鄒方劍：理解公式學(xué)習(xí)的必要性

1、余杭區(qū)初中學(xué)科骨干高級(jí)研修班結(jié)業(yè)論文理解公式學(xué)習(xí)的必要性姓 名：鄒方劍導(dǎo) 師：楊玉東、周丁丁、黃偉勝學(xué) 科：初中數(shù)學(xué)學(xué) 校：余杭區(qū)運(yùn)河鎮(zhèn)博陸中學(xué)答 辯：2008年9月 余杭摘要數(shù)學(xué)公式是用符號(hào)（字母、運(yùn)算符號(hào)）表示的量與量之間關(guān)系（定律或定理）的式子，當(dāng)前，初中代數(shù)公式的教學(xué)一個(gè)普遍存在的問題是，以書本知識(shí)為本位，學(xué)生死記數(shù)學(xué)定理、公式，把主要精力放在公式應(yīng)用的反復(fù)操練上，給學(xué)生的感覺學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式就是“記公式、用公式”，至于為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式則很茫然，逐漸喪失了學(xué)習(xí)的積極性。本文以浙教版七年級(jí)下冊(cè)平方差公式為載體，采用課堂觀察法、錄像分析法、訪談法探索了如何進(jìn)行公式教學(xué)，得出了讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)

2、公式的必要性對(duì)公式教學(xué)是很有必要的。關(guān)鍵詞 平方差公式，必要性，反思，改進(jìn)1課例研究過程1.1第一次教學(xué)實(shí)踐1.1.1課堂引入T：昨天下班后在我們小區(qū)門口看到一個(gè)人在賣西瓜，我首先問多少錢一斤，他說4.1元每斤，我想怎么這么貴，于是就挑了一個(gè)稍輕一點(diǎn)的，賣水果的一稱3.9斤，你們說我應(yīng)付多少錢？（停頓一會(huì)）哪個(gè)同學(xué)能告訴我應(yīng)付多少錢？S：學(xué)生有些在拿出計(jì)算器計(jì)算，有的在列算式T：（停頓半分鐘后）那個(gè)賣西瓜的也和你們一樣拿出計(jì)算器，我對(duì)他說別算了我應(yīng)付15.99元，同學(xué)們你們想知道我為什么算得這樣快嗎？S：想！.T：同學(xué)們都想知道，實(shí)際上很簡(jiǎn)單，學(xué)完這節(jié)課后我保證你們絕大多數(shù)同學(xué)都會(huì)算這個(gè)問題，

3、很快能把這個(gè)答案算出來.1.1.2模型建立T：哦對(duì)了，你們上節(jié)課學(xué)過了什么知識(shí)？S：多項(xiàng)式的乘法！T：哦，學(xué)了多項(xiàng)式的乘法，那你們能不能幫我寫兩個(gè)兩項(xiàng)式乘以兩項(xiàng)式的例子，并把過程寫在課堂練習(xí)本上.T：寫好的請(qǐng)舉手，好的，現(xiàn)在我想知道你們?cè)谟?jì)算之后的結(jié)果有幾項(xiàng)？S：三項(xiàng)、四項(xiàng)、兩項(xiàng)T：哦，有這么多不同的結(jié)果，現(xiàn)在我統(tǒng)計(jì)一下結(jié)果有四項(xiàng)的舉手！有三項(xiàng)的舉手，有兩項(xiàng)的舉手！對(duì)于這幾種不同的類型你們比較關(guān)注哪一種情況？S：結(jié)果是兩項(xiàng)（學(xué)生齊答）-1-T：你們?yōu)槭裁聪矚g兩項(xiàng)？S：結(jié)果簡(jiǎn)單！T：好那我們就來研究結(jié)果是兩項(xiàng)的，下面我們請(qǐng)幾位同學(xué)上來寫出兩項(xiàng)式乘以兩項(xiàng)式結(jié)果只有兩項(xiàng)的，在下面的同學(xué)也別閑著，你們

4、在下面寫.T：對(duì)于剛才幾位同學(xué)的板書，我們只取他們的題目與結(jié)果，整理出如下的幾個(gè)式子：（1） (x+3)(x3)=x232 （2） (1+2a)(12a)=12（2a）2 （3） (x+4y)(x4y)=x2（4y）2 （4） (y+5Z)(y5Z)=y2（5Z）2 這幾個(gè)等式就是平方差公式，你能規(guī)納出平方差公式左右兩邊的特征嗎？T：能不能用字母來表示平方差公式？S：（a+b）（a-b）=a2-b2T：能不能用一句話來敘述平方差公式？S：兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的平方差等于兩數(shù)的平方差T：按照我們這個(gè)概念，我想（a+b）（x+y）= a2-b2，對(duì)嗎？S：不對(duì)T：為什么不對(duì)，這不是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差

5、等于兩數(shù)的平方差嗎？S：它們是相同的（學(xué)生急著喊）T：既然是這樣我們數(shù)學(xué)是講究嚴(yán)密的，能不能加個(gè)字？S：這T：好的，兩數(shù)之和乘以這兩數(shù)的平方差等于這兩數(shù)的平方差.1.1.3 公式的圖示證明T：計(jì)算兩個(gè)圖形的陰影部分面積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？aaaaabb2a-b圖2圖1-b-2-S：第一個(gè)圖形的面積是（a+b）（a-b），第二個(gè)圖形的面積是a2-b2，這兩個(gè)圖形可以通過移動(dòng)轉(zhuǎn)化，如把第一個(gè)圖形的右邊一個(gè)長(zhǎng)方形移動(dòng)左邊那個(gè)圖形的下面便可得到第二個(gè)圖形，所以從這個(gè)變化過程中我得到了：（a+b）（a-b）=a2-b2T：很好，這個(gè)圖形的變換就驗(yàn)證了平方差公式的正確性，也就是平方差公式的幾何意義。1.1

6、.4 公式的應(yīng)用1.1.4.1例題：你能用平方差公式直接計(jì)算下列各式嗎？（y+3)(y-3) (1-5b)(1+5b) (a+3b)(a-3b) (-x+2)(-x-2)1.1.4.2練習(xí)：計(jì)算（3x+5y）(3x-5y) (1/2b+a)(-1/2b+a) (x+y)(x-2y)-(-y+2x)(2x+y) 918.9 1.2 第一次教學(xué)反思與建議1.2.1暴露的問題1.2.1.1兩個(gè)情境有必要嗎？課堂引入的情境與模型建立的情境過渡不自然，有點(diǎn)牽強(qiáng)！1.2.1.2有學(xué)習(xí)過程但耗時(shí)過多本節(jié)課模型的建立耗時(shí)22分鐘，占整節(jié)課的22/40，導(dǎo)致學(xué)生從應(yīng)用的角度理解公式的時(shí)間較少。1.2.1.3平方

7、差公式的美在哪？數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)美，本節(jié)課只從圖形的角度證明了平方差公式的結(jié)構(gòu)美，但沒有從代數(shù)的角度邏輯證明平方差公式。1.2.1.4平方差公式簡(jiǎn)化的作用沒有得到更好的體現(xiàn)公式的最大的作用就是能簡(jiǎn)化運(yùn)算，但本節(jié)課的例題與練習(xí)設(shè)計(jì)在這方面體現(xiàn)得不夠，學(xué)生對(duì)平方差公式的作用體驗(yàn)得不夠。1.2.2改進(jìn)建議1.2.2.1合理安排用好情境合理選擇情境，使情境能讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)平方差公式的必要性，可以只用其中一個(gè)情境。1.2.2.2理解平方差公式的美增加平方差公式的邏輯證明步驟，讓學(xué)生體驗(yàn)到公式的美，理解平方差公-3-式為什么只有兩項(xiàng)。1.2.2.3要幫助學(xué)生理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征平方差公式的結(jié)構(gòu)對(duì)平

8、方差公式的教學(xué)很重要，在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)造條件，幫助學(xué)生理解并熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)特征。1.2.2.4合理安排好時(shí)間，使各環(huán)節(jié)時(shí)間更加合理；1.2.2.5設(shè)計(jì)好公式的應(yīng)用，讓學(xué)生體驗(yàn)到平方差公式的真正作用。1.3第二次教學(xué)實(shí)踐：相比第一次教學(xué)實(shí)踐有三點(diǎn)變化，其余相同。1.3.1模型建立T：昨天下班后在我們小區(qū)門口看到一個(gè)人在賣西瓜，我首先問多少錢一斤，他說4.1元每斤，我想怎么這么貴，于是就挑了一個(gè)稍輕一點(diǎn)的，賣水果的一稱3.9斤，你們說我應(yīng)付多少錢？（停頓一會(huì)）哪個(gè)同學(xué)能告訴我應(yīng)付多少錢？學(xué)生有些在拿出計(jì)算器計(jì)算，有的在列算式T：（停頓半分鐘后）誰能告訴我我應(yīng)付多少錢？S：15.99學(xué)生齊答.T：

9、你是用什么方法算的？S：計(jì)算器列算式T：用計(jì)算器算的舉手，用列算式算的舉手，哦還有的不是用這兩種方法算的，你來說說看你是怎樣算的？S：我是用（4+0.1）（4-0.1）算的T：結(jié)果是多少?.S：42-0.12=15.99T：不錯(cuò)，但是我有點(diǎn)納悶，第一步到第二步是怎么來的？S：乘法公式T：你能不能把這個(gè)乘法公式寫出來？（學(xué)生重新板演補(bǔ)充過程）T：按他的想法，你會(huì)算9.18.9、10.19.9各等于多少？S：9.18.9=92- 0. 12=81-0.01=80.99，10.19.9=102- 0. 12=100-0.01=99.99T：看到上面這些算式有些同學(xué)可能會(huì)想，是不是所有類似這樣的算式都

10、成立呢？S：是T：那我們能不能得出一個(gè)什么猜想？S：（a+b）(a-b)=a2-b2-4-1.3.2公式的證明T：我們猜想（a+b）(a-b)=a2-b2，你是怎么得出這個(gè)結(jié)論的？S：利用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出來的。T：怎樣算你說我來寫（板書平方差公式的證明過程（a+b）(a-b)= a2-ab+ab-b2=a2-b2）很好，這就是我們這節(jié)課我們要研究的平方差公式（板書課題），你能用一句話來概括平方差公式嗎？S：兩數(shù)之和乘以這兩數(shù)平方差等于這兩數(shù)的平方差。T：計(jì)算兩個(gè)圖形的陰影部分面積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？aaaaabb2a-b圖3圖4-bS：第一個(gè)圖形的面積是（a+b）（a-b），第二個(gè)圖形的面積

11、是a2-b2，這兩個(gè)圖形可以通過移動(dòng)轉(zhuǎn)化，如把第一個(gè)圖形的右邊一個(gè)長(zhǎng)方形移動(dòng)左邊那個(gè)圖形的下面便可得到第二個(gè)圖形，所以從這個(gè)變化過程中我得到了：（a+b）（a-b）=a2-b2T：很好，這個(gè)圖形的變換就驗(yàn)證了平方差公式的正確性，也就是平方差公式的幾何意義。1.3.3公式的應(yīng)用1.3.3.1例題：完成表格（a+b)(a-b)aba2-b2最后結(jié)果（y+3)(y-3)(a+3b)(a-3b)(1-5b)(1+5b)(-x+2)(-x-2)1.3.3.2練習(xí)：計(jì)算-5-（3x+5y）(3x-5y) (x+y)(x-2y)-(-y+2x)(2x+y)918.9 20072009-200821.3.3.

12、3若 x-y=7，x+y=2，則x2-y2= ？1.4第二次教學(xué)反思與建議1.4.1教學(xué)反思1.4.1.1幫助學(xué)生更進(jìn)一步理解了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征第二次授課通過圖示證明、邏輯證明、找a、b的方法幫助學(xué)生理解平方差公式的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特征，也體驗(yàn)到平方差公式的結(jié)構(gòu)美。1.4.1.2體現(xiàn)了學(xué)習(xí)平方差公式的簡(jiǎn)便運(yùn)算的作用第二次教學(xué)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)平方差公式能簡(jiǎn)便運(yùn)算，特別是“20072009-20082”與“若 x-y=7,x+y=2,則x2-y2= ？”兩題更能體驗(yàn)到平方差公式對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)便作用。1.4.2暴露的問題1.4.2.1學(xué)習(xí)平方差公式的必要性沒有得到更好的體現(xiàn)課堂引入的情境與學(xué)生所熟悉的情境有點(diǎn)

13、不符，在現(xiàn)實(shí)生活中很明顯是付16元，沒必要付15.99元，這也就體現(xiàn)不出學(xué)生要學(xué)習(xí)平方差公式的必要性。1.4.2.2忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性沒有學(xué)生主動(dòng)參與的課堂是不完美的課堂，第二次授課與第一次授課類似，沒有讓學(xué)生主動(dòng)參與到平方差公式的模型建立中來。1.4.3教學(xué)建議1.4.3.1完善引入情境課堂引入的情境是個(gè)假情境，與學(xué)生所熟悉的情境有點(diǎn)不符，課后訪談中有一生說道，最簡(jiǎn)單的方法就是16元，沒必要付15.99元，體現(xiàn)不出學(xué)生要學(xué)習(xí)平方差公式的必要性，也不能有助于體驗(yàn)平方差公式模型的結(jié)構(gòu)美，所以我們建議把這個(gè)假情境換掉，直接換一個(gè)既能體現(xiàn)平方差公式的簡(jiǎn)便作用，又能幫助學(xué)生理解平方差公式模型的結(jié)構(gòu)

14、的情境。1.4.3.2讓學(xué)生主動(dòng)參與平方差公式模型的建立在教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，讓學(xué)生主動(dòng)參與到平方差公式模型的建立，更能讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)平方差公式的必要性。1.5第三次教學(xué)實(shí)踐（相比第二次教學(xué)實(shí)踐有一點(diǎn)不同，其余相同，-6-即模型的建立不同）T：我們來個(gè)比賽好不好。S：好T（呈現(xiàn)式子：(4+0.1)(4-0.1)、(6+0.2)(6-0.2)、（12+0.3）（12-0.3）：看誰算得又對(duì)又快！全部算好的就舉手.（教師在講臺(tái)上做，學(xué)生在下面做，10秒鐘不到，老師說我已做好了，學(xué)生發(fā)出一聲驚呼）T：我已經(jīng)是第一了，看誰是第二！（1分鐘后，有一個(gè)學(xué)生做好了，稍后時(shí)間其余學(xué)生也做好了，教師把

15、答案寫在黑板上）T：你們的答案與我一樣嗎？S：一樣！T：有些同學(xué)可能會(huì)說那是你老師上課前就算好的，所以比我們快，為了檢驗(yàn)老師是否真的算得快，下面請(qǐng)你們出題然后我們一起做，看誰做得快，但是出的題樣子一定要和我的一樣。（學(xué)生很興奮，有幾個(gè)學(xué)生出了以下幾個(gè)題：(3+0.1)(3-0.1)、(5+0.3)(5-0.3)、(10+3)(10-3)、(50+4)(50-4)等題，但都是教師算得快）T：你知道教師師為什么算得這么快嗎？因?yàn)槔蠋煱l(fā)現(xiàn)了其中有規(guī)律，你能找出這個(gè)規(guī)律嗎？（經(jīng)過師生交流后，學(xué)生找出了(4+0.1)(4-0.1)=42-0.12、(6+0.2)(6-0.2) =62-0.22、(3+0

16、.1)(3-0.1)= 32-0.12、(5+0.3)(5-0.3) =52-0.32、(10+3)(10-3)= 102-32、(50+4)(50-4)= 502-42）T：很好,能用字母表示這個(gè)規(guī)律嗎?S：能，(a+b)(a-b)=a2-b2.T：好，這就是把具體問題抽象成數(shù)學(xué)問題，誰能用語言來敘述一下。S：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩數(shù)的平方差。1.6第三次教學(xué)反思1.6.1成功之處1.6.1.1學(xué)生主動(dòng)參與讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)平方差公式的必要性師生出題、師生競(jìng)賽的過程中，由于教師計(jì)算總是比學(xué)生快得多，學(xué)生就-7-會(huì)產(chǎn)生一種疑惑：老師算得這么快這里面肯定有什么規(guī)律！這個(gè)規(guī)律能得高計(jì)算

17、的速度。同時(shí)學(xué)生的主動(dòng)參與也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。1.6.1.2幫助學(xué)生理解了平方差公式結(jié)構(gòu)特征在模型的建立過程中，學(xué)生舉了很多與老師一樣的式子，最后又在老師的幫助下找出了它們的規(guī)律，學(xué)生從(4+0.1)(4-0.1)=42-0.12、(6+0.2)(6-0.2) =62-0.22、(3+0.1)(3-0.1)= 32-0.12、(5+0.3)(5-0.3) =52-0.32、(10+3)(10-3)= 102-32、(50+4)(50-4)= 502-42無形中發(fā)現(xiàn)了平方差公式的結(jié)構(gòu)美，同時(shí)通過圖形證明、邏輯證明了平方差公式的結(jié)構(gòu)美，證明了平方差公式的結(jié)果為什么只有兩項(xiàng)。1.6.1.3學(xué)生

18、體驗(yàn)到平方差公式的簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用第二次教學(xué)學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)平方差公式能簡(jiǎn)便運(yùn)算，特別是“20072009-20082”與“若 x-y=7,x+y=2,則x2-y2= ”兩題更能體驗(yàn)到平方差公式對(duì)運(yùn)算的簡(jiǎn)便作用。1.6.2不足之處：圖示證明方法單一平方差公式的圖示證明有好幾種方法，但本課例中只提供了一種證明方法，這樣處理雖然在時(shí)間方面得到了很好的把握，但證明的多樣性在這里就弱化了。2.我們的收獲與啟示2.1收獲作為乘法公式的起始課，平方差公式教學(xué)要讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)它的必要性、作用和理解它的結(jié)構(gòu)特征，但對(duì)于公式教學(xué)還需：2.1.1使學(xué)生學(xué)到研究問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與能力，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的成就感。2.1.2有計(jì)劃地進(jìn)行數(shù)學(xué)的