線性方程組和矩陣知識總結

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上線性方程組和矩陣知識總結 吳榮魁 線性方程組的基本概念其中未知數的個數n和方程式的個數m不必相等. 線性方程組的解是一個n維向量它滿足:當每個方中的未知數xi都用ki替代時都成為等式. 線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.對線性方程組討論的主要問題兩個:(1)判斷解的情況.(2)求解b1=b2=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.n維零向量總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數項都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導出齊次線

2、性方程組，簡稱導出組.線性方程組的解法 （1） 、寫出線性方程組的增廣矩陣。（2） 、用初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣。（3） 、看階梯形矩陣的最后一個非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，則方程組無解；反之方程組有解。（4） 、在有解的情況下，找出階梯形矩陣中非零行的個數r。如果r=n，則方程組有唯一解；如果r<n，則方程組有無窮多解。（5） 把第二步得到的階梯形矩陣通過初等行變換化為簡化階梯形矩陣。（6） 根據簡化階梯形矩陣，給出線性方程組的一般解或解集。一些特殊的矩陣（1) 行矩陣只有一行的矩陣。（2) 列矩陣只有一列的矩陣。（3) 零矩陣所有元素都等于0的矩陣。（4) 當時

3、稱 為階方陣；所在的對角線稱為方陣的主對角線。（5）主對角線下（上）方的元素全為零的方陣稱為上（下）三角陣。（6) 主對角線以外的元素全為零的方陣稱為對角陣，記為，簡記為。（7) 單位陣記以。注（1） 只有1列或1行的矩陣分別稱為列矩陣或行矩陣，也被稱為列向量或行向量。這樣，它們就有了矩陣和向量的雙重“身份”。（2）矩陣也稱為階方陣或階矩陣，而1階矩陣被約定當作“數”（即“元”本身）對待，當然“數”是不能當作1階矩陣來對待的。（3）單位陣、對角陣、三角陣是特別簡單的一些方陣，在今后討論的基本運算中，它們各表現出一些簡單特性，這就使它們在形成或訓練解決問題的矩陣方法中都將有重要作用。對線性方程組

4、(1) 稱為(1)的系數矩陣，稱為(1)的增廣矩陣。矩陣的行(列)初等變換：    (1)  對換矩陣的兩行（列），用表示對換兩行（列）的行（列）初等變換，即（）；    (2)  用非零數乘矩陣的某一行（列），用表示以乘矩陣的第行（列）的行（列）初等變換，即；(3) 將矩陣的某行(列)乘以數再加入另一行（列）中去，用表示乘矩陣的第行（列）后加到第行（列）的行（列）初等變換，即。4、 矩陣的等價定義 將矩陣的行經有限次初等變換化為，稱與等價，記作。5、 行階梯形矩陣與最簡形矩陣定義3 若矩陣的零行（元素全為零的行）位于的下方，且各非零行（元素不全為零的行）的非零首元（第一個不為零的元素）的列標隨行標的遞增而嚴格增大，則稱為行階梯形矩陣。定義4 若行階梯形矩陣的各非零首元均為1，且各非零首元所在列的其余元素均為零，則稱為最簡形。6、 用初等變換線性方程組的解1) 將(1)的增廣矩陣用行初等變換化為最簡形；2) 由最簡形對應的方程組得到解。矩陣的秩矩陣秩的求法（1）定義法找出矩陣中不為零的最高子式，算出它的階數（2）初等變換法用初等變換（行、列均可）將矩陣化為標準形，即可得出；或化成階梯形矩陣，其非零行