第1章 矢量分析

1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析與場(chǎng)論 分析場(chǎng)問題的必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)量分析（數(shù)學(xué)工具）電場(chǎng)和磁場(chǎng)都是一種場(chǎng)場(chǎng)分析法場(chǎng)的概念：物理量數(shù)值的無窮集合。例如：在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。分類：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)、靜態(tài)場(chǎng)和動(dòng)態(tài)場(chǎng)（時(shí)變場(chǎng)）。屬性：占有一個(gè)空間，且在該空間域內(nèi)，除有限個(gè)點(diǎn) 和表面外它是處處連續(xù)的。第一章 矢量分析 1.1 矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算 1.2 圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo) 1.3 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)* 1.4 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)* 1.5亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 第一章 矢量分析 1.1 矢量及其代數(shù)運(yùn)算矢量及其代數(shù)運(yùn)算 1.1.1. 標(biāo)

2、量（Scalar）與矢量(Vector) 1. 標(biāo)量：實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量，只表示該代數(shù)量大小。 矢量：既表示大?。＃直硎痉较?。 物理學(xué)中，賦予單位，具有物理意義，稱為物理量。 例如： 標(biāo)量有電壓、電流、溫度、時(shí)間、質(zhì)量、電荷等； 矢量有電場(chǎng)、磁場(chǎng)、力、速度、力矩等。 2. 矢量的表示：矢量 可以表示為 其中， A是矢量 的大小; 代表矢量 的單位矢量。AaAAAaA第一章 矢量分析 零矢(Zero Vector)：大小為零的矢量，又稱空矢(Null Vector) 。 單位矢量（Unit Vector)：大小為1的矢量。3. 位置矢量：從原點(diǎn)指向點(diǎn)P的矢量，用 表示。 即空間中點(diǎn)P(X,

3、Y,Z)能夠由它在三個(gè)相互垂直的軸線上的投 影唯一地被確定。4. 直角坐標(biāo)系中，矢量 可以表示為222zyxAAAAArzzyyxxaAaAaAA)211 (zyxaZaYaXr第一章 矢量分析 1.1.2 矢量的代數(shù)運(yùn)算 設(shè)兩個(gè)矢量為 ， ，則zzyyxxBABABAABBAcosxxyyzzAe Ae Ae A xxyyzzBe Be Be B 1.標(biāo)量積(Scalar Product) ： 標(biāo)量 標(biāo)量積服從交換律和分配律，即CABACBAABBA)(,第一章 矢量分析 （右手螺旋）)()()(sinxyyxzzxxzyyzzyxzyxzyxzyxnBABAaBABAaBABAaBBBAA

4、AaaaABaBAC2.矢量積(Vector Product) ：又稱矢量的叉積(Cross Product)。BAnaaa矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即 CABACBAABBA)(,第一章 矢量分析 xxxyyyzzzABe (AB )e (AB )e (A +B ) xxxyyyzzzABe (AB )e (AB )e (AB ) 3.矢量和：4.矢量差：5. 直角坐標(biāo)系中的單位矢量有下列關(guān)系式： 0zxzyyxeeeeee1zzyyxxeeeeeeyxzxzyzyxeeeeeeeee,0zzyyxxeeeeee第一章 矢量分析 1.3 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 本節(jié)要點(diǎn)：本節(jié)要點(diǎn)：考察矢量

5、場(chǎng)在空間的分布及變化規(guī)律。l 矢量線矢量線l 通量和散度通量和散度l 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度第一章 矢量分析 1.3.1 矢量場(chǎng)的矢量線矢量場(chǎng)的矢量線(Vector Line) 例如：靜電場(chǎng)的電力線、磁場(chǎng)的磁力線、流速場(chǎng)中的流線。圖 1-10 力線圖 )(rArdro所謂矢量線就是這樣一些曲線：在曲線的每一點(diǎn)處，場(chǎng)的矢量都位于該點(diǎn)處的切線上。第一章 矢量分析 矢量線方程：)531 (zzyyxAdAdAdx0 rdA定義式直角坐標(biāo)系中， 結(jié)論： 矢量線可以使我們直觀、形象地了解矢量場(chǎng)在空間的分布狀況。第一章 矢量分析 例例1-1 求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：解

6、： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz從而有 解之即得矢量方程 c1和c2是積分常數(shù)。 第一章 矢量分析 例例1-2 設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，它在空間任一點(diǎn)P（x, y, z)處所產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為求 的矢量線方程畫出矢量線圖。解：解：zdzydyxdxyczxcy21由式（135）得矢量線方程為 c1和c2是積分常數(shù)。 rrqE304EzzyyxxzyxEaEaEazayaxarqrrqE)(443030此方程解為 第一章 矢量分析 zyx 由圖可見，電力線是一簇從點(diǎn)電荷出發(fā)向空間發(fā)散的徑向輻射線，它形象地描

7、述點(diǎn)電荷的電場(chǎng)在空間的分布狀況。第一章 矢量分析 1.3.2 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度 1. 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量(Flux)面元矢量：dSnSd單位矢量 是面元外法線方向。nnASd)731 (cosdSASdA標(biāo)量積稱為矢量 穿過 的通量。SdA第一章 矢量分析 )831 (SSdSnASdA)931 (SdAS矢量場(chǎng) 穿過整個(gè)曲面 的通量為：AS如果 是一個(gè)閉合曲面，則其通量為：S 通量的物理意義：（假設(shè)矢量場(chǎng) 為流體的速度） 通量表示在單位時(shí)間內(nèi)流體從閉合曲面內(nèi)流出曲面 的正流量與流入閉合曲面 內(nèi)部的負(fù)流量代數(shù)和，即凈流量。ASS第一章 矢量分析 若 ，表示有凈通量流出

8、，說明封閉曲面 內(nèi)必定有產(chǎn)生流體的正源（Source）； 若 ，表示有凈通量流入，說明封閉曲面 內(nèi)有吸收流體的負(fù)源（Sink,稱之為溝）； 若 ，表示流入等于流出，此時(shí) 內(nèi)正源與負(fù)源的代數(shù)和為零，即沒有源。SSS00 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無源)0第一章 矢量分析 結(jié)論：結(jié)論： 矢量場(chǎng)在閉合面上的通量是由面內(nèi)的源決定的，它是一個(gè)積分量。它描繪閉合面內(nèi)較大范圍內(nèi)的源的分布情況。 描述場(chǎng)中每一個(gè)點(diǎn)上源的性質(zhì)，必須引入新的矢量，故引入矢量場(chǎng)的散度的概念。第一章 矢量分析 稱此極限為矢量場(chǎng) 在點(diǎn)P處的散度。 設(shè)有矢量場(chǎng) ，在場(chǎng)中任一點(diǎn)P處作一個(gè)包含P點(diǎn)在內(nèi)的任一閉合曲面 ， 設(shè) 所

9、限定的體積為V， 當(dāng)體積V以任意方式縮向P點(diǎn)（ ）時(shí)， 取下列極限: 2.矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度 （divergence ）1) 散度定義0VSSAVSdASV0limAPSAVn記作VSdAAdivSV0lim定義式第一章 矢量分析 2) 哈密爾頓（Hamilton)算子 哈密頓算子是一個(gè)矢性微分算子，在直角坐標(biāo)系中有： AdivA故在直角坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式可寫為)1431 ()(zAyAxAeAeAeAezeyexAzyxzzyyxxzyx)1331 (zayaxazyx計(jì)算式即第一章 矢量分析 在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中，散度的表達(dá)式分別為)1531 (1)(1zAAAAz)1631

10、 (sin1)sin(sin1)(122ArArArrrAr第一章 矢量分析 結(jié)論： 散度表示場(chǎng)中一點(diǎn)處的通量對(duì)體積的變化率。也就是說在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來說所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。 散度是一個(gè)標(biāo)量，它描述的是場(chǎng)分量沿各自方向上的變沿各自方向上的變化規(guī)律化規(guī)律。故散度用于研究矢量場(chǎng)標(biāo)量源在空間的分布狀況。 在P點(diǎn)處， ，表明 在該點(diǎn)有散發(fā)通量之正源，稱為源點(diǎn)； ，表明 在該點(diǎn)有吸收通量之負(fù)源，稱為匯點(diǎn)； ，表明 在該點(diǎn)無通量源，稱為連續(xù)或無散的。A0Adiv0Adiv0AdivAA第一章 矢量分析 3) 高斯散度定理（Divergence Theorem） )221 ( VSSdA

11、dVA 即矢量場(chǎng) 散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量A第一章 矢量分析 【例1-3】在矢量場(chǎng) 中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的立方體，它的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)上，如圖示。試求： (1) 矢量場(chǎng) 的散度； (2) 從六面體內(nèi)穿出的通量，并驗(yàn)證高斯散度定理。 解：(1) 根據(jù)散度計(jì)算公式得， (2) 從單位立方體穿出的通量：yzaxyaxaAzyx2Axxy11zo1yxzyzyxyxxA3)()()(2下上右左后前SdASdASdASdASdASdASdAS第一章 矢量分析 21210)10（右左右左yyyydxdzaAdxdzaASdASdAxy11zo1101)(01后前后前xxxxd

12、ydzaAdydzaASdASdA21021)(01下上下上zzzzdxdyaAdxdyaASdASdA VdxdydzyxdVA1010102)3(VSSdAdVA 故從單位立方體內(nèi)穿出的通量為2，且高斯散度定理成立，即第一章 矢量分析 1.3.3 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 )1931 (cosdlAldAcc 1.環(huán)量定義(Circulation) 設(shè)有矢量場(chǎng) ， 為場(chǎng)中的一條封閉的有向曲線，則定義矢量場(chǎng) 環(huán)繞閉合路徑 的線 積分為該矢量的環(huán)量環(huán)量，記作AAll圖 1-14矢量場(chǎng)的環(huán)量 lldAPoxyz第一章 矢量分析 環(huán)量是矢量 在大范圍閉合曲線上的線積分，反映了閉合曲線內(nèi)

13、旋渦場(chǎng)的分布情況。要分析每個(gè)點(diǎn)附近旋渦源的分布情況，引入旋度。 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場(chǎng) 性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。AA 矢量的環(huán)量也是一標(biāo)量，如果 ，則表示閉合曲線 內(nèi)有產(chǎn)生這種場(chǎng)的旋渦源；如果 ，則表示該封閉曲線內(nèi)無渦旋源。0l0l第一章 矢量分析 1) 環(huán)量密度2. 矢量場(chǎng)的旋度(curl)2031 (lim0SldAcSnlPS圖1-15 閉合曲線方向與 面元方向示意圖此極限值就是環(huán)量的面密度（即環(huán)量對(duì)面積的變化率）。第一章 矢量分析 環(huán)量面密度與 所圍成的面元 的方向有關(guān)： 如果 圍成的面元矢量與旋渦面的方向重合，則環(huán)量面密度最大；如果所取面元矢量

14、與旋渦面的方向之間有一夾角，則環(huán)量面密度總小于最大值；如果面元矢量與旋渦面的方向相垂直，則環(huán)量面密度為零。 即在給定點(diǎn)上，不同路徑，環(huán)量面密度不同。故引入旋度來限制給定點(diǎn)上的環(huán)量面密度。S2）旋度的定義llnlArot旋渦面P第一章 矢量分析 )2231 (limmax0SldAnRArotcS 矢量場(chǎng) 的旋度描述了矢量 在該點(diǎn)的旋渦源強(qiáng)度，若在某區(qū)域中各點(diǎn) 則稱矢量場(chǎng)無無旋場(chǎng)或者保守場(chǎng)。0ArotAA0)(A旋度的一個(gè)重要性質(zhì)是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即 旋度是一個(gè)矢量，模值等于矢量 在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度；方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)，該面元的方向 ,它描述的是場(chǎng)分量沿

15、著與它相垂直方向上的變化規(guī)場(chǎng)分量沿著與它相垂直方向上的變化規(guī)律。律。An第一章 矢量分析 xxyyxzxyzzzyyxxzyxayAxAazAxAaxAyAaAaAaAazayaxAArot)()2431(zyxxyxAAAzyxaaa直角坐標(biāo)系中，旋度的表達(dá)式為注：矢量 在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的旋度表達(dá)式見附錄1 （P237）。A第一章 矢量分析 3)斯托克斯定理（Stokes Theorem） )381 ()(cSldASdA 斯托克斯定理完成矢量旋度的面積分與該矢量的線積分之間的互換。式中 的方向與 的方向成右手螺旋關(guān)系（證明略）。 Sdld 矢量場(chǎng)在閉合曲線 上的環(huán)量等于閉合曲線 所

16、包圍曲面 上旋度的總和。Sll第一章 矢量分析 【例【例1-4】 已知一矢量場(chǎng) 試求： (1) 該矢量場(chǎng)的旋度； (2) 該矢量場(chǎng)沿半徑為3的四分之一圓盤邊界的線積分，如圖示，驗(yàn)證斯托克斯定理。 解：(1) ,2xaxyaFyx)2(02xaxxyzyxaaaFrotzxyx(2) 矢量沿四分之一圓盤邊界的線積分：BAAOOBBAlldFldFldFldFldFoAB3rxy第一章 矢量分析 由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系得：,cosrx sinry drarardaldyx)cos()sin()21 (9)cos2cossin(202223drrldFBA)21 (9)cos2()cos2()(3

17、020 rdrdrrdrdaraSdFSSzzlSldFSdF)(可見，斯托克斯定理 成立。第一章 矢量分析 例例1-5 在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為 ),(4002rrrrrazayaxrrrqDzyx求：1) 穿過原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見下圖)。 2)電位移矢量 的散度。 解：解：1) SSdD 由于球面的法線方向與 的方向一致，所以 DD第一章 矢量分析 0)( 33434,34,344,4,44)252222522522522333333rzyxrqzDyDxDDDdivrxrqzDrxrqyDrxrqxDrqzDrqyDrqxDarzar

18、yarxqDxxxzyxzyxzyxqRRqdSRqDdSSdDSSS222444第一章 矢量分析 1.4 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 本節(jié)要點(diǎn)：本節(jié)要點(diǎn)：考察標(biāo)量場(chǎng)在空間的分布及變化規(guī)律。l 等值面等值面l 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)l 梯度梯度第一章 矢量分析 1.4.1 標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面 指在標(biāo)量場(chǎng)u(x, y, z)中，使其函數(shù)取相同數(shù)值的所有點(diǎn)組成的曲面，稱等值面。等值面方程表示為 c為任意常數(shù)czyxu),(等值線（面） 標(biāo)量場(chǎng)的等值面可以直觀地幫助我們了解標(biāo)量場(chǎng)在空間的分布情況。第一章 矢量分析 1.4.2 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)(Directional Derivative) 1. 方向?qū)?shù)的定

19、義 設(shè)P0是標(biāo)量場(chǎng)=(M)中的一個(gè)已知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l, 在l上P0的鄰近取一點(diǎn)P， ，如圖1-19所示。圖 1-19 u沿不同方向的變化率 grad uuP0Plu ulPP0 如果當(dāng)P趨于P0時(shí)， 的極限存在，則稱此極限為函數(shù)u(P)在點(diǎn)P0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為 lPuPulu)()(0第一章 矢量分析 )341 ()()(lim000lPuPuluPPP 方向?qū)?shù)是函數(shù) 在點(diǎn)P0處沿l方向?qū)嚯x的變化率。當(dāng) 時(shí)表示在點(diǎn)p0處沿l方向是增加的，反之就減小。)(Pu00Plu 2. 方向?qū)?shù)的 計(jì)算公式 在直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)u=u(x, y, z)在點(diǎn)P0(x0,

20、 y0, z0)處可微，則有第一章 矢量分析 式中，cos、cos、cos為l方向的方向余弦。）（541coscoscos0zuyuxuluP1.4.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度（Gradient）變化率最大的方向 1. 梯度的定義zyxazuayuaxuGugrad 矢量 的方向?yàn)楹瘮?shù)u在點(diǎn)P處變化率為最大的方向其大小就是這個(gè)最大變化率的值。G第一章 矢量分析 在直角坐標(biāo)系中， 梯度用哈密頓微分算子又可以表示為 zyxazuayuaxugraduu注： 拉普拉斯算子，即 直角系、圓柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中的梯度和拉普拉斯表達(dá)式見附錄1（P237）。2第一章 矢量分析 2. 梯度的性質(zhì) (1) 方

21、向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影，即 )1641 (iaulu (2) 標(biāo)量場(chǎng)u中每一點(diǎn)P處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(P)增大的方向，也就是說，梯度就是該等值面的法向矢量。 (3) )1741 (0u梯度的旋度為零。 表明：如果一個(gè)矢量場(chǎng) 滿足 ，即 是一個(gè)無旋場(chǎng)，則矢量場(chǎng) 可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u的梯度來表示，即0FFF第一章 矢量分析 uFuF該標(biāo)量函數(shù)稱為勢(shì)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的矢量場(chǎng)稱有勢(shì)場(chǎng)。 例如，靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示。3. 梯度的積分0)(SlSduldu標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)無旋場(chǎng)，有斯托克斯定理知，無旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分必然為零。第一章 矢量分析 0

22、122211PCPPCPll dul dul du1P2P1C2C221211PCPPCPlduldu即，)()(122121PuPudldldulduPPPP)1841 ()()(212112CldFPulduPuPPPP積分與路徑無關(guān)，僅與始點(diǎn)P1和終點(diǎn)P2的位置有關(guān)。如果一直一個(gè)無旋場(chǎng)，選定一個(gè)參考點(diǎn)(P1)，可求出標(biāo)量場(chǎng)u。 總之，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，其梯度矢量一定為無旋場(chǎng)，無旋場(chǎng)沿閉合路徑的積分一定為零，故稱無旋場(chǎng)為保守場(chǎng)。第一章 矢量分析 例例1 求數(shù)量場(chǎng) =(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為=

23、(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx或 第一章 矢量分析 例例2 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。 解：解：l方向的方向余弦為 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222第一章 矢量分析 而 222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù) 324232132131Ml第一章 矢量分析 證：證： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrgradrzyx222222因?yàn)?例例3 設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)的矢量 的 模，證明： 222zyxr.0rrrgradrzyxezeyexr第一章 矢量分析 rzzyxzzyxxzrr