大學物理實驗(三)數(shù) 據(jù) 處 理

1、1.列表法列表法 3.逐差法逐差法 4.最小二乘法最小二乘法2.作圖法作圖法 在記錄和處理實驗測量數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列成表格，它可以簡單而明確地表示出有關(guān)物理量之間的對應(yīng)關(guān)系，便于隨時檢查測量結(jié)果是否正確合理，及時發(fā)現(xiàn)問題，利于計算和分析誤差，并在必要時對數(shù)據(jù)隨時查對。通過列表法可有助于找出有關(guān)物理量之間的規(guī)律性，得出定量的結(jié)論或經(jīng)驗公式等。列表法是工程技術(shù)人員經(jīng)常使用的一種方法。列表時，一般應(yīng)遵循下列規(guī)則（1）簡單明了，便于看出有關(guān)物理量之間的關(guān)系，便于處理數(shù)據(jù)。（2）在表格中均應(yīng)標明物理量的名稱和單位。（3）表格中數(shù)據(jù)要正確反映出有效數(shù)字。（4）必要時應(yīng)對某些項目加以說明，并計算出平均值、

2、標準誤差和相對誤差。次數(shù)123456789105.010.015.020.025.030.335.040.045.050.010.310.5110.6410.7910.9411.0811.2211.3611.5311.66通過測量溫度通過測量溫度t和在溫度和在溫度t下銅的電阻下銅的電阻Rt來來測量銅的電阻溫度系數(shù)，得到測量銅的電阻溫度系數(shù)，得到t與與Rt的數(shù)的數(shù)據(jù)列表如下：據(jù)列表如下：）關(guān)關(guān)系系溫溫度度（）電電阻阻（tRt)(樣品：銅樣品：銅)( Ct)(tR表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字 作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也可用作圖法可形象、直觀地顯示出物理量之間的函

3、數(shù)關(guān)系，也可用來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要來求某些物理參數(shù)，因此它是一種重要的數(shù)據(jù)處理方法。作圖時要先整理出數(shù)據(jù)表格先整理出數(shù)據(jù)表格，并，并要要用坐標紙作圖用坐標紙作圖。U (V )0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I (mA)2.004.016.228.209.7512.00 13.99 15.92 18.00 20.011.選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小選擇合適的坐標分度值，確定坐標紙的大小 坐標分度值的選取應(yīng)能反映測量值的有效位數(shù)，一般以坐標分度值的選取應(yīng)能反映測量值的有效位數(shù)，一般以 12mm對應(yīng)于測量

4、儀表的儀表誤差。對應(yīng)于測量儀表的儀表誤差。 根據(jù)表數(shù)據(jù)根據(jù)表數(shù)據(jù)U 軸可選軸可選1mm對應(yīng)于對應(yīng)于0.10V，I 軸可選軸可選1mm對應(yīng)于對應(yīng)于0.20mA，并可定坐標紙的大?。源笥谧鴺朔秶?、數(shù)據(jù)范圍），并可定坐標紙的大?。源笥谧鴺朔秶?、數(shù)據(jù)范圍） 約為約為130mm130mm。作圖步驟作圖步驟：實驗數(shù)據(jù)列表如下：實驗數(shù)據(jù)列表如下. 表表1：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)2. 標明坐標軸：標明坐標軸： 用粗實線畫坐標軸，用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位軸的名稱或符號、單位,再按順序標出坐標軸整分再按順序標出坐標軸整分格上的量值。

5、格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 連成圖線：連成圖線： 用直尺、曲線板等把用直尺、曲線板等把點連成直線、光滑曲線。點連成直線、光滑曲線。一般不強求直線或曲線通一般不強求直線或曲線通過每個實驗點，應(yīng)使圖線過每個實驗點，應(yīng)使圖線線正穿過實驗點時可以在線正穿過實驗點時可以在兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖兩邊的實驗點與圖線最為接近且分布大體均勻。圖點處斷開。點處斷開。3.標實驗點標實驗點： 實驗點可用實驗

6、點可用“ ”、 “ ”、“ ”等符號標等符號標出（同一坐標系下不同曲出（同一坐標系下不同曲線用不同的符號線用不同的符號）。）。 5.標出圖線特征：標出圖線特征： 在圖上空白位置標明在圖上空白位置標明實驗條件或從圖上得出的實驗條件或從圖上得出的某些參數(shù)。如利用所繪直某些參數(shù)。如利用所繪直線可給出被測電阻線可給出被測電阻R大?。捍笮。簭膹乃L所繪直線直線上讀取兩點上讀取兩點 A、B 的坐標就可求出的坐標就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.0

7、05.007.009.00電阻伏安特性曲線電阻伏安特性曲線6.標出圖名：標出圖名： 在圖線下方或空白位在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。必要的說明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由圖上由圖上A、B兩點可得被測電阻兩點可得被測電阻R為：為：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR至此一張圖才算完成至此一張圖才算完成作圖法作圖法 1.1.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 作圖一定要用坐標紙，測量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)作圖一定要用坐標紙，測量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖上也應(yīng)是可靠的，即圖紙上一小格對應(yīng)字在圖上也應(yīng)是可靠的，即圖紙上一小

8、格對應(yīng)數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格數(shù)據(jù)中可靠數(shù)字的最后一位，而誤差位在小格之間估計。之間估計。 1.1.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標明坐標軸和圖名標明坐標軸和圖名1.1.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 標點標點 2.2.作圖規(guī)則作圖規(guī)則 連線連線 不當圖例展示不當圖例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖圖圖1曲線太粗，不曲線太粗，不均勻，不光滑均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實線板等工具把實驗點連成光滑、驗點連成光滑、均勻的細實線。均勻的細實線。n(nm)

9、1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖玻璃材料色散曲線圖改正為改正為：圖圖2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學元件伏安特性曲線電學元件伏安特性曲線橫軸坐標分度選取橫軸坐標分度選取不當。不當。橫軸以橫軸以3 cm 代代表表1 V，使作圖和讀圖都，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標很困難。實際在選擇坐標分度值時，應(yīng)既滿足有效分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖

10、，讀圖，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整數(shù)的整數(shù)次冪或是其次冪或是其2倍或倍或5倍。倍。I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學元件伏安特性曲線電學元件伏安特性曲線改正為：改正為：定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖圖3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當圖紙使用不當。實際作圖時，實際作圖時，坐標原點的讀坐標原點的讀數(shù)可以不從零數(shù)

11、可以不從零開始開始。定容氣體壓強溫度曲線定容氣體壓強溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正為：改正為：3.3.作圖舉例作圖舉例 直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應(yīng)的直角坐標舉例。測得銅電阻與溫度對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標作圖表一組數(shù)據(jù)如表所示，試用直角坐標作圖表示出電阻與溫度的函數(shù)關(guān)系。示出電阻與溫度的函數(shù)關(guān)系。 測量次數(shù)12345678910銅電阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610

12、.7610.9410.9411.0811.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53溫度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在圖中任選兩點在圖中任選兩點 和和 ，將兩點代入式中可得：將兩點代入式中可得：最后，得到電阻隨溫度的變化關(guān)系為：最后，得到電阻隨溫度的變化關(guān)系為：)(20.100314. 0 tRc0314. 00 .130 .4860.1070.11 a由于有由于有x=0的坐標點，故的坐標點，故20.10 b)70.11, 0 .48

13、(1P)60.10, 0 .13(2P 2.用電勢差計校準量程為用電勢差計校準量程為1mV的毫伏的毫伏表，測量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為表，測量數(shù)據(jù)如下（表中單位均為mV）。）。在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，在如圖所示的坐標中畫出毫伏表的校準曲線，并對毫伏表定級別。并對毫伏表定級別。 毫伏表讀數(shù)毫伏表讀數(shù)0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 電勢差計讀數(shù)電勢差計讀數(shù)0.1050 0.2150 0.3130 0.4070 0.5100 修正值修正值U 0.005 0.015 0.013 0.007 0.010 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

14、 0.6030 0.6970 0.7850 0.8920 1.0070 0.003 -0.003 -0.015 -0.008 0.007 毫伏表讀數(shù)毫伏表讀數(shù) 電勢差計讀數(shù)電勢差計讀數(shù) 修正值修正值U NoImage%5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的級別為：毫伏表的級別為：為為1.5級表級表 1.1.逐差法的含義逐差法的含義 把實驗測量數(shù)量（因變量）進行逐把實驗測量數(shù)量（因變量）進行逐項相減或依順序分為兩組實行對應(yīng)項測項相減或依順序分為兩組實行對應(yīng)項測量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測量值。量數(shù)據(jù)相減之差作因變量的多次測量值。然后求出最佳值然后求出最佳

15、值算術(shù)平均值的處理算術(shù)平均值的處理數(shù)據(jù)的方法。數(shù)據(jù)的方法。 逐差法是對等間距測量等間距測量的有序數(shù)據(jù)進行逐項逐項或相等間隔項相等間隔項相減得到結(jié)果的一種方法。它計算簡便，并可充分利用測量數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)差錯，總結(jié)規(guī)律，是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。 1）逐差法的使用條件（1）自變量x是等間距離變化的。（2）被測的物理量之間的函數(shù)形式可以寫成x的多項式，即 0ixiayni 2）逐差法的應(yīng)用 例：例： 拉伸法測彈簧的倔強系數(shù) 設(shè)實驗中等間隔地在彈簧下加砝碼（如每次加一克），共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧下端點的位置L0、L1、L2、L9，則可用逐差法進行以下處理。 （1）驗證函數(shù)形式是線性關(guān)系

16、 把所測的數(shù)據(jù)逐項相減 當L1,L2、 L9基本相等時，就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的. 即F=K L 用此法可檢查測量結(jié)果是否正確，但注意的是必須要逐項逐差。899122011, , ,LLLLLLLLL（2）求物理量數(shù)值 現(xiàn)計算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量平均伸長量，若用上式，得： 從上式可看出，中間的測量值全部低消了，只有始末二次測量值起作用，與一次加九克砝碼的測量完全等價。99)()()()(909892312019321LLLLLLLLLLLLLLL 為了保證多次測量的優(yōu)點，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作一些組合，仍能達到多次測量來減小誤差的目的。因此一般使用逐差法的規(guī)則

17、如下： 通?？蓪⒌乳g隔所測量的值分成前后兩組的，前一組為L0、L1、L2、L3、L4，后一組為L5、L6、L7、L8、L9，將前后兩組的對應(yīng)項相減為 再取平均值 由此可見，與上面一般求平均值方法不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了。但應(yīng)注意，這里的 是增加五五克砝碼時彈簧的平均伸長量。 , 495162051LLLLLLLLL )(51)()()(51 540491605iiiLLLLLLLLLL次數(shù)（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.981

18、6.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法測電阻伏安法測電阻,試用逐差法求出電試用逐差法求出電流流I的最佳值并算出電阻的最佳值并算出電阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐項相減，則有若按逐項相減，則有 111)(1111nkkkIII 9102312.1101IIIIII 1101101II IVR 解：解：根據(jù)伏安公式根據(jù)伏安公式次數(shù)（K）12345678910電壓 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00電流 I（mI）02.0

19、43.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04.若按順序分為兩組（若按順序分為兩組（15為一組，為一組，610為一組）為一組）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 實行對應(yīng)項相減，其結(jié)果如表：實行對應(yīng)項相減，其結(jié)果如表：可以利用這種分組法計算因變量可以利用這種分組法計算因變量 的平均值的平均值根據(jù)歐姆定律得根據(jù)歐姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I

20、 2.2.有關(guān)逐差法的幾點說明有關(guān)逐差法的幾點說明 使用條件：使用條件： 自變量等間隔變化（對一次逐差必須自變量等間隔變化（對一次逐差必須 是線性關(guān)系，否則先進行曲線改直）是線性關(guān)系，否則先進行曲線改直） 用數(shù)據(jù)進行直線擬合（一次逐差）用數(shù)據(jù)進行直線擬合（一次逐差） 優(yōu)點：優(yōu)點： 充分利用測量數(shù)據(jù)（取平均的效果）充分利用測量數(shù)據(jù)（取平均的效果） 作用：作用： 驗證函數(shù)是否線性關(guān)系（一次逐差）驗證函數(shù)是否線性關(guān)系（一次逐差） 近性計算法比較：近性計算法比較：作圖法：作圖法： 直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略）直觀、簡便。但主觀隨意性大（粗略） 逐差法：逐差法： 粗略的近似計算方法（要滿足一定條件

21、）粗略的近似計算方法（要滿足一定條件） 回歸分析法：回歸分析法： 最準確的計算方法最準確的計算方法1.1.回歸分析法定義：回歸分析法定義： 由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據(jù)，通過計算確定由數(shù)理統(tǒng)計的方法處理數(shù)據(jù)，通過計算確定其函數(shù)關(guān)系的方法。其函數(shù)關(guān)系的方法。步驟：步驟： 1.推斷函數(shù)形式（回歸方程）推斷函數(shù)形式（回歸方程）2.由實驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)由實驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)A、B、 C等的最佳值。等的最佳值。3.根據(jù)實驗數(shù)據(jù)檢驗函數(shù)關(guān)系根據(jù)實驗數(shù)據(jù)檢驗函數(shù)關(guān)系 是否合理。是否合理。 y=AeBx+c (指數(shù)關(guān)系）指數(shù)關(guān)系） 如如 y=A+Bx (線性關(guān)系）線性關(guān)系） 2.2.用最小二乘法進行一元線性回歸用最小二

22、乘法進行一元線性回歸 （1）最小二乘法原理）最小二乘法原理 給定函數(shù)關(guān)系為給定函數(shù)關(guān)系為 y = A + Bx 最小乘數(shù)最小乘數(shù)A和和B的值是能使各次的值是能使各次測量值誤差平方和為最小的那個測量值誤差平方和為最小的那個值。數(shù)學表達式為：值。數(shù)學表達式為： Kiiyy12min)(最小二乘法最小二乘法 由一組實驗數(shù)據(jù)找出一條最佳的擬合直線（或曲線），常用的方法是最小二乘法。所得的變量之間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系稱為回歸方程回歸方程。所以最小二乘法線性擬合亦稱為最小二乘法線性回歸。本章只討論用最小二乘法進行一元線性回歸問題，有關(guān)，請參考其他書籍。1）一元線性回歸 最小二乘法所依據(jù)的原理是：在最佳擬合直線上

23、，各相應(yīng)點的值與測量值之差的平方和應(yīng)比在其他的擬合直線上的都要小。 假設(shè)假設(shè)所研究的變量只有兩個：x和y，且它們之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，一元線性方程為： y=A+BX , 實驗中測得的一組數(shù)據(jù)是： 需要解決的問題是：根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)，如何確定上式中的常數(shù)A和B。實際上，相當于作圖法求直線的斜率和截距。 由于實驗點不可能都同時落在上式表示的直線上，為使討論方便，限定： 所有測量值都是等精度的。只要實驗中不改變實驗條件和方法，這個條件就可以滿足。 只有一個變量有明顯的隨機誤差。因為xi和yi都含有誤差，把誤差較小的一個作為變量x，就可滿足該條件。mmyyyyyxxxxx,:,:321321 假設(shè)在

24、上式中的x和y是在等精度條件下測量的，且y有偏差，記作 把實驗數(shù)據(jù)代入方程y=A+BX后得： 其一般式為 , 321miiimBxAyyyBxAyyyBxAyyy22221111iiiiBxAyyy i的大小與正負表示實驗點在直線兩側(cè)的分散程度，其值與A、B的數(shù)值有關(guān)。根據(jù)最小二乘法的思想，如果A、B的值使 最小，那么上式就是所擬合的直線。 求：A、B 由 對和求一階偏導(dǎo)數(shù)，且使其為零得：mii122121)(iimiimiBxAy0)(20)(2121121iiimiimiiimiimixBxAyBBxAyA 令 為 x 的平均值，即 為 y 的平均值，即 為 x2的平均值，即 為xy的平均

25、值，即 代入前式中得： 解得xyimiymy11imixmx112x2121imixmxxyiimiyxmxy11002xBxAxyxBAyxByAxxxyyxB22)( 2）把非線性相關(guān)問題變換成線性相關(guān)問題 在實際問題題中，當變量間不是直線關(guān)系時，可以通過適當?shù)淖兞孔儞Q，使不少曲線問題能夠轉(zhuǎn)化成線性相關(guān)的問題。需要注意的是，經(jīng)過變換等精度的限定條件不一定滿足，會產(chǎn)生一些新的問題。遇到這類情況應(yīng)采取更恰當?shù)那€擬合方法。 例：若函數(shù)為X2+Y2=C,其中C為常數(shù)。 令：X=x2,Y=y2,則有：Y=C-X。 ，其中A、B為常數(shù)，將原方程化為： ， 令 則有：Y=B+AXBxAxyxABy1,

26、1 x,1xyY 3）相關(guān)系數(shù)（關(guān)聯(lián)系數(shù)） 在函數(shù)形式確定以后，用回歸法處理數(shù)據(jù)，其結(jié)果是唯一的，不會像作圖法那樣因人而異?？梢娪没貧w法處理問題的關(guān)鍵是函數(shù)形式的選取。 為了判斷所得結(jié)果是否合理，在待定常數(shù)確定以后，還需要計算一下相關(guān)系數(shù)。對于一元線性回歸，定義為：)()()()( 2222yyxxyxxy 相關(guān)系數(shù)的數(shù)值大小反映了相關(guān)程度的好壞?？梢宰C明其值介于0和1之間，值越接近于1，說明實驗數(shù)據(jù)能密集在求得的直線附近，x,y之間存在著線性關(guān)系，用線性函數(shù)進行回歸比較合理。相反，如果其值遠小于1而接近0，說明實驗數(shù)據(jù)對求得的直線很分散，x與y之間不存在線性關(guān)系，即用線性回歸不妥，必須用其他函數(shù)重新試探。在實驗中，一般當 時，就認為兩個物理量之間存在較密切的線性關(guān)系。9 . 0r0 擬合曲線斜率為正擬合曲線斜率為正 r0 斜率為負斜率為負 r=0 則則x和和y無線性關(guān)系無線性關(guān)系 例例 用本節(jié)作圖法例子中電阻絲電阻值隨溫度變化的實驗數(shù)據(jù)，：結(jié)合最小二乘法做以下內(nèi)容（1）線性擬合，并寫出直線方程：（2）求出電阻溫度系數(shù)a和0時的電阻R0。（3）求出相關(guān)系數(shù)，評價相關(guān)程度。 測量次數(shù)12345678910銅電阻Rt1 10 0. .2 20 01 10