23雙曲線的簡單幾何性質(zhì)VIP

1、2.3.1雙曲線的雙曲線的簡單幾何性質(zhì)簡單幾何性質(zhì)高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-1 第第二二章章 圓錐曲線圓錐曲線與方程與方程第第二二課時課時標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范范 圍圍對對 稱稱 性性頂頂 點點焦焦 點點漸漸 近近 線線離離 心心 率率12222 byax12222 bxayxa或或x-aya或或y-a(-a,0), (a,0)(0,-a), (0，a)xaby xbay 222)1(baceace (-c,0), (c,0)(0,-c), (0,c)關(guān)于關(guān)于x軸軸、y軸軸和和原點原點對稱對稱 .cos1AOBace );3 , 5(, 211 Me經(jīng)過點經(jīng)過點）離心率）離心率（、求雙曲線的標(biāo)

2、準(zhǔn)方程、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程myx 222.避免討論，設(shè)為避免討論，設(shè)為解解1. 12222 ayax設(shè)兩種等軸雙曲線，設(shè)兩種等軸雙曲線，解解只有一種有解。只有一種有解。12222 axay1161622 yx16 m);129(,32)2( ，經(jīng)過點經(jīng)過點漸近線的方程是漸近線的方程是xy解解: 可以設(shè)方可以設(shè)方程程 4922yx再代點再代點.可得可得, 2 281822 yx注：注：“共漸近線共漸近線”的雙曲線的應(yīng)用的雙曲線的應(yīng)用程為程為共漸近線的雙曲線系方共漸近線的雙曲線系方與與12222 byax，為參數(shù)為參數(shù)，)0( 2222byax0表示焦點在表示焦點在x軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；a

3、0）,求點求點M的軌跡的軌跡.解：設(shè)解：設(shè)d是點是點P到直線的距離到直線的距離, 根據(jù)題意得根據(jù)題意得accaxycx |)(222化簡，得化簡，得 )()(22222222acayaxac ca, c2 a2,令令(c2-a2)=b2 (b0)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)( 12222222bacbyax 得得:222222bayaxb 的兩條準(zhǔn)線的兩條準(zhǔn)線是雙曲線是雙曲線1:22222 byaxcaxl雙曲線的第二定義：雙曲線的第二定義： 到到定點定點F的距離與到的距離與到定直線定直線l的距離之的距離之比為常數(shù)比為常數(shù) 的點的軌跡是雙的點的軌跡是雙曲線曲線, 其中其中, 定點定點F叫

4、做雙曲線的焦點叫做雙曲線的焦點,定直定直線線l 叫做雙曲線的準(zhǔn)線叫做雙曲線的準(zhǔn)線, 常數(shù)常數(shù)e是雙曲線的是雙曲線的離心率離心率 .), 1 ( ace1,| eelMMFMP的距離的距離到到雙曲線的第二定義：雙曲線的第二定義：12222 byax對于對于 , 相對于左焦點相對于左焦點對應(yīng)著左準(zhǔn)線對應(yīng)著左準(zhǔn)線 ) 0 ,(1cF caxl21: 相對于右焦點相對于右焦點 對應(yīng)著右準(zhǔn)線對應(yīng)著右準(zhǔn)線 ) 0 ,(2cFcaxl22: 位置關(guān)系：位置關(guān)系： 02 caaxOyFFMl l12222 bxay對于對于 , 相對于下焦點相對于下焦點對應(yīng)著下準(zhǔn)線對應(yīng)著下準(zhǔn)線 ), 0(1cF cayl21:

5、 相對于上焦點相對于上焦點 對應(yīng)著上準(zhǔn)線對應(yīng)著上準(zhǔn)線 ) 0 ,(2cFcayl22: 位置關(guān)系：位置關(guān)系： 02 caayF1F2雙曲線的焦半徑雙曲線的焦半徑 定義：雙曲線上任意一點定義：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點與雙曲線焦點 的連線段，叫做雙曲線的焦半徑的連線段，叫做雙曲線的焦半徑. 21,FF212222,),0, 0( 1FFbabyax 對于對于是其左右焦點是其左右焦點, 由第二定義：由第二定義： ,11edMF ,201ecaxMF 01xeaMF 同理同理 02xeaMF 焦點在焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式軸上的雙曲線的焦半徑公式: 0201exaMFexaMF焦點在焦點

6、在y軸上的雙曲線的焦半徑公式軸上的雙曲線的焦半徑公式: 0201eyaMFeyaMF(其中其中 分別是雙曲線的下分別是雙曲線的下, 上焦點上焦點)21,FF焦點弦：焦點弦： 定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦定義：過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦. )(221xxeaAB 過右焦點與右支交于兩點時：過右焦點與右支交于兩點時： )(221xxeaAB 設(shè)兩交點設(shè)兩交點),(),(2211yxByxA當(dāng)雙曲線焦點在當(dāng)雙曲線焦點在過左焦點與左支交于兩點時：過左焦點與左支交于兩點時： x軸上時軸上時: 當(dāng)雙曲線焦點在當(dāng)雙曲線焦點在y軸上時過下焦點與下支交于軸上時過下焦點與下支交于兩點時：兩點時：

7、)(221yyeaAB 過上焦點與上支交于兩點時：過上焦點與上支交于兩點時： )(221yyeaAB 通徑：通徑： 定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦定義：過焦點且垂直于對稱軸的相交弦.應(yīng)用焦點弦公式得應(yīng)用焦點弦公式得 abd22 與與 12222 byax離心率相同的雙曲線方程為離心率相同的雙曲線方程為 ) 0( 1)()(2222 kkbykax) 0(2222 byax2. 共軛雙曲線：共軛雙曲線： 以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線. 與與 12222 byax12

8、222 byax共軛共軛注意的區(qū)別：三量注意的區(qū)別：三量a, b, c中中a, b不同不同(互換互換)c相同相同(1)性質(zhì)：共用一對漸近線性質(zhì)：共用一對漸近線, 雙曲線和它的共軛雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上雙曲線的焦點在同一圓上;(2)確定雙曲線的共軛雙曲線的方法確定雙曲線的共軛雙曲線的方法: 將將1變?yōu)樽優(yōu)?; (3)共用同一對漸近線共用同一對漸近線y=kx的雙曲線的方程具的雙曲線的方程具有什么樣的特征：有什么樣的特征： 可設(shè)為可設(shè)為 當(dāng)當(dāng) 時焦點在時焦點在x軸軸, 當(dāng)當(dāng) 時焦點在時焦點在y軸上軸上 ),0(1222 kyx0 0 例例2.已知雙曲線已知雙曲線 的離心率的離心率 左

9、、右焦點分別為左、右焦點分別為F1, F2，左準(zhǔn)線為，左準(zhǔn)線為l, 能否在能否在雙曲線的左支上找一點雙曲線的左支上找一點P，使得，使得|PF1|是是P到到l的的距離距離d與與|PF2|的等比中項的等比中項?12222 byax, 21 e解：設(shè)在左支上存在解：設(shè)在左支上存在P點，使點，使|PF1|2=|PF2|d， 由雙曲線的第二定義知由雙曲線的第二定義知 ,|121ePFPFdPF 即即 |PF2|=e|PF1| 再由雙曲線的第一定義再由雙曲線的第一定義, 得得|PF2|PF1|=2a 由，解得由，解得 ,121 eaPF,122 eaePF,121 eaPF,122 eaePF|PF1|+

10、|PF2|F1F2|， ,21212ceaeea 即即 e22e10， 解得解得 , 2121 ee1 , 211 e與已知與已知 矛盾矛盾, 21 e在雙曲線的左支上找不到點在雙曲線的左支上找不到點P，使得，使得 |PF1|是是P到到l的距離的距離d與與|PF2|的等比中項的等比中項. 例例3.已知雙曲線已知雙曲線2x2y2=2與點與點P(1, 2), 過過P點作點作直線直線l與雙曲線交于與雙曲線交于A、B兩點兩點, 若若P為為AB中點中點.（1）求直線）求直線AB的方程；的方程；（2）若）若Q(1, 1), 證明不存在以證明不存在以Q為中點的弦為中點的弦.解解: (1) 設(shè)過設(shè)過P(1,2

11、)點的直線點的直線AB方程為方程為 y2=k(x1)，代入雙曲線方程得，代入雙曲線方程得 (2k2)x2+2k(k2)x(k44k+6)=0. 設(shè)設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2), 則有則有x1+x2=, 22) 2(22 kkk解得解得k=1. 又又k=1時，時，=160， 從而直線從而直線AB方程為方程為 xy+1=0. （2）證明：按同樣方法求得）證明：按同樣方法求得k=2， 而當(dāng)而當(dāng)k=2時，時，0， 所以這樣的直線不存在所以這樣的直線不存在. 22-1169xy1005|4,4PFexax 例例4. 已知點已知點F1、F2分別為雙曲線分別為雙曲線 的的左、右焦點，點左、右焦

12、點，點P為雙曲線右支上任意一點為雙曲線右支上任意一點, 試試推斷對任意給定的點推斷對任意給定的點P, 在在x軸上是否存在兩個不軸上是否存在兩個不同的點同的點M，使，使|PM|2=|PF1|PF2|成立？成立？解：解：設(shè)點設(shè)點P(x0, y0) (x04), M(m, 0), 則則2005|-4,4PFex ax2200-1.169xy且且222222200000025|(-)(-)9(-1)-2-9.1616xPMxmyxmxmxm即即m2-2mx0+7=0 (*)因為因為=4x02-28416-28=360，所以方程所以方程(*)恒有兩個不等實根恒有兩個不等實根.故對任意一個確定的點故對任意

13、一個確定的點P, 在在x軸上總存在兩個不軸上總存在兩個不同的點同的點M，使，使|PM|2=|PF1|PF2|成立成立.222222200000025|(-)(-)9(-1)-2-9.1616xPMxmyxmxmxm212| | | ,PFPFPM由由2220002525-16-2-9,1616xxmxm得得 解：解：巧設(shè)方程巧設(shè)方程, 運用待定系數(shù)法運用待定系數(shù)法.設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944雙曲線的方程為xy法二：法二：設(shè)雙曲線方程為設(shè)雙曲線方程為221164xykk 16040kk 且且221128xy 雙曲線方程為

14、雙曲線方程為22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4, (3)求與橢圓求與橢圓181622 yx有共同有共同焦點焦點, 漸近線方漸近線方03 yx的雙曲線方程的雙曲線方程.程為程為 解：解：橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上, 且坐標(biāo)為且坐標(biāo)為），（，022)022(21FF 22, cx且且軸軸上上雙雙曲曲線線的的焦焦點點在在雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為xy33 ，而而22233bacab 822 ba 解出解出2622 ba，12622 yx解解2. c2=8, 由于共焦點由于共焦點, 設(shè)雙曲線為設(shè)雙曲線為),0( 182222 mmymx3382 mm, 62 m解

15、得解得所求方程為所求方程為12622 yx (3)求與橢圓求與橢圓181622 yx有共同有共同焦點焦點, 漸近線方漸近線方03 yx的雙曲線方程的雙曲線方程.程為程為2. 已知已知F1、F2分別是雙曲線分別是雙曲線 的左、右焦點，的左、右焦點，P為雙曲線左支上任意一點為雙曲線左支上任意一點.若若 的最小值為的最小值為8a, 則雙曲線的離心率的則雙曲線的離心率的取值范圍為取值范圍為( )A. (1, 3 B. (0, 3 C. (1, 2 D. (1,+)解：解：由雙曲線的定義知，由雙曲線的定義知， 此時此時|PF1|=2a，|PF2|=4a.2222-1xyab221|PFPF 222112

16、111(2 )(2 2|)|8|PFaaPFPFaPFPFPF ，如圖如圖, |PF1|+|PF2|F1F2| 成立成立, 即即2a+4a2c，即即6a2c，則，則e= .又雙曲線的離心率又雙曲線的離心率e1，綜合得雙曲線離心率的取值綜合得雙曲線離心率的取值范圍為范圍為(1, 3, 故選故選A.ca點評：點評：求離心率的取值范圍求離心率的取值范圍, 一是先把條件轉(zhuǎn)化一是先把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于為關(guān)于a、c的式子的式子,然后化為然后化為 的式子的式子; 二是結(jié)合一些隱含性質(zhì)二是結(jié)合一些隱含性質(zhì), 如本題中的三角形兩如本題中的三角形兩邊之和大于第三邊邊之和大于第三邊, 雙曲線的離心率的范圍等雙曲線的離心

17、率的范圍等.ca 3. 已知已知F是雙曲線是雙曲線 的左焦點的左焦點, A(1, 4),P是雙曲線右支上的動點，則是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值的最小值為為_.解：解：注意到點注意到點A在雙曲線的兩支之間在雙曲線的兩支之間, 且雙曲線且雙曲線右焦點為右焦點為F(4, 0),于是由雙曲線性質(zhì)于是由雙曲線性質(zhì) |PF|-|PF|=2a=4, 而而|PA|+|PF|AF|=5, 兩式相加得兩式相加得|PF|+|PA|9, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F三點共線時等號成立三點共線時等號成立.22-1412xy94. 設(shè)離心率為設(shè)離心率為e的雙曲線的雙曲線C: 的右焦點為的右焦點為F, 直線直線l過點過點F且斜率為且斜率為k, 則直線則直線l與與雙曲線雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是的左、右兩支都相交的充要條件是( ) A. k2-e21 B. k2-e21 D. e2-k21, 5. 如果雙曲線如果雙曲線 上一點上一點P到它的右到它的右焦點的