn)和，用坐標(biāo)表示式表示向

25、量及。6向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1，7），求它的始點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求的模及其方向余弦。7已知三力同時(shí)作用于一點(diǎn)，求合力的大小和方向余弦。8求平行于向量的單位向量。習(xí)題741判別下列結(jié)論是否成立，為什么？（1）若，則或；（2）；（3）。2設(shè)，求（1）及；（2）的夾角的余弦。3設(shè)向量和的夾角，又，試計(jì)算。4已知為單位向量，且滿足，計(jì)算。5已知向量滿足條件，證明。6求與及軸都垂直的單位向量，這樣的向量共有幾個(gè)？7設(shè)質(zhì)量為100千克的物體從點(diǎn)沿直線移動(dòng)到，計(jì)算重力所作的功（長度單位為米，重力的方向?yàn)檩S負(fù)方向）。8已知，計(jì)算。9已知，問為何值時(shí)與互相垂直？10已知向量和，計(jì)算（1）；（2）；（3）。11

26、已知，求的面積。習(xí)題811一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（2，3，1）和（4，5，6）等距離，求這動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。2動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)距離的平方和等于常量，求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。3方程表示什么曲面？4動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)（2，0，0）的距離為到點(diǎn)（-4，0，0）的距離的一半，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。習(xí)題821平面與平面平行（但不重合）的條件是什么？2指出下列平面的特殊位置，并畫出各平面：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3求過點(diǎn)（3，0，-1）且與平面平行的平面方程。4求過點(diǎn)（2，9，-6）且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)的線段OM垂直的平面方程。5求過（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程。6一平面過軸且與的

27、夾角為，求它的方程。7一平面過點(diǎn)（1，0，-1）且平行于向量和，求平面方程。8分別按下列條件求平面方程（1）平行于而且經(jīng)過點(diǎn)（2，-5，3）；（2）通過軸和點(diǎn)（-3，1，-2）；（3）平行于軸且經(jīng)過兩點(diǎn)（4，0，-2）和（5，1，7）。習(xí)題831求點(diǎn)（1，2，1）到平面的距離。2求過點(diǎn)（4，-1，3）且平行于直線的直線方程。3確定下列各組中的直線和平面間的位置關(guān)系：（1）和；（2）和；（3）和。4求過兩點(diǎn)（3，-2，1）和（-1，0，2）的直線方程。5用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線。6求直線和平面間的夾角。7求過點(diǎn)（1，2，-1）且與直線垂直的平面方程。8求二直線和的夾角的余弦。9直線在平面內(nèi)

28、嗎？10求過點(diǎn)（0，2，4）且與兩平面和平行的直線方程。11求過點(diǎn)（3，1，-2）且通過直線的平面方程。12求與直線及都平行且過原點(diǎn)的平面方程。13求點(diǎn)（-1，2，0）在平面上的投影。14求點(diǎn)（3，-1，2）到直線距離。15求直線在平面上的投影直線的方程。習(xí)題911指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1）；（2）；（3）；（4）；2指出下列方程在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1）；（2）3將坐標(biāo)面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。4將坐標(biāo)面上的圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。5將坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸及軸旋轉(zhuǎn)一周，

29、求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。習(xí)題921畫出下列方程所表示的曲面：（1）；（2）；（3）；（4）2說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？（1）；（2）（3）；（4）3畫出下列方程表示的曲面：（1）；（2）；（3）。習(xí)題931畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形（1）；（2）；（3）。2分別求母線平行于軸及軸而且通過曲線的柱面方程。3求在平面內(nèi)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程（任寫出三種不同形式的方程）。4將下面曲線的一般方程化為參數(shù)方程（1）；（2）5求螺旋線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程。6求曲線在面上的投影曲線的方程。7指出下列方程所表示的曲線（1）（2）；（3）；（4）；（5）。習(xí)題1011已知函數(shù)

30、，試求。2已知函數(shù)。試求。3求下列各函數(shù)的定義域：（1）；（2）。4函數(shù)在何上是間斷的？習(xí)題1021設(shè)函數(shù)，（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的偏增量和全增量；（2）當(dāng)從2變到2.1，從2變到1.9時(shí)，求與的值各為多少？2設(shè)，求及3設(shè)，求。4設(shè)，求。5設(shè)，求及。6設(shè)，當(dāng)時(shí)，求。7求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）8求曲線在點(diǎn)處的切線與縱軸正向所成的角度。9求下列函數(shù)的全微分：（1）；（2）（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。10求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的全微分：（1），（1，1）；（2）。11試示當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的全微分及全增量的值。習(xí)題1031

31、設(shè)求。2設(shè)，求。3設(shè)，證明。4設(shè)，求。5設(shè)，求。6設(shè)，其中 可微函數(shù)，驗(yàn)證。7設(shè)，求。8設(shè)，求。9設(shè)，求。10設(shè)，求。11設(shè)，求。12設(shè)，求。13設(shè)，求。14設(shè)，在處，求全導(dǎo)數(shù)的值。15設(shè)，在處，求全導(dǎo)數(shù)的值。16設(shè)，求。17設(shè)，求。習(xí)題1041設(shè)，求。2設(shè)，求。3設(shè)，求。4設(shè)，求。5設(shè)，求和。6設(shè)，求和。7設(shè)，求和。8求由方程所確定的函數(shù)的全微分。9求由方程組所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和。10地由方程組所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和。習(xí)題1051求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：（1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2設(shè)，驗(yàn)證。3設(shè)，求，及。4設(shè)，求。5設(shè)，求。6設(shè)，驗(yàn)證。習(xí)題1061求函數(shù)在點(diǎn)（1，2）

32、沿著與軸正向構(gòu)成60°角的方向?qū)?shù)。2求函數(shù)在點(diǎn)（1，2）沿著從該點(diǎn)到點(diǎn)（4，6）的方向?qū)?shù)。3求函數(shù)在點(diǎn)（1，1）沿著第一象限角平分線的方向?qū)?shù)。4求函數(shù)在點(diǎn)（2，1，3）沿著從該點(diǎn)到點(diǎn)（5，5，15）的方向?qū)?shù)。習(xí)題1111求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程。2求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程。3求曲線在處的切線及法平面方程。4在曲線上求一點(diǎn)，使在該點(diǎn)的切線平行于平面。5求曲面在點(diǎn)（2，1，0）處的切平面及法線方程。6求曲面在點(diǎn)（3，1，1）處的切平面及法線方程。7求曲面在點(diǎn)（2，-3，1）處的切平面及法線方程。8求曲面在點(diǎn)（）處的切平面及法線方程。9求橢球面上點(diǎn)（-1，-2，3）處的

33、切平面與平面的夾角。習(xí)題1121求函數(shù)的極值。2求函數(shù)的極值，其中，。3求函數(shù)的極值。4求下列已知函數(shù)在指定條件下的極值：（1），若；（2），若，（3），若，。5從斜邊長為的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形。6在半徑為的半球內(nèi)求一個(gè)體積最大的內(nèi)接長方體。習(xí)題1211證明Riemann積分中值定得。習(xí)題1221求的值，其中，。2求的值，其中，。3求的值，其中，。4求的值，其中，。5按照下列指定的區(qū)域?qū)⒍胤e分化為累次積分：（1）所圍成的區(qū)域；（2）所圍成的區(qū)域；（3）在第一象限中所圍成的區(qū)域；（4）所圍成的區(qū)域；（5）所圍成的區(qū)域。6改變下列累次積分的積分次序：（1）（2）；（3）；（

34、4）；（5）；（6）。7計(jì)算下列二重積分：（1）所圍成的區(qū)域；（2）所圍成的區(qū)域；（3）所圍成的區(qū)域；（4）所圍成的區(qū)域。8把下列直角坐標(biāo)形式的累次積分變?yōu)闃O坐標(biāo)形式的累次積分：（1）；（2）；（3）。9將下列二重積分變成極坐標(biāo)形式，并計(jì)算共值：（1），為圓所圍在第一象限中的區(qū)域；（2），為圓所圍在第一象限中的區(qū)域；（3），為圓及直線圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域；（4）。習(xí)題1231利用下列給出的積分區(qū)域，把化為三次積分：（1）由曲面及平面所圍成的區(qū)域；（2）由曲面及所圍成的區(qū)域。2計(jì)算下列三重積分：（1），其中，；（2），其中，所圍成的四面體。3利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中，：柱面及

35、平面，所圍成的區(qū)域；（2），其中，：錐面及平面所圍成的區(qū)域。4利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中，：半球面（）及平面所圍成的區(qū)域；（2），其中，：球面圍成的區(qū)域。5適當(dāng)選擇坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中，：柱面及平原所圍成的在第一卦限內(nèi)的區(qū)域；（2），其中，：球面所圍成的區(qū)域。習(xí)題1241求錐面被柱面所截下部分的曲面面積。2求球面為平面所夾部分的曲面面積。3計(jì)算平面被三個(gè)坐標(biāo)面所割出部分的面積。4求直線上，由至的一段線段繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。5求拋物柱面及平面所圍成的物體（密度為1）的質(zhì)量。6求由球面圍成的，密度為的球面的質(zhì)量。7求旋轉(zhuǎn)拋物面及平面所圍成的物體的質(zhì)量（密度為

36、）。8求由圓錐面與平面所圍立體的重心（密度）。9求由旋轉(zhuǎn)拋物面與平面所圍立體的重心（密度）。10求半徑為，高為，密度的均勻圓柱體，繞過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。11求半徑為，高為，密度的均勻圓柱體，繞過中心而垂直于母線的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。12一個(gè)物體是由兩個(gè)半徑各為和的同心球面圍成的，已知材料的密度與到球心的距離成反比，且在距離等于1處時(shí)，密度為，求物體的全部質(zhì)量。13球面上任一點(diǎn)的密度在數(shù)量上等于此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求球體的重心。習(xí)題1251求，其中，是點(diǎn)（0，-2）到點(diǎn)（4，0）的直線段。2求，其中，是由所圍成的矩形路線。3求，其中，為圓周。4求，其中，為曲線。5求，其中

37、，為以為頂點(diǎn)的三角形的邊。6求，其中，為拋物線由點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧。7求，其中，為有界的螺線。8求，其中，為螺線。習(xí)題1261求，其中，為拋物面，在平面上的部分，分別如下：（1）；（2）；（3）。2求，其中，為平面=1在第一卦限中的部分。3求，其中，為平面及三個(gè)坐標(biāo)所圍成的四面體的表面。4求，其中，為上半球面。習(xí)題1311求曲線上的點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線平行于平面。2求曲線在處的切線和法平面方程。3已知，其中，均為常向量，求函數(shù)。4一質(zhì)點(diǎn)以常角速度在圓周上運(yùn)動(dòng)，其中為圓函數(shù)。證明其加速度為，其中，為速度的模。5設(shè)，求。習(xí)題1321指出下列數(shù)量場所在的空間區(qū)域，并指出其等值面：（1）；（2）。2求數(shù)量場經(jīng)

38、過點(diǎn)的等值面方程。3求數(shù)量場對應(yīng)于的等值面，其中，。習(xí)題1331求，其中，是拋物線上從點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（2，4）的一段弧。2求，其中，是由直線圍成的按逆時(shí)針方向繞行的矩形回路。3求，沿曲線：（1）；（2）；（3）；（4）。4求，其中，為圓周由到的弧段。5求，其中，為曲線上從到的曲線弧段。6求，其中，為曲線上從到的曲線弧段。7求，其中，是從點(diǎn)（1，1，1）到點(diǎn)（2，3，4）的直線段。8把第二類曲線積分化成第一類曲線積分，其中，為沿拋物線從點(diǎn)（0，0）到點(diǎn)（1，1）的曲線弧段。9把第二類曲線積分化為第一類曲線積分，其中，為曲線上相應(yīng)于從0變到1的曲線弧段。習(xí)題1341應(yīng)用Green公式將曲線積分化

39、為邊界線所圍成區(qū)域上的二重積分，其中，依逆時(shí)針方向，且域不包含原點(diǎn)。2應(yīng)用Green公式計(jì)算曲線積分，其中，為按逆時(shí)針方向繞橢圓一周的路徑。3計(jì)算曲線積分，其中，為由點(diǎn)到點(diǎn)的上半圓周。4利用曲線積分計(jì)算星形線所圍成的圖形的面積。5驗(yàn)證沿分段光滑的任意閉路的曲線積分，其中，為連續(xù)函數(shù)。6驗(yàn)證沿分段光滑的任意閉路的曲線積分，其中，關(guān)于中間變量有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。7證明只與的起止點(diǎn)有關(guān)而與所取的路徑無關(guān)，其中，不經(jīng)過軸，并求曲線積分的值。8證明只與的起止點(diǎn)有關(guān)而與所取的路徑無關(guān)，并求曲線積分的值。9力在坐標(biāo)軸上的投影為，由該力構(gòu)成力場，證明質(zhì)點(diǎn)在此場內(nèi)移動(dòng)時(shí)，場力所做的功與路徑無關(guān)。10設(shè)在半平面中有

40、力構(gòu)成力場，其中為常數(shù)，。證明在此力場中力所做的功與所取路徑無關(guān)，而只與起止點(diǎn)有關(guān)。11驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。習(xí)題1351計(jì)算，其中，為橢球面的部分，取橢球面的外側(cè)為正。2計(jì)算，其中，為球面的下半部的下側(cè)。3計(jì)算，其中，為三個(gè)坐標(biāo)面及平面，圍成的正方體表面的外側(cè)。4把第二類曲面積分化為第一類曲面積分：（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面在平面上方的部分的上側(cè)。習(xí)題1361應(yīng)用Stokes公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中，為橢圓 ，若從軸正向看去時(shí)，該橢圓取逆時(shí)針方向；（2），其中，是圓周，若從軸正向

41、看去，取逆時(shí)針方向。2應(yīng)用OG公式計(jì)算下列曲面積分：（1），其中，是由平面及三個(gè)坐標(biāo)面圍成的正方體表面外側(cè)；（2），其中，為球面的外側(cè)；（3），其中，為球面的外側(cè)。習(xí)題1371直接應(yīng)用方向?qū)?shù)公式和作為梯度在該方向上的投影這兩種方法求數(shù)量場在點(diǎn)處沿其向徑方向的方向?qū)?shù)。2求數(shù)量場在點(diǎn)與處梯度的模和方向余弦。在哪些點(diǎn)處的梯度為零？3證明：是線性函數(shù)的充分必要條件是是常向量。4證明：數(shù)量場沿等值面上任一曲線的方向?qū)?shù)都等于零。習(xí)題1381設(shè)向量場 ，求（1）求過圓柱 （）的側(cè)表面的通量；（2）穿過此圓柱體全表面的通量。2求divA在給定點(diǎn)處的值：（1）在處；（2）在處；（3）在處。習(xí)題1391求向

42、量場沿下列曲線正向的環(huán)量：（1）圓周：；（2）圓周：。2求向量場在點(diǎn)處的旋度。3已知向量，求rot。習(xí)題141根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判定下列級數(shù)的斂散性：1。2. 。3。3. 。習(xí)題1421判定下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2證明：如果函數(shù)收斂，發(fā)散，那么級數(shù)發(fā)散。習(xí)題1431利用比較判別法，判定下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2利用比值判別法，判定下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。3用根值判別法判定下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中均為正數(shù)，且。4用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ?/p>

43、定下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。習(xí)題144判別下列級數(shù)的斂散性，如果是收斂的，指出是條件收斂還是絕對收斂：1。2。3。4。5。習(xí)題1521求下列級數(shù)的收斂域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）。2求下列級數(shù)的和函數(shù)（1）；（2）；（3）。3求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和。習(xí)題1531將下列函數(shù)展開成Maclaurin級數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。2將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。3將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。4將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。習(xí)題154利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式計(jì)算下列各數(shù)的近似值，使誤差不超過0.0001

44、。1。2. 。3. 。4（這里取）。習(xí)題1611（1）將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)；（2）求級數(shù)的和。2將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)。3利用與，求級數(shù)的和。習(xí)題1621將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)。2將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)。習(xí)題1631展開 為余弦級數(shù)。2展開 （）為正弦級數(shù)。習(xí)題1641將下列各周期函數(shù)展開成Fourier級數(shù)（下面給出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式）（1）；（2）；（3）2將下列函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)及余弦級數(shù)：（1）；（2）。3將函數(shù)展開成Fourier級數(shù)。習(xí)題1651設(shè)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間-1，1)上的表達(dá)式為。試將展開成指數(shù)形式的Fourier級數(shù)

45、。2設(shè)是周期為的周期函數(shù)。已知它的Fourier級數(shù)的指數(shù)形式為。試與出的Fourier級數(shù)的實(shí)數(shù)形式。習(xí)題1711指出下列微分方程的階：（1）；（2）；（3）；（4）。2指出下列各題中的函數(shù)是否為所給方程的解，若是解，是否是通解？（1）；（2），；（3）；（4）。習(xí)題1721求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）。2求下列微分方程滿足給定初始條件的解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。3一曲線通過點(diǎn)（2，3），它在兩坐標(biāo)軸間的任意切線線段均被切點(diǎn)平分，求該曲線的方程。4設(shè)將質(zhì)量為的物體在空氣中以速度豎直上拋，空氣阻力為，這里為常數(shù)，為運(yùn)動(dòng)速度，求速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。習(xí)題1

46、731求下列微分方程的解：（1）（2）；（3）；（4）。2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）；（2）；（3）；（4）3求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）。習(xí)題1741求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）。2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）；（2）；（3）；（4）。3一曲線的切線在縱軸上的截距總等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此平面曲線的方程。（1）；（2）；（3）；（4）。5常數(shù)變易法是推導(dǎo)一些微分方程的解的常用方法之一。該方法是我們已知一階線性齊次主程（2）的通解后，則猜想一階線性非齊次方程（1）的解可以把（2）的通解中的常數(shù)換成待定未知函數(shù)而得到

47、，即（1）有形如的解。試用這種方法推導(dǎo)出一階線性非齊次方程（1）的解。習(xí)題1751解下列微分方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。2試用觀察的方法，找出下列方程的一個(gè)積分因子，然后求解方程：（1）；（2）；（3）；（4）。習(xí)題1761求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）。2求下列微分方程滿足所給初值條件的特解：（1）；（2）；（3）。3設(shè)有一質(zhì)量為的物體，在空氣中由靜止開始下落，如果空氣阻力為，其中為物體運(yùn)動(dòng)速度，為一常數(shù)，試求物體下落的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。習(xí)題1781求下列各微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。2求下列各微分方程滿足已給定初始條件的特解：（1），；（2）；（3）；（4）。習(xí)題179求下列Euler方程的通解：1；2. 3；4. 。習(xí)題1811用數(shù)列極限的定義證明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列發(fā)散。3設(shè)，用數(shù)列極限的定義證明極限。4用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則。5下述幾種說法與數(shù)列