第4章 平面一般力系

1、第4章 平面一般力系4-5 平面平行力系的平衡條件4-6 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題4-7 滑動(dòng)摩擦4-3 分布荷載4-4 平面一般力系的平衡條件4-2 平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化4-1 力線平移定理前 言 平面一般力系是指位于同一平面內(nèi)的諸力其作用線既不匯交于一點(diǎn)，也不互相平行的力系。前 言 工程計(jì)算中的很多實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為平面一般力系來(lái)處理。F1FnF2 圖示的屋架，它所承受的恒載、風(fēng)載以及支座約束力所組成的力系;可簡(jiǎn)化為平面一般力系。(a)(b) 圖示的起重機(jī)簡(jiǎn)圖，配重、荷載、自重、及支座約束力所組成的力系可視為一個(gè)平面一般力系。(a)PFAyFBy(b)P4-1 力線平移定理( )( )BBM

2、FdMMFF定理 ： 作用在剛體上某點(diǎn)的力 F，可以平行移動(dòng)到剛體上任意一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力 F 對(duì)平移點(diǎn)之矩。 證明如下圖所示：(a)AB dFFABdFF(b)BdFAM=Fd(c) 可見(jiàn)，一個(gè)力可以分解為一個(gè)與其等值平行的力和一個(gè)位于平移平面內(nèi)的力偶。反之，一個(gè)力偶和一個(gè)位于該力偶作用面內(nèi)的力，也可以用一個(gè)位于力偶作用面內(nèi)的力來(lái)等效替換。(a)AB dFFABdFF(b)BdFAM=Fd(c) 如打乒乓球，若球拍對(duì)球作用的力其作用線通過(guò)球心（球的質(zhì)心），則球?qū)⒁苿?dòng)而不旋轉(zhuǎn)；但若力的作用線與球相切“削球”，則球?qū)a(chǎn)生移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。CF(a)CF(b)F CM思考

3、題 4-1 用力線平移定理將圖(a)、(b)中各主動(dòng)力分別平移到輪心，由此說(shuō)明兩個(gè)圖中的力對(duì)輪子的外效應(yīng)有何不同？(a)rO1FrO1F/2F/2(b)4-2 平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 設(shè)在某一剛體上作用著平面一般力系F1,F2,Fn ,如圖所示。顯然像平面匯交力系那樣，用力的平行四邊形法則來(lái)合成它很困難。 應(yīng)用力線平移定理，將該力系中的各個(gè)力逐個(gè)向剛體上的某一點(diǎn)O（稱為簡(jiǎn)化中心）平移,再將所得的平面匯交力系和平面力偶系分別合成。F1F2Fn平面一般力系平面力偶系平面匯交力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化合成合成FR（合力）MO（合力偶）(a)F1F2FnF1FnF2Od1d2dn(b)F2 OF1FnM1M2Mn

4、(c) OyxMOFR(d)R1212nnFFFFFFFF F(4-1) 事實(shí)上，可直接用原力系F1，F(xiàn) 2，.F n 的各力作出力多邊形，力多邊形的封閉邊稱為原力系的主矢。 FR的大小和方向等于主矢，作用點(diǎn)在O點(diǎn)。由此可見(jiàn)，主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。1212()()()()OnOOOnOMMMMMMMMFFFF(4-2)由此可見(jiàn)，MO一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)，它反映了原力系中各力的作用線相對(duì)于O點(diǎn)的分布情況，稱為原力系對(duì)O點(diǎn)的主矩。此時(shí)主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。R0,0OFM 平面一般力系的三種簡(jiǎn)化結(jié)果：1. 力系簡(jiǎn)化為合力偶2. 力系簡(jiǎn)化為合力R0,0OFM FR就是原力系的合力，合力的作

5、用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。(1)OMOFR力系仍可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，但合力的作用線不通過(guò)簡(jiǎn)化中心。 MOOO(a)FR(b)OOFRdFRFR(2)R0,0OFM (c)OOdFR3. 力系平衡R0,0OFM 平面一般力系如果有合力，則合力對(duì)該力系作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。合力矩定理OMOFRRRR(),(),()()OOOOOOMFdMMMMMFFFF如下圖所示，顯然有證明： MOOO(a)FR(b)OOFRdFRFR 一平面力系向A、B兩點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果相同，且主矢和主矩都不為零，問(wèn)是否可能？ F1F2FnABFRAB答：合力與兩點(diǎn)連線平行時(shí)可能。思考題 4-1 在什么情況下

6、，一平面力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化所得的主矩為零？F1F2FnA 思考題 4-2 有一平面一般力系向某一點(diǎn)簡(jiǎn)化得到一合力，問(wèn)能否另選適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化中心而使該力系簡(jiǎn)化為一力偶？為什么？F1F2FnAB思考題 4-34-3 分布荷載 集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小或與整個(gè)構(gòu)件的尺寸相比很小，可以認(rèn)為集中作用在一點(diǎn)上。例如，鐵軌給輪子的力等。FN幾種分布荷載： 體分布荷載：荷載（力）分布在整個(gè)構(gòu)件內(nèi)部各點(diǎn)上。例如，構(gòu)件的自重等。 面分布荷載：分布在構(gòu)件表面上。例如，風(fēng)壓力、雪壓力等。 線分布荷載：荷載分布在狹長(zhǎng)范圍內(nèi)，如沿構(gòu)件的軸線分布。(1) 集中荷載的單位，即力的單位 (N，kN)。分布荷載的大小用集

7、度表示，指密集程度。1. 荷載的單位(2) 體分布荷載的單位： N/m3 ，(3) 面分布荷載的單位： N/m2 ，(4) 線分布荷載的單位： N/m 。(1) 均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。例如圖中的均布荷載的合力為：10.91 16 174 .6 kN,Fq l 其作用線通過(guò)梁的中點(diǎn)。Fq=10.91 kN/mFBFAl=16 m2. 分布荷載的計(jì)算方法如壩體所受的水壓力等。ABqyyC(2) 非均布荷載：荷載集度不是常數(shù)。求圖示梁上線性分布荷載的合力。ABxxxylxcFR0q解： 取坐標(biāo)系如圖所示。在x處取一微段，其集度為0 xqql微段上的荷載為：0qFx qxxl 以A為簡(jiǎn)化中心

8、，有R0R00( )limxxyxFFqFFxxl C例題 4-100R00022000d2( )( )d3limlAAxlqqFx xllqMMxx xlqqxxll F 由此可見(jiàn)，分布荷載合力的大小等于荷載集度圖的面積。合力作用線的位置為：20R0/32/23AcyqlMxlFql例題 4-1ABxxxylxcFR0qC 已知水壩的壩前水深 h=10 m , 求1 m長(zhǎng)的壩面上水壓力的合力之大小和作用線的位置。ABqyyCFdhqdy1 m例題 4-2解：在深度為y處，水的壓強(qiáng)2kN/mpg y 取1 m 長(zhǎng)的壩體考慮時(shí)，作用于壩面的水壓力可以簡(jiǎn)化為沿壩面中心線平行分布的線荷載。(1d )

9、(kN/m )d(kN/m)yhg yyqg yyqg hABqyyCFdhqdy1m例題 4-2(g 9.81kN/m3 , 為水的密度，g為重力加速度。 ) 該分布荷載是呈三角形分布的，其合力大小為三角形的面積，作用線在距底邊2/3高度處。11(9.81 10) 10491 k N2222106.67 m33FqhdhABqyyCFdhqdy1 m例題 4-24-4 平面一般力系的平衡條件 平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩都為零。R0,0OFM 平面一般力系的平衡方程為：0,0,()0 .xyOFFMFOMOFR 圖示一懸臂式起重機(jī)簡(jiǎn)圖，A、B、C處均為光滑鉸

10、鏈。均質(zhì)水平梁AB自重 P = 4 kN,荷載 F =10 kN,有關(guān)尺寸如圖所示，BC桿自重不計(jì)。求BC桿所受的拉力和鉸鏈A給梁的約束力。例題 4-3ABDEPF030C2m1m1m 解：(1) 取AB梁為研究對(duì)象。(2) 畫受力圖。 未知量三個(gè)：FAx、FAy、FT ，獨(dú)立的平衡方程數(shù)也是三個(gè)。(3) 列平衡方程，選坐標(biāo)如圖所示。0T0cos 300( 1 )xA xFFF0T0sin 300 (2)yA yFFFPFABDEPFFT030 xyFAxFAy例題 4-30T( )0sin 300(3)AMF ABP AD F AE F由(3)解得T0232 4 3 1019 kN4sin

11、304 0.5PFF 以FT之值代入式(1)、(2)，可得：FAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。例題 4-3ABDEPFFT030 xyFAxFAy 即鉸鏈A的反力及與x軸正向的夾角為：22017.1 kNarctan15.3AA xA yA yA xFFFFF 如果例題4-3中的荷載F可以沿AB梁移動(dòng)，問(wèn)：荷載F在什么位置時(shí)桿BC所受的拉力（FT）最大？其值為多少？思考題 4-4例題 4-3ABDEPFFT030 xyFAxFAy看可否求出FT、FAx、FAy；(1) 由右圖所示的受力圖，試按()0()00ABxMMFFF思考題 4-5(2) 由右圖所示的受力圖，試按()0()0

12、0AByMMFFF看可否求出FT、FAx、FAy；ABDEPFFT030 xyFAxFAy(3) 由右圖所示的受力圖，試按()0()0()0ABCMMMFFF看可否求出FT、FAx、FAy 。ABDEPFFT030 xFAxFAyC思考題 4-5平面一般力系平衡方程的其他形式：1. 二矩式()0()00ABxMMFFF注意：A、B兩點(diǎn)連線不垂直于x軸。ABFRx2. 三矩式()0()0()0ABCMMMFFF注意：A、B、C三點(diǎn)不在一條線上。ABFRC 由右圖所示的受力圖，可否列出下列四個(gè)獨(dú)立的平衡方程？()0()0()0ABCMMMFFF0 xF為什么其中必有一個(gè)是從屬的？思考題 4-6AB

13、DEPFFT030 xFAxFAyC 圖示簡(jiǎn)支梁AB。梁的自重及各處摩擦均不計(jì)。試求A和B處的支座約束力。y(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx(a)qACBDMe2aa4a解：(1) 選AB梁為研究對(duì)象。 (2) 畫受力圖如右圖所示。 (3) 取坐標(biāo)如圖。例題 4-4(4) 列平衡方程N(yùn)eN( )0420,0 ,0,0 ,20.ABxAxyAyBMFa Mqa aFFFFqaF F解得eNe0 ,1,243.24A xBA yFMFqaaMFqaay(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx例題 4-4 在例4-4中，試以下列三個(gè)方程求解，看會(huì)有什么問(wèn)題，并說(shuō)明原因。

14、()0()00AByMMFFFy(b)qACBDMe2aa4aFAxFAyFNBx思考題 4-74-5 平面平行力系的平衡條件平面平行力系：0 xF yOxF1F2Fn 圖示一受平面平行力系作用的物體，如選軸與各力作用線垂直，顯然有：各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。平面平行力系的平衡條件為：0()0yOFMF即平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的代數(shù)和以及各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和都為零。平面平行力系平衡方程的二矩式( )0( )0ABMMFFyOxF1F2Fn注意：A、B兩點(diǎn)的連線不能與各力的作用線平行。 圖示的連續(xù)梁，約束力有哪幾個(gè)？求解約束力時(shí)有幾個(gè)獨(dú)立的未知量？能夠列幾個(gè)

15、獨(dú)立的平衡方程？思考題 4-8qACBDMe2aa4aF4a靜定和超靜定的概念： 靜定問(wèn)題：一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果系統(tǒng)中未知量的數(shù)目正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a 超靜定問(wèn)題：一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果系統(tǒng)中未知量的數(shù)目超過(guò)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，用剛體靜力學(xué)方法就不能解出所有的未知量。qACBDMe2aa4aF4a注意：判斷問(wèn)題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目來(lái)考慮，還應(yīng)對(duì)問(wèn)題多作具體分析。 分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量數(shù)，實(shí)際上它不能平衡。qACBDMe2aa4aF4a 平面匯交力系的平衡方程可否用一個(gè)投影式、一個(gè)力矩式？或兩個(gè)都用

16、力矩式？如果可以用，有什么限制條件？為什么要附加這種條件？F1FnoF2思考題 4-9 平面一般力系的平衡方程能否用三個(gè)投影式？為什么？F1F2Fn思考題 4-10 平面平行力系的平衡方程能否用兩個(gè)投影式？為什么？yoxF1F2Fn00 xyFF？思考題 4-11平面力偶系的平衡方程能否用投影式？為什么？M=M1+ M2+ + Mn =0 , 或 M=M=0思考題 4-13M1M2Mn4-6 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 物體系：由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG1. 內(nèi)力和外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所

17、研究系統(tǒng)的力。內(nèi)力：因外力作用, 在系統(tǒng)內(nèi)部，各個(gè)物體之間，或一個(gè)物體的這一部分與另一部分之間，相互作用的力。AB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx2 kN/mEGFEyFExFG10 kNFCyFCxFDFEyFExCECD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG2. 物體系平衡問(wèn)題的靜定或超靜定 物體系是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體的受力情況，畫出受力圖。 若未知量總數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是超靜定的。 總計(jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問(wèn)題中未知量的總數(shù)相比較。 根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平衡方程，如平面一般力系有三個(gè)獨(dú)

18、立的平衡方程等。 若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能不平衡，而若計(jì)算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。 若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是靜定的。注意： (1) 在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的平衡方程推出，因而就不獨(dú)立了。(2) 在求解物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要研究整體，還要研究局部個(gè)體，才能使問(wèn)題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)的受力圖開(kāi)始，逐步求解

19、。 求圖示多跨靜定梁的支座約束力。梁重及摩擦均不計(jì)。例題 4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mG2 kN/mEGFEyFExFG10 kNFCyFCxFDFEyFExCE 分析：未知量9個(gè)，5個(gè)支座約束力，C、 E處鉸鏈反力各2個(gè)，共9個(gè)未知量。考慮3個(gè)梁的平衡，共有9個(gè)獨(dú)立的平衡方程。所以系統(tǒng)是靜定的。AB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx例題 4-5CD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m 1.5m10 kNE2 kN/mGxy0,0.xE xFF由對(duì)稱關(guān)系得：由對(duì)稱關(guān)系得：1(2 4.5)4.5 kN( ).2

20、EyGFF2 kN/mEGFEyFExFG(2) 研究CE梁10 kNFCyFCxFDFEyFExCE00,0 xCxExCxExFFFFF例題 4-5解：(1) 研究EG梁( ) 04.5 10 26 010.44 kNCDEyDMFFF F01004.06 kNyCyDEyCyFFFFF10 kNFCyFCxFDFEyFExCExy(3) 研究AC梁00,0 xAxCxCxAxFFFFFAB20 kNFAxFAyFBCFCyFCx例題 4-5( ) 06 20 37.5 015.08 kNABCyBMFFF F02008.98 kNyAyBCyAyFFFFFxy例題 4-5AB20 kNF

21、AxFAyFBCFCyFCx 若將A處改為活動(dòng)鉸支座，則未知量數(shù)目為8個(gè)，但在圖示荷載下仍能平衡。當(dāng)主動(dòng)力的合力在x軸上的投影不為零時(shí)，系統(tǒng)能否平衡？xyCD3m1.5m4.5m3mAB20 kN2m2.5m1.5m10 kNE2 kN/mG思考題 4-13 圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷載，其集度為q (kN/m),拱重及摩擦均不計(jì)。求鉸鏈A、B處的約束力。CABFA xFA yFB xFB y q例題 4-6qCABhl/2l/2解：(1) 研究整體其受力如圖所示。()030243kN ().8BAyAyMllFlqq lF F()002 4kN ().8AByByMllF

22、lqq lF F例題 4-6CABFA xFA yFB xFB y q00.xAxBxAxBxFFFFF(2) 研究AC,并畫其受力圖。22()0310,8 224kN(),16kN().16CAxAxBxMlq l lFhqlq lFhq lFh FqCAFAxFAyFCyFCx例題 4-6CABFA xFA yFB xFB y q 用另一種方法解例4-6。思考題 4-14FBCABFA xFA yq判斷圖中受力圖是否正確？qChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql?思考題 4-15qCABhl/2l/2由左半部分受力圖可知，AC不能平衡，(a)圖是錯(cuò)的。qCAFCyFCxFAy=0.5

23、ql(b)0.5qlChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql(a)4 -7 滑動(dòng)摩擦 一切物體表面都具有不同程度的粗糙度或物體變形，當(dāng)兩物體相接觸且有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，由于接觸面間的凹凸不平或變形，就產(chǎn)生了相對(duì)運(yùn)動(dòng)的阻力，這種阻力稱為摩擦力。1. 摩擦力也可分為靜摩擦和動(dòng)摩擦。 (1) 靜摩擦：兩物體仍保持靜止,僅有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)的摩擦。(2) 動(dòng)摩擦：兩物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦。 本節(jié)討論靜滑動(dòng)摩擦的情形，且只討論干摩擦的問(wèn)題，研究具有靜滑動(dòng)摩擦的平衡問(wèn)題。 圖中為一放置在水平的粗糙面上的物體。分析它在幾種情況下的受力圖：FFNF(a)s1FF ssNF f FF(c)F2FFN

24、FmaxF2maxsNFfF(b)FFFNFsF1F12. 考慮滑動(dòng)摩擦的平衡問(wèn)題 考慮摩擦的平衡問(wèn)題的解法與沒(méi)有摩擦的平衡問(wèn)題一樣，其特點(diǎn)是：(1) 受力分析時(shí)應(yīng)考慮摩擦力，摩擦力的方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反；(2) 除滿足力系的平衡條件外，各處的摩擦力必須滿足摩擦力的物理?xiàng)l件，即ssNFfF(3) 平衡問(wèn)題的解一般是以不等式表示的一個(gè)范圍，稱為平衡范圍。 重量為 P 的物體置于斜面上，如圖所示。已知物塊與斜面之間的靜摩擦因數(shù) f s，問(wèn)： (1) 斜面的傾角j 增大到多少時(shí)（以j1表示），物塊將下滑？PxyFFN1j1j(a)jPxyj例題 4-7(2) 在jj1的情況下，須在物塊上沿斜

25、面至少施加多大的力FT 才能使物塊下滑？PxyFFNFTjj(b)(3) 欲使物體沿斜面向上滑動(dòng)，須在物塊上沿斜面至少施加多大的力FT？PxyFFNFTjj(c)例題 4-7解：(1) 畫受力圖如右。列平衡方程考慮極限平衡狀態(tài)有：11N1N10sin0sin0cos0cosxyFFPFPFFPFPjjjj (1)(2)maxsNFFfF從而得到：1s1stan,arctan.ffjjPxyFFN1j1j(a)例題 4-7(2) 畫受力圖如右列平衡方程TTNN0sin0sin0cos0cosxyFFPFFFPFFPFPjjjj從而得到：Ts(cossin).FP fjjPxyFFNFTjj(b)考慮極限平衡狀態(tài)有：m axsNF Ff F當(dāng)時(shí), 物塊才能下滑。Ts(cossin)FPfjj例題 4-7(3) 畫受力圖如右列平衡方程TTNN0sin0sin0cos0cosxyFFPFFFPFFPFPjjjj PxyFFNFTjj(c)考慮極限平衡狀態(tài)有：maxsNFFfF從而得到：Ts(cossin).FP fjj當(dāng)時(shí)，物塊才能上滑。Ts(cossin)FP fjj例題 4-7 如圖所示的物塊，若