備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(新高考專用)搶分秘籍導數(shù)及其應用(九大題型)(學生版+解析)

/導數(shù)及其應用目錄【解密高考】總結(jié)常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】切線問題【題型二】極值與極值點【題型三】含參討論單調(diào)性【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點問題【題型七】隱零點問題【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參【題型九】多變量問題【誤區(qū)點撥】易錯點1：①除法求導要注意分子是相減，分母帶平方；②復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù),即．易錯點2：使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0的點，還需要對這些點左右兩側(cè)導函數(shù)的符號進行判斷：導數(shù)在新結(jié)構(gòu)試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數(shù)的壓軸題有所改變，但導數(shù)在高考中的考察依然屬于重點，題型很多，結(jié)合的內(nèi)容也偏多，比如常出現(xiàn)的比較大小和恒成立問題等都結(jié)合著構(gòu)造函數(shù)的思想.：在處理含對數(shù)的等式、不等式時，通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導時，就不含對數(shù)了，從而避免了多次求導.這種讓對數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，俗稱之為“對數(shù)單身狗”.【題型一】切線問題【例1】已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線的切點坐標.【例2】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則【變式1】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【變式2】過原點且與曲線相切的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3】過定點作曲線的切線，恰有2條，求實數(shù)的取值范圍.【題型二】極值與極值點【例1】設(shè)三次函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①函數(shù)有極大值②函數(shù)有極小值③函數(shù)有極大值④函數(shù)有極小值A(chǔ)．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)當時，求曲線在處的切線方程；(3)當時，求曲線的極值.【變式1】已知函數(shù)若，則函數(shù)的極小值點是；若函數(shù)在上存在唯一的極值點．則實數(shù)a的取值范圍為．【變式2】已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點處的切線平行于直線.(1)求函數(shù)的解析表達式；(2)求函數(shù)的極值.【變式3】已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是．【題型三】含參討論單調(diào)性【例1】設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間.【例2】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；【變式1】已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；【變式2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【題型四】恒成立求參【例1】已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【例2】已知函數(shù).(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.【變式1】已知對于任意的，存在，使得不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【變式2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求實數(shù)的值．【題型五】能成立求參【例1】若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【例2】已知函數(shù)(1)當時，求的極值；(2)若存在，使得，求的取值范圍．【變式1】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式2】已知函數(shù).(1)當在處的切線是時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【題型六】零點問題【例1】已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)畫出函數(shù)的大致圖像并求出方程的解的個數(shù)．【例2】函數(shù)有三個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值，關(guān)于x的方程有三個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是.【變式2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【變式3】已知函數(shù)．(1)若，求在上的值域；(2)若，求在上的零點個數(shù)．【題型七】隱零點問題【例1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：函數(shù)的圖象在x軸上方.【例2】已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)a的值；(2)若對任意，都有（e為自然對數(shù)的底），求證：．【變式1】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，證明：.【變式2】已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參【例1】已知，則（

）A． B． C． D．【例2】已知實數(shù)滿足且，則的最小值為.【例3】已知定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（

） B． C． D．幾種導數(shù)的常見構(gòu)造：對于，構(gòu)造若遇到，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于或，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于，構(gòu)造【變式1】已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則滿足的的取值范圍是．【變式2】已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為．【變式3】（多選）定義在上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【題型九】多變量問題【例1】已知函數(shù)，其中(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，證明：【例2】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【變式1】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)且，請判斷與的大小，并證明.【變式2】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；(2)記.若對任意且時，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式3】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，證明：當時，；(3)如果，且，證明：．目標希望是這樣的：由；在處理含指數(shù)的等式、不等式時，通常要將指數(shù)型函數(shù)與其它函數(shù)（乘或除）結(jié)合起來，這樣再對新函數(shù)求導時，就避免了多次求導.俗稱之為“指數(shù)找朋友”或“指數(shù)常下沉”.例1、知函數(shù)fx=log(1)當a=2時，判斷fx(2)若fx≥?1恒成立，求變式1、已知函數(shù)f(1)若a=2，求fx(2)若對?x∈0,+∞，fx變式2、已知函數(shù)fx=ln(1)討論fx(2)若恒成立，求.

導數(shù)及其應用目錄【解密高考】總結(jié)?？键c及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】切線問題【題型二】極值與極值點【題型三】含參討論單調(diào)性【題型四】恒成立求參【題型五】能成立求參【題型六】零點問題【題型七】隱零點問題【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參【題型九】多變量問題【誤區(qū)點撥】易錯點1：①除法求導要注意分子是相減，分母帶平方；②復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘以中間變量對自變量的導數(shù),即．易錯點2：使用導數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導函數(shù)等于0的點，還需要對這些點左右兩側(cè)導函數(shù)的符號進行判斷：導數(shù)在新結(jié)構(gòu)試卷中的考察重點偏向于小題，原屬于導數(shù)的壓軸題有所改變，但導數(shù)在高考中的考察依然屬于重點，題型很多，結(jié)合的內(nèi)容也偏多，比如常出現(xiàn)的比較大小和恒成立問題等都結(jié)合著構(gòu)造函數(shù)的思想.：在處理含對數(shù)的等式、不等式時，通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導時，就不含對數(shù)了，從而避免了多次求導.這種讓對數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過程，俗稱之為“對數(shù)單身狗”.【題型一】切線問題【例1】已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求過點且與曲線相切的直線的切點坐標.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出的值，利用導數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）設(shè)切點坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點的坐標代入切線方程，求出的值，即可得出所求切點的坐標.【詳解】（1）因為，求導得，故，因此，曲線在點處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點坐標為，則曲線在點處的切線的斜率為，故所求切線方程為，將點的坐標代入切線方程得，整理可得，即，解得或，故所求切點的坐標為或.【例2】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則【答案】2【分析】設(shè)出兩切點和點，求導，利用導數(shù)幾何意義得到，表達出上點處的切線方程，代入點坐標，得到方程，聯(lián)立得到，，求出.【詳解】設(shè)上點處的切線和在點處的切線相同，，，故，故，上點處的切線方程為，顯然在切線上，故，即，即，解得，故.故答案為：2【變式1】已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】求，利用導數(shù)的幾何意義可求的值.【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為，且，∴，∵曲線在點處的切線與直線垂直，∴，即，故.故選：D.【變式2】過原點且與曲線相切的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】先求出導函數(shù)，再設(shè)切點，根據(jù)導函數(shù)得出切線斜率再應用兩點求斜率計算求參進而得出切線即可.【詳解】設(shè)切點，因為曲線，所以，所以，所以，所以或，當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；當時，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.【變式3】過定點作曲線的切線，恰有2條，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】設(shè)出切點，根據(jù)點斜式求解直線方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】由，得，切點為，則切線的斜率為，所以切線方程為，因為，所以，因為點在切線上，所以，得，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以在處取得極小值，當時，，當時，，由題意可得直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為，【題型二】極值與極值點【例1】設(shè)三次函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①函數(shù)有極大值②函數(shù)有極小值③函數(shù)有極大值④函數(shù)有極小值A(chǔ)．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】結(jié)合圖象先判斷的正負性，即可得出的增減性，進而得出極值.【詳解】由題圖知，當時，，則；當時，，則；當時，，則；當時，，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值是，極小值是，①④正確，故選：B【例2】已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的值；(2)當時，求曲線在處的切線方程；(3)當時，求曲線的極值.【答案】(1)(2)(3)極大值為，極小值為-2.【分析】（1）利用導函數(shù)的零點結(jié)合極值點的定義計算驗證即可；（2）利用導數(shù)的幾何意義計算即可；（3）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念列表計算即可.【詳解】（1），由題意知，所以，即當時，，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在處取得極值.故；（2）由（1）可知.當時，，所以，所以在處的切線方程為，即；（3）由（1）（2）可知，，令，得或1+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在處取得極大值，在處取得極小值，故極大值為，極小值為.【變式1】已知函數(shù)若，則函數(shù)的極小值點是；若函數(shù)在上存在唯一的極值點．則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】1【分析】①時，直接求導得到導函數(shù)，判斷導函數(shù)零點左右的正負即可得到極值點；②若函數(shù)在上存在唯一的極值點，則只有一個零點在內(nèi)，結(jié)合為的對稱軸可以更具體地得到，解不等式組即可得出答案.【詳解】①時，，的定義域為，，令，得或，當時，；當時，，故函數(shù)的極大值點為，極小值點為，②，對稱軸為，若函數(shù)在上存在唯一的極值點，則只有一個零點在內(nèi)，因為的對稱軸為，所以，即且，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：1；.【變式2】已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點處的切線平行于直線.(1)求函數(shù)的解析表達式；(2)求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)極大值為，極小值為【分析】（1）求導，由求得的值，得解；（2）利用導數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值.【詳解】（1）根據(jù)題意，，則，解得，.（2）由（1），令，解得或，令，解得，所以當或時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，極大值為，當時，取得極小值，極小值為.【變式3】已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】直接求導得，再設(shè)新函數(shù)，討論和的情況，求出函數(shù)的極值點，則由題轉(zhuǎn)化為，解出即可.【詳解】因為，，令，函數(shù)有兩個極值點，則在區(qū)間上有兩個不等實數(shù)根，又，當時，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上不可能有兩個實數(shù)根，舍去，當時，令，解得，令，解得，此時函數(shù)在單調(diào)遞增，令，解得，此時函數(shù)在單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得極大值，當趨近于0與趨近于時，，要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根，則，解得，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【題型三】含參討論單調(diào)性【例1】設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【分析】（1）直接代入，再利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可；【詳解】（1），當時，；當，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【例2】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的解析式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.【變式1】已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；【答案】(1)在上單調(diào)遞減【分析】（1）代入后，再對求導，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【變式2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【題型四】恒成立求參【例1】已知函數(shù)，若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，求的最大值即可.【詳解】，則在上恒成立，令，則，則得，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【例2】已知函數(shù).(1)若存在極小值，且極小值為，求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極小值為求解；（2）將不等式分離參數(shù)，得，設(shè)，，利用導數(shù)求出最值即可.【詳解】（1），，當時，，所以函數(shù)無極值，當時，由，得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設(shè)，，則，當時，，即在上單調(diào)遞減，當時，，即在上單調(diào)遞增，所以，則，所以的取值范圍為.【變式1】已知對于任意的，存在，使得不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】令，則，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的零點，進而求出的符號分別情況，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出，即可得解.【詳解】令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以又，且當時，，當時，，即，且當時，，當時，，所以存在唯一，使得，所以，故當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式2】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，求實數(shù)的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對函數(shù)求導，分別討論，當以及當時，導函數(shù)的正負情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得，當時，，則要使不等式成立，即需使不等式成立，令，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而得到恒成立，故若要使，則，從而求得的值.【詳解】（1）因為，定義域為，求得，所以，當時，成立，此時在上單調(diào)遞減；當時，，，在上單調(diào)遞減；，，在上單調(diào)遞增．綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）得，當時，，要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立，令，，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，若，則,所以.【題型五】能成立求參【例1】若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可知，使得成立，則，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域是，則．若存在單調(diào)遞減區(qū)間，即，使得成立，則．令，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故．故答案為：.【例2】已知函數(shù)(1)當時，求的極值；(2)若存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）結(jié)合導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而求解極值；（2）求導，分，，三種情況分析求解即可.【詳解】（1）當時，，則，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值.（2）由，，則，當時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即；當時，，則時，；時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，與矛盾，不符合題意；當時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即恒成立，符合題意.綜上所述，的取值范圍為．【變式1】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)值范圍計算即可求參.【詳解】因為函數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，當時，存在，所以；當時，不成立；當時，存在，所以成立，令，，當單調(diào)遞增；當單調(diào)遞減；所以時，，，，所以；綜上得：或.故選：D.【點睛】方法點睛：解題的方法是分類討論三種情況結(jié)合函數(shù)值域及導函數(shù)求參單調(diào)性計算求解即可.【變式2】已知函數(shù).(1)當在處的切線是時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間，增區(qū)間，極小值，無極大值.(2)【分析】（1）根據(jù)切線求得，利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間與極值.（2）由不等式分離參數(shù)，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】（1），若在處的切線是，則，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值.（2）依題意，①在上有解，①可化為，設(shè)，，由（1）知，當且僅當時函數(shù)值為，所以在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增；所以，所以的取值范圍是.【題型六】零點問題【例1】已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)畫出函數(shù)的大致圖像并求出方程的解的個數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值；(2)當時，有個解；當或時，有個解；當時，有個解.【分析】（1）直接對于求導，判斷單調(diào)性，進而求解極值；（2）由（1）的單調(diào)性與極值，最值，畫出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的解的個數(shù).【詳解】（1）由題意可知，的定義域為，則，令，則，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增.所以故;（2）由（1）可知作出函數(shù)圖像，由圖，當時，方程的解個數(shù)為個；當或時，方程的解個數(shù)為個；當時，方程的解個數(shù)為個.【例2】函數(shù)有三個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成與有三個交點，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進而可得出的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】因為，易知，所以0不是零點，令，即，得到，令，，則，易知恒成立，由，得到，當時，，時，，時，，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又易知，當，且時，，時，，當時，時，，且，當時，時，，所以的圖象如圖所示，由題知與有三個交點，所以，故選：A.【變式1】若函數(shù)，當時，函數(shù)有極值，關(guān)于x的方程有三個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)當時，函數(shù)有極值，求得的解析式，利用導數(shù)法，作出函數(shù)的圖象求解.【詳解】由題意可知，，∴，解得經(jīng)檢驗，，符合題意.故所求函數(shù)的解析式為.則.令，得或，當x變化時，，的變化情況如表，x2+0-0+↗↘↗∴當時，有極大值；當時，有極小值.則函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：要使關(guān)于的方程有三個不等實根，則k應滿足.即實數(shù)k的取值范圍是.故答案為：【變式2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，再分和兩種情況討論即可；（2）由（1）知，要使函數(shù)有兩個零點，則，則，進而可得出答案.【詳解】（1），當時，，所以函數(shù)在單調(diào)減區(qū)間為，當時，令，則，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，綜上所述，當時，在單調(diào)減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由（1）知，要使函數(shù)有兩個零點，則，當時，，又當時，，當時，，因為函數(shù)有兩個零點，所以，令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又因為，所以不等式的解集為，所以實數(shù)的取值范圍為.【變式3】已知函數(shù)．(1)若，求在上的值域；(2)若，求在上的零點個數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析；【分析】（1）多次求導后，可判斷在上單調(diào)遞增，據(jù)此可得值域；（2）時，多次求導后，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中，然后由零點存在性定理可得答案.【詳解】（1）時，，此時，令，.則，則在上單調(diào)遞增，則，故在上單調(diào)遞增，則；（2）由題，令，.則，，，時，，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)知在上的零點個數(shù)為0；時，所以，故在上單調(diào)遞減.又，則，使.則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又注意到，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，則時，，，又，結(jié)合在上單調(diào)遞減.則存在，使.綜上，當時，在上的零點個數(shù)為0，當時，在上的零點個數(shù)為1.【題型七】隱零點問題【例1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：函數(shù)的圖象在x軸上方.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)證明見解析.【分析】(1)求，根據(jù)正負即可求y的單調(diào)區(qū)間；(2)求，根據(jù)零點的范圍求出g(x)的最小值，證明其最小值大于零即可.【詳解】（1），令則.當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），，易知單調(diào)遞增，又，，∴在上存在一個，使得：，即：，且，當，有單調(diào)遞減；當，有單調(diào)遞增.∴，∴，∴函數(shù)的圖象在x軸上方.【點睛】本題考查隱零點，關(guān)鍵是判斷單調(diào)，且，，由此得出在(1，2)之間存在零點，據(jù)此求出g(x)的最小值，證明此最小值大于零即可.【例2】已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)a的值；(2)若對任意，都有（e為自然對數(shù)的底），求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】(1)，所以，，

所以曲線在點處的切線方程為，因為切線經(jīng)過點，所以解得．(2)設(shè)，則，

設(shè)，則，因為在上遞增，所以當時，，當時，所以在上遞減，在上遞增，所以，

令，則所以在遞減，因為，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合可證得結(jié)論，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題【變式1】已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，證明：.【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）求導得，分，，，三種情況討論可得單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）由（1）及可知：僅當極大值等于零，即且所以，且，消去得，構(gòu)造函數(shù)，證明單調(diào)且零點存在且唯一即可.試題解析：（Ⅰ），，令，，若，即，則，當時，，單調(diào)遞增，若，即，則，僅當時，等號成立，當時，，單調(diào)遞增.若，即，則有兩個零點，，由，得，當時，，，單調(diào)遞增；當時，，，單調(diào)遞減；當時，，，單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）由（1）及可知：僅當極大值等于零，即時，符合要求.此時，就是函數(shù)在區(qū)間的唯一零點.所以，從而有，又因為，所以，令，則，設(shè)，則，再由（1）知：，，單調(diào)遞減，又因為，，所以，即點晴：本題考查函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可結(jié)合導數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.【變式2】已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點；（2）若對于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【分析】（1）先利用導數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點存在定理，得證；（2）參變分離得，令，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合（1）中結(jié)論和隱零點的思維，即可得解．【詳解】（1）證明：∵，∴，當時，，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點．（2）解：∵，且，∴，令，則，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，設(shè)該零點為，則，故當時，，即，在上單調(diào)遞減，當時，，即，在上單調(diào)遞增，∴，∴，故整數(shù)的最大值為3．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，以及不等式問題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運算能力，屬于較難題．【題型八】構(gòu)造函數(shù)求參【例1】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用對數(shù)單調(diào)性得出，再構(gòu)造函數(shù)，求出導函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性判斷即可判斷.【詳解】因為．構(gòu)造函數(shù)，則，當時，單調(diào)遞增，所以，所以．故．故選：A.【例2】已知實數(shù)滿足且，則的最小值為.【答案】【分析】首先通過對數(shù)運算法則對已知等式進行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)值相等及單調(diào)性得到與的關(guān)系，進而得到關(guān)于的表達式，構(gòu)造新函數(shù)，通過求導判斷其單調(diào)性來求解最小值.【詳解】，即，設(shè)，則上式表明，求導得，當時，在上單調(diào)遞增，由于，令，，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，.故答案為：.【例3】已知定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集是（

） B． C． D．幾種導數(shù)的常見構(gòu)造：對于，構(gòu)造若遇到，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于或，構(gòu)造對于，構(gòu)造對于，構(gòu)造【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意利用導數(shù)計算可得該函數(shù)單調(diào)性，即可將不等式轉(zhuǎn)化為，從而得到，即可得解.【詳解】令，則，則當時，，即在上單調(diào)遞減，由，則，又，即不等式等價于，即，即有，解得.故選：D.【變式1】已知是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，則滿足的的取值范圍是．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，應用導函數(shù)得出單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得出，最后計算求解.【詳解】設(shè)，則．由當時，，得，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，所以，即．因為為上的偶函數(shù)，所以，即，計算得，所以，解得或．故答案為：.【變式2】已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】將原不等式同構(gòu)為，即，令，分析單調(diào)性可得，令利用導數(shù)求出最值得解.【詳解】由，可得．令，易知在上單調(diào)遞增，由，可得，故，即.令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，故正數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式3】（多選）定義在上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，結(jié)合選項和函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，因為，所以，故是增函數(shù).由得，，即，故A正確；由得，，即，故B正確；由得，，即，故C錯誤；由得，，即，即，故D正確.故選：ABD．【題型九】多變量問題【例1】已知函數(shù)，其中(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導，分類討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）由函數(shù)有兩個極值點，確定a的范圍，代入函數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域為，且，，令，當，即時，恒成立，則，所以在上是單調(diào)遞減；當，即時，函數(shù)有兩個零點：，，當x變化時，，的變化情況如下表所示：x-0+0-單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減綜上，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當時，有兩個極值點，，則，是方程的兩個根，由韋達定理，得，，所以，，令，，則，當時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，故【例2】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可求的取值范圍；（2）由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，結(jié)合單調(diào)遞增只需證，再根據(jù)單調(diào)性可得答案.【詳解】（1），則，令，得，若函數(shù)有兩個零點，則直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．設(shè)，則．當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此．當時，，當時，，作出函數(shù)的大致圖象與直線，如圖所示，要使二者有兩個不同交點，則，故的取值范圍為．（2）因為是函數(shù)的兩個極值點，所以．由（1）知，不妨設(shè)，要證，即證，只需證，顯然．由（1）知當時，單調(diào)遞增，所以只需證，而，所以即證．設(shè)，則，當時，單調(diào)遞減，所以當時，，所以當時，，原不等式得證．【點睛】方法點睛：解答函數(shù)零點個數(shù)問題常見思路：1，轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)求解；2，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)求解.【變式1】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)且，請判斷與的大小，并證明.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為和；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)，證明見解析【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)法求得的單調(diào)區(qū)間即可．（2）構(gòu)造函數(shù)，利用多次求導的方法判斷出的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出兩者的大小關(guān)系．【詳解】（1）的定義域為，，，令得，令得且，即在區(qū)間和上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，．（2），證明如下：令，則定義域為，，令，則，則當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以在，上單調(diào)遞增，因為且，所以或，所以恒成立，即，所以.【變式2】已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處有極值，且關(guān)于的方程有3個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍；(2)記.若對任意且時，均有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)極值點的定義求，并利用函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)有3個零點求參數(shù)的取值范圍；（2）首先根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性去絕對值，再變形不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在遞減；在遞增，再利用函數(shù)的導數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為參變分離，求最值問題，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)在處有極值，可得，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以當時，在單調(diào)遞減；當或時，在上單調(diào)遞增，可得在處取得極小值，且為0，在處取得極大值，且為，方程有3個不同的實根，等價為，即有的取值范圍是.（2）在遞減，可得時，，，即為，即即為即對任意且時恒成立.所以在遞減；在遞增.當在恒成立時，可得，即在恒成立，在上單調(diào)遞增，即，則.當在恒成立時，可得，即在恒成立，，當時等號成立，則，則.綜上可得的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是第2問，變形不等式，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的單調(diào)性問題，結(jié)合導數(shù)，即可求解.【變式3】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，證明：當時，；(3)如果，且，證明：．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由導數(shù)知識可得的單調(diào)區(qū)間；（2）由題可得，然后研究單調(diào)性，可完成證明；（3）方法1，由導數(shù)知識可得大致圖象，據(jù)此可得，然后通過研究函數(shù)，可得對恒成立，最后由題意，結(jié)合，可完成證明；方法2，要證，即證，然后通過研究可完成證明；方法3，令，要證，即證：，然后通過研究可完成證明.【詳解】（1）.。則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；（2）因的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，則.構(gòu)造函數(shù)，則.因，則，則在上單調(diào)遞增，則，即當時，；（3）法一：，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時，，，時，，函數(shù)在處取得極大值，且，如圖所示．由，不妨設(shè)，則必有，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，也即對恒成立．由，得，所以，即，又因為，且在上單調(diào)遞減，所以，即法二：欲證，即證，由法一知，故，又因為在上單調(diào)遞減，故只需證，又因為，故也即證，構(gòu)造函數(shù)，則等價于證明對恒成立．由，則在上單調(diào)遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式成立．法三：由，得，化簡得，不妨設(shè)，