材料力學(xué)第六章簡單的超靜定問題

1、l6-1 6-1 超靜定問題超靜定問題 約束反力約束反力可由靜力平可由靜力平衡方程全部衡方程全部求得求得靜定結(jié)構(gòu)：靜定結(jié)構(gòu)： 約束反力不能全約束反力不能全部由平衡方程求得部由平衡方程求得超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度均得到提高超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度均得到提高超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)： 約束反力多于約束反力多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)獨(dú)立平衡方程的數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)：獨(dú)立平衡方程數(shù)：平面任意力系：平面任意力系： 3 3個平衡方程個平衡方程平面共點(diǎn)力系：平面共點(diǎn)力系： 2 2個平衡方程個平衡方程平面平行力系：平面平行力系：2 2個平衡方程個平衡方程共線力系：共線力系：1 1個平衡方程個平衡方程C變形圖精確

2、畫法，圖中弧線；求各桿的變形量Li ，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。一、小變形放大圖與位移的求法。ABCL1L2P1L2LC ABAB長長2m, 2m, 面積為面積為200mm200mm2 2。ACAC面積為面積為250mm250mm2 2。E E=200GPa=200GPa。F F=10kN=10kN。試求節(jié)點(diǎn)。試求節(jié)點(diǎn)A A的位移。的位移。 0yFkN202sin/1FFFN解：解：1 1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1 1桿，水桿，水平桿為平桿為2 2桿）取節(jié)點(diǎn)桿）取節(jié)點(diǎn)A A為研究對象為研究對象kN32.173cos12FFFNN 0 xF0cos21NNFF0si

3、n1FFN2 2、根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。、根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。1mmm101102001020021020369311111AElFlNA AF F1NF2NFxy30300 0mm6 . 0m106 . 01025010200732. 11032ElFlN斜桿伸長斜桿伸長水平桿縮短水平桿縮短3 3、節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)A A的位移（以切代?。┑奈灰疲ㄒ郧写。〢 AF F1NF2NFxy30300 01mm11111AElFlNmm6 . 022222AElFlNAA 1A2AA A1A2Amm111lAAmm6 . 022lAAmm6 . 02lxmm039. 3

4、039. 1230tan30sin21433llAAAAymm1 . 3039. 36 . 02222 yxAA3A4A圖所示結(jié)構(gòu)，剛性橫梁圖所示結(jié)構(gòu)，剛性橫梁ABAB由斜桿由斜桿CDCD吊在水吊在水平位置上，斜桿平位置上，斜桿CDCD的抗拉剛度為的抗拉剛度為EAEA，B B點(diǎn)點(diǎn)處受荷載處受荷載F F作用，試求作用，試求B B點(diǎn)的位移點(diǎn)的位移B B。ADFBaL/2L/2CB1C1C112CCBBB 1CC cosCC cosCDL0AmCDFLLF cos21 cos2FFNCDEALFLCDNCDCD 2cos2EAaF 3cos4EAFaBNCDF1 1、列出獨(dú)立的平衡方程、列出獨(dú)立的平

5、衡方程超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法：超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法：210NNxFFFFFFFNNy31cos202 2、變形幾何關(guān)系、變形幾何關(guān)系cos321lll3 3、物理關(guān)系、物理關(guān)系cos11EAlFlNEAlFlN334 4、補(bǔ)充方程、補(bǔ)充方程coscos31EAlFEAlFNN231cosNNFF5 5、求解方程組得、求解方程組得3221cos21cosFFFNN33cos21FFN1l2l3l二、拉壓超靜定問題解法二、拉壓超靜定問題解法平衡方程；幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；物理方程彈性定律；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。超靜定問題的方法步驟：超靜定問題的方法步驟

6、：例題例題3 3變形協(xié)調(diào)關(guān)系變形協(xié)調(diào)關(guān)系:wstllFWFstF物理關(guān)系物理關(guān)系: :WWWWAElFlststststAElFl 平衡方程平衡方程: :stWFFF解：解：（1 1）WWWstststAEFAEF補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程: :（2 2） 木制短柱的四角用四個木制短柱的四角用四個40mm40mm40mm40mm4mm4mm的等邊角鋼加的等邊角鋼加固，固， 已知角鋼的許用應(yīng)力已知角鋼的許用應(yīng)力 stst=160MPa=160MPa，E Estst=200GPa=200GPa；木材；木材的許用應(yīng)力的許用應(yīng)力 W W=12MPa=12MPa，E EW W=10GPa=10GPa，求許可載荷，

7、求許可載荷F F。F250250代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得FFFFstW283. 0717. 0根據(jù)角鋼許用應(yīng)力，確定根據(jù)角鋼許用應(yīng)力，確定FstststAF283. 0kN698F根據(jù)木柱許用應(yīng)力，確定根據(jù)木柱許用應(yīng)力，確定FWWWAF717. 0kN1046F許可載荷許可載荷 kN698FF250250查表知查表知40mm40mm40mm40mm4mm4mm等邊角鋼等邊角鋼2cm086. 3stA故故 ,cm34.1242ststAA2cm6252525WA例例4 AB為剛性梁，1、2兩桿的橫截面面積相等。求1、2兩桿的內(nèi)力。解解l2cosN1lEAN2lEAcosl2cos3P4cos3+

8、1N2lEAcos2N1lEA6Pcos24cos3+1列靜力平衡方程列靜力平衡方程0AM035 . 13/301mFmmmkNmFNBDNCENBDNCEFkNF3135變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程CEDBLL3EmlFEmlFNCENBD2626104003102008 . 1NCENBDFF65kNFNBD2 .32kNFNCE4 .38DBNBDBDAF 23200102 .32mmN MPa161CENCECEAF 23400104 .38mmN MPa96 圖示剛性梁圖示剛性梁AB受均布載荷作用，梁在受均布載荷作用，梁在A端鉸支，在端鉸支，在B點(diǎn)和點(diǎn)和C點(diǎn)由點(diǎn)由兩根鋼桿兩根鋼桿BD和和

9、CE支承。已知鋼桿的橫截面面積支承。已知鋼桿的橫截面面積ADB=200mm2，ACE=400mm2，其許用應(yīng)力，其許用應(yīng)力=170MPa，試校核鋼桿的強(qiáng)度。，試校核鋼桿的強(qiáng)度。2m1mCELDBL1.8LL2m1mAEmkN/30BCDAEmkN /30BCDBBDFBDF3 3桿材料相同，桿材料相同，ABAB桿面積為桿面積為200mm200mm2 2，ACAC桿面積為桿面積為300 mm300 mm2 2，ADAD桿面積為桿面積為400 mm400 mm2 2，若若F=30kNF=30kN，試計(jì)算各桿的應(yīng)力。，試計(jì)算各桿的應(yīng)力。32lllADAB列出平衡方程：列出平衡方程：0 xF03201

10、30cos30cosNNNFFFFFFFNNy030130sin30sin0即：即： 1323321NNNFFF 2231FFFNN列出變形幾何關(guān)系列出變形幾何關(guān)系 ，則則ABAB、ADAD桿長為桿長為l解：解：設(shè)設(shè)ACAC桿桿長為桿桿長為F F30ABC30D123F FAxy1NF2NF3NF例題例題6 6 即：即： 1323321NNNFFF 2231FFFNN列出變形幾何關(guān)系列出變形幾何關(guān)系 F F30ABC30D123xyF FA1NF2NF3NFxyAAxy將將A A點(diǎn)的位移分量向各桿投影點(diǎn)的位移分量向各桿投影. .得得cossin1xylxl2cossin3xylcos2213l

11、ll變形關(guān)系為變形關(guān)系為 2133 lll代入物理關(guān)系代入物理關(guān)系22113333232EAlFEAlFEAlFNNN 322213NNNFFF整理得整理得 F F30ABC30D123xyF FA1NF2NF3NFxyAAxy 1323321NNNFFF 2231FFFNN 322213NNNFFF聯(lián)立聯(lián)立，解得：，解得：kN6 .34323FFNMPa6 .863（壓）（壓）MPa8 .262kN04. 8232FFN（拉）（拉）MPa1271kN4 .253221FFN（拉）（拉）二、裝配應(yīng)力二、裝配應(yīng)力 由于加工時的尺寸誤差，造成裝配后的結(jié)構(gòu)存在應(yīng)力，稱裝配應(yīng)力。裝配應(yīng)力僅存在于靜不定

12、結(jié)構(gòu)中。ABC12A1例例7吊橋鏈條的一節(jié)由三根長為 l 的鋼桿組成。截面積相同，材料相同，中間一節(jié)短于名義長度。加工誤差為=l/2000，求裝配應(yīng)力。N1l1E1A1N2l2E2A2EA6000 EA3000 EA2000 三、溫度應(yīng)力 工作在溫度變化范圍較大的構(gòu)件，由于溫度變化而引起桿件內(nèi)的應(yīng)力，稱溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力。溫度應(yīng)力也僅存在于靜不定結(jié)構(gòu)中。 發(fā)電機(jī)輸熱管道 化工管道 橋梁 裸露的輸氣管及水管ABC12溫度應(yīng)力的解法RBlEARBlEARB EAE碳鋼的溫度應(yīng)力碳鋼的=12.5x10-6/C，E=200GPa。T = E =12.5x10-6x200 x103T=2.5T (MPa

13、)當(dāng)T80 C時， T高達(dá)200MPa，而低碳鋼的s僅235MPa，許用應(yīng)力通常僅120MPa 。所以應(yīng)力是非常大的。伸縮節(jié)伸縮節(jié)伸縮縫伸縮縫 aaaaN1N2例例8 如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5 時被固定,桿的上下兩段的面積分別 =cm2 ， =cm2，當(dāng)溫度升至T2 =25時,求各桿的溫度應(yīng)力。 (線膨脹系數(shù) =12.5 ； 彈性模量E=200GPa)C1106、幾何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:kN 3 .3321 NN、補(bǔ)充方程2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNT22112EANEANT、溫度應(yīng)力MPa 7 .66111

14、ANMPa 3 .33222AN aaN1N26-3、扭轉(zhuǎn)超靜定問題、扭轉(zhuǎn)超靜定問題解扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：解扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得到；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得到；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。材料力學(xué)例題例題9 一組合桿由實(shí)心桿一組合桿由實(shí)心桿1和空心管和空心管2結(jié)合在一起所組成，桿結(jié)合在一起所組成，桿和管的材料相同。剪切模量為和管的材料相同。剪切模量為G, 試求組合桿承受外力偶矩試求組合桿承受外力偶矩M以后，桿和管內(nèi)的

15、最大切應(yīng)力。以后，桿和管內(nèi)的最大切應(yīng)力。MM2d1d12T122T解：解：（1 1）靜力學(xué)關(guān)系）靜力學(xué)關(guān)系MTTT21（2）變形協(xié)調(diào)條件）變形協(xié)調(diào)條件21扭轉(zhuǎn)的靜不定問題扭轉(zhuǎn)的靜不定問題1T材料力學(xué)（3）物理關(guān)系：）物理關(guān)系： ,324111dGlT)(32414222ddGlT（4）代入變形協(xié)調(diào)方程，得補(bǔ)充方程代入變形協(xié)調(diào)方程，得補(bǔ)充方程)(41424121dddTT（5）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，解得）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立，解得,42411ddMT 4241422)(dddMT材料力學(xué)（6）最大切應(yīng)力）最大切應(yīng)力桿桿1 1：管管2 2：111tWT31116dT42116dMd22

16、2tWT)(1 16421322dddT3216dM 例例1010長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固定端的反力偶。 解解： 桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：02BAmmm幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補(bǔ)充方程得：mN 20Bm6-4 簡單超靜定簡單超靜定梁梁處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程，求全部未知力。解：建立基本靜定系 確

17、定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)基本靜定系。=EIqLABLqMABAqLRBABx幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BBRBqB+qLRBAB=RBABqAB物理方程變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程EILREIqLBBRBqB3 ;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）EIqLABLBAqZEIBFLBAqqlFA85qlFB83281qlmAql83ql85kN21289ql281qlLBAqZEIqlFB83kNm例例11畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖=EIqLABLqMABAx幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0AMAqA另解另解02433EIqlEIlMA

18、即得82qlMA 圖示梁圖示梁,A處為固定鉸鏈支座處為固定鉸鏈支座,B,C二處為輥軸支座二處為輥軸支座.梁作用有均布荷載梁作用有均布荷載.已知已知:均布荷載集度均布荷載集度q=15N/m,L=4m,梁圓截面直徑梁圓截面直徑d=100mm,=100MPa.試校核該梁的強(qiáng)度試校核該梁的強(qiáng)度.2LBA2LqCCFAFBF列靜力平衡方程列靜力平衡方程0qLFFFCBA 0yF0AM0222qLLFLFBC變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程 0CCCFqZEIqL38454ZCEILF4830qLFC85qLFB163qLFA163kNm22. 4kNm5 . 7kNm22. 4kNmM5 . 7maxZWMmax3max32dMMPa4 .76 試求圖示梁的支反力試求圖示梁的支反力m4BAmkN20m2m2kN40DC 在小變形條件下在小變形條件下,B點(diǎn)軸向力較小可忽略不點(diǎn)軸向力較小可忽略不計(jì)計(jì),所以為一次超靜定所以為一次超靜定.Bm2m2kN40DCm4AmkN20BBFBF1B2B21BBZBEIqL841ZBEILF33ZBBEILF332ZPEILF3232222LEILFZP485823PBFqLFkN75. 8AFBAFqLFkN25.71AMLFqLMBA22kNm125CFBP