第13課時51數(shù)學證明概說

1、 第第13課時課時第第5章章 數(shù)學證明數(shù)學證明第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學證明概說數(shù)學證明概說引子：胸中有圣人引子：胸中有圣人 有一天王守仁先生對大家說：“每個人心中都有個圣人，只是因為自信心不足，圣人就給埋沒了.”然后，他回過頭告訴于中說：“你胸中原來就有個圣人.”于中慌忙起來推辭.王守仁說：“這是你自家有的，為什么要推辭掉？”于中還是回答說：“不敢當.”王守仁說：“眾人胸中都有個圣人，何況你于中？為什么要謙虛起來呢？靠謙虛是得不到的.”于中便笑著接受了.于是王守仁便笑著對大家說：“你們看，于中心中有圣人了吧，可見每個人心中都有圣人.哈哈哈！” 評注評注：在這里，王守仁以在這里，王守仁以“每個人心中都

2、有圣人每個人心中都有圣人”來證明來證明“于中心中有于中心中有圣人圣人”；然后又以；然后又以“于中心中有圣人于中心中有圣人”來證明來證明“每個人心中都有圣人每個人心中都有圣人”. .按照按照邏輯的術語，就是論題和論據(jù)互換著使用，因此，什么結論都沒有得到邏輯的術語，就是論題和論據(jù)互換著使用，因此，什么結論都沒有得到. .在日在日常生活中，人們經(jīng)常不知不覺地犯這種常生活中，人們經(jīng)常不知不覺地犯這種“循環(huán)論證循環(huán)論證”的邏輯錯誤的邏輯錯誤. .在數(shù)學與邏輯中，談論證明是一件很困難的工作在數(shù)學與邏輯中，談論證明是一件很困難的工作數(shù)學證明概述數(shù)學證明概述 數(shù)學證明界定數(shù)學證明界定 指根據(jù)某些已知真實的命題

3、來斷定某一新命題指根據(jù)某些已知真實的命題來斷定某一新命題真實性的思維過程（或思維形式）真實性的思維過程（或思維形式） 指根據(jù)已經(jīng)確實其真實性的公理、定理、定義、指根據(jù)已經(jīng)確實其真實性的公理、定理、定義、公式、性質等真實性數(shù)學命題（判斷）來論證某一數(shù)公式、性質等真實性數(shù)學命題（判斷）來論證某一數(shù)學命題（判斷）的真實性的推理過程學命題（判斷）的真實性的推理過程 邏輯學邏輯學數(shù)學數(shù)學數(shù)學證明概述數(shù)學證明概述 證明與推理的關系證明與推理的關系 （i）它們都是以判斷為其組成要素的思維形式）它們都是以判斷為其組成要素的思維形式 （ii）一個命題的證明往往包含一個或一連串的推理）一個命題的證明往往包含一個或

4、一連串的推理 （iii）它們的組成部分有相關性）它們的組成部分有相關性.論題相當于推理的結論，論題相當于推理的結論，論據(jù)相當于推理的前提，論證相當于推理方式論據(jù)相當于推理的前提，論證相當于推理方式.（iv）證明與推理的結構不同證明與推理的結構不同:證明必然包含推理，而且往往是多證明必然包含推理，而且往往是多種推理的復雜組合；推理不必然包含證明種推理的復雜組合；推理不必然包含證明.（ii）證明與推理的進程不同：證明與推理的進程不同：推理的進程是由前提出發(fā)得出結論，證明推理的進程是由前提出發(fā)得出結論，證明則是由論題出發(fā)，進而找出證明該論題的論據(jù)，然后論證論題的真實性則是由論題出發(fā)，進而找出證明該論

5、題的論據(jù)，然后論證論題的真實性 （iii）證明與推理對各自組成部分之間的邏輯聯(lián)系的要求不同：證明與推理對各自組成部分之間的邏輯聯(lián)系的要求不同：推理對推理對前提與結論之間的聯(lián)系沒有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；前提與結論之間的聯(lián)系沒有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；證明則不然，論證具有必然聯(lián)系證明則不然，論證具有必然聯(lián)系 （i）證明與推理的任務不同：證明與推理的任務不同：推理的任務是由已知判斷推出一個新推理的任務是由已知判斷推出一個新判斷，證明的任務是用已知為真的判斷去確定某一判斷的真實性判斷，證明的任務是用已知為真的判斷去確定某一判斷的真實性 關系關系差別差別數(shù)學證明概述數(shù)學

6、證明概述 數(shù)學證明源頭數(shù)學證明源頭 數(shù)學證明最早可追溯到公元前數(shù)學證明最早可追溯到公元前6 6世紀世紀. .傳說，幾何學的證傳說，幾何學的證明是從來自米利都的古希臘哲學家泰勒斯開創(chuàng)的明是從來自米利都的古希臘哲學家泰勒斯開創(chuàng)的 。 （i）圓被任一直徑等分；）圓被任一直徑等分；（ii）等腰三角形的兩底角相等；）等腰三角形的兩底角相等；（iii）兩條直線相交，對頂角相等；）兩條直線相交，對頂角相等；（iv）兩個三角形，有兩個角和一條邊對應相等，則兩個三角形全等；）兩個三角形，有兩個角和一條邊對應相等，則兩個三角形全等；（v）內接于半圓的角必為直角）內接于半圓的角必為直角.數(shù)學證明規(guī)則數(shù)學證明規(guī)則 （

7、1）論題要明確）論題要明確 （2）論題應始終如一）論題應始終如一（3）論據(jù)要真實、可靠要明確）論據(jù)要真實、可靠要明確 （4）論據(jù)的真實性不能依靠論題來證明，論題的真）論據(jù)的真實性不能依靠論題來證明，論題的真 實性是靠論據(jù)來證明的實性是靠論據(jù)來證明的 （5）論據(jù)必須能推出論題）論據(jù)必須能推出論題數(shù)學證明與其他學科的關系數(shù)學證明與其他學科的關系 一般說來，每門科學（特別是與數(shù)學很接近的物理學）都強調證一般說來，每門科學（特別是與數(shù)學很接近的物理學）都強調證明的重要性（有據(jù)可依），而且每門學科都有自己獨特的證明方法明的重要性（有據(jù)可依），而且每門學科都有自己獨特的證明方法. 但數(shù)學上的證明與科學上的

8、證明是有差異的但數(shù)學上的證明與科學上的證明是有差異的.科學的證明遠不能達到科學的證明遠不能達到數(shù)學證明所具有的數(shù)學證明所具有的“可靠程度可靠程度”。 從本質上科學的證明只能說，基于已得到的證據(jù)，所作的結論是正從本質上科學的證明只能說，基于已得到的證據(jù)，所作的結論是正確的確的.科學的證明依賴于科學家的觀察、實驗和理解力，由于這兩者都是科學的證明依賴于科學家的觀察、實驗和理解力，由于這兩者都是容易出錯的，從而它只能提供近似真理的概念容易出錯的，從而它只能提供近似真理的概念. 而對數(shù)學理論來說，它不依賴于來自容易出錯的實驗的證據(jù)，數(shù)學結論的而對數(shù)學理論來說，它不依賴于來自容易出錯的實驗的證據(jù)，數(shù)學結

9、論的嚴密性立足于不會出錯的邏輯嚴密性立足于不會出錯的邏輯.光憑試驗是不行的，另一方面，數(shù)學證明的嚴光憑試驗是不行的，另一方面，數(shù)學證明的嚴謹性，對其它以嚴格著稱的科學或多或少是有影響的謹性，對其它以嚴格著稱的科學或多或少是有影響的. 四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展 1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學并從事地圖著色工作的佛朗西斯格里斯，發(fā)現(xiàn)了一個奇怪的現(xiàn)象：無論多么復雜的地圖，只要用四種顏色，就可以區(qū)分有公共邊界的國家和地區(qū).佛朗西斯覺得這中間一定有著什么奧妙，于是寫信向其胞兄佛德雷克詢問.佛德雷克對數(shù)學造詣頗深，但絞盡腦汁依然不得要領，只好求教于自己的老師，著名的英國數(shù)學家摩根.

10、摩根教授懷著濃厚的興趣，對此苦苦思索了幾個晝夜，覺得無法判定佛德雷克所提的問題是對還是錯.于是便寫信給摯友，著名的數(shù)學家哈密爾頓（Hamilton，1805-1865）探討.哈密爾頓才華橫溢，當時以發(fā)現(xiàn)“四元數(shù)”（一種在復數(shù)基礎上擴展的新數(shù)）而飲譽歐洲. 然而，智慧超人的哈密爾頓兩者都沒能做到.他耗費了整整年心血，終于一籌莫展，抱恨逝去！哈密爾頓死后，又過了年，一位頗有名望的英國數(shù)學家凱萊（Cayley，1821-1895）在一次數(shù)學年會上把這個問題歸納為“四色猜想”.并于次年，即公元1879年，在英國皇家地理會刊的創(chuàng)刊號上，公開征求對“四色猜想”的解答.從此，“四色問題”不脛而走，成為街談巷

11、議的熱題.四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展 但上述狀態(tài)并沒有持續(xù)很久.在征解消息發(fā)出的同年，一位半路出家的數(shù)學家肯普，發(fā)表了一個關于四色定理的證明.這使曾經(jīng)出現(xiàn)的一時轟動很快平息下來.人們普遍以為“四色猜想”已經(jīng)成為歷史.不料過了年，即公元1890年，一個名叫赫伍德的青年，指出了肯普在證明中的錯誤.從而使這一沉熄了十年之久的問題，又重新燃起了熊熊烈火！與此同時，赫伍德匠心獨運，利用肯普提供的方法，成功地證明了用五種顏色能夠區(qū)分地圖上相鄰的國家.這算是在向“四色猜想”進軍中第一個重大的突破！赫伍德關于“五色定理”的證明其實并不難，赫伍德正是運用數(shù)學歸納法證明“五色定理”的，其證明

12、不是很難（這里略）. 正因為五色定理的證明不很難，所以與費爾馬猜想及哥德巴赫猜想不同，有不少數(shù)學家小看了四色猜想.相對論的創(chuàng)始人，偉大物理學家愛因斯坦的數(shù)學導師閔可夫斯基（Minkowski，1864-1909）教授，就是其中最為典型的一個.他認為四色猜想之所以沒有解決，是因為世界上第一流的數(shù)學家還沒有空去研究它.四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展 有一次，教授給學生上課，他偶然間提到這個問題隨之即興推演，似乎成竹在胸，寫了滿滿一個黑板，但命題仍未得證.第二次上課，閔可夫斯基又繼續(xù)推演，結果仍舊是滿懷信心進教室，垂頭喪氣下講臺.如此這般折騰了幾個星期之后，教授終于精疲力竭.一天，

13、他走進教室，疲憊地注視著依舊掛著“證明”的黑板.此時適逢雷電交加，他終于醒悟，并愧疚地承認：“上帝在責備我，四色問題我無能為力！”這以后，全世界數(shù)學家都掂出了“四色猜想”的沉重份量. 人類智慧面對著又一個世界難題的挑戰(zhàn).在正面失利之后，數(shù)學家們決定從側面進軍！ 1922年，有人證明了國家數(shù)時四色猜想成立；1938年，國家數(shù)推進到；1969年又推進到.個春秋，僅僅使國家數(shù)推進了.這確是一條布滿荊棘、令人生畏的路！主要困難是構形的可能性太多，需要做兩百億次的邏輯判定，這遠不是一個人的力量所能做到的！人們對此望而生畏了！四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學證明的發(fā)展 就在這時，科學的地平線上出現(xiàn)了

14、一道曙光！電子計算機的運用，使四色猜想的證實有了希望.然而在七十年代初，即使是電子計算機，也要連續(xù)算上十一年半！這是何等艱難的目標，但人類并沒有放棄這種機會，進軍的號角吹響了！科學家們能力合作，一面不斷改進方法減少判斷次數(shù)，一面繼續(xù)提高計算機的計算速度，使問題的解決終于有了眉目.公元1976年9月，美國伊利諾斯大學的數(shù)學家阿沛爾和哈肯教授，運用每秒計算萬次的電子計算機，在運轉小時后，終于成功地完成了“四色定理”的證明工作. 電波傳來，寰宇震動！數(shù)學史上的三大難題之一，在人與計算機的“合作”下，終于被征服了！這是亙古未有的奇跡！為紀念這一歷史性的時刻與史詩般的功績，在宣布四色定理得證的當天，伊利

15、諾斯大學郵局加蓋了以下郵戳： “Four colors suffice!”（四種顏色足夠了?。ㄋ姆N顏色足夠了?。?故事趣說證明故事趣說證明 歐拉用數(shù)學證明神存在歐拉用數(shù)學證明神存在 數(shù)學家歐拉熱衷于哲學辯論，但是由于失誤，常常成為哲學數(shù)學家歐拉熱衷于哲學辯論，但是由于失誤，常常成為哲學家的笑柄。相反，法國哲學家狄德羅對于數(shù)學知之甚少。俄羅斯家的笑柄。相反，法國哲學家狄德羅對于數(shù)學知之甚少。俄羅斯凱瑟琳女王非常討厭狄德羅的無神論，她吩咐歐拉教訓一下狄德凱瑟琳女王非常討厭狄德羅的無神論，她吩咐歐拉教訓一下狄德羅，于是歐拉對狄德羅說，有人用數(shù)學證明神的存在，要狄德羅羅，于是歐拉對狄德羅說，有人用數(shù)

16、學證明神的存在，要狄德羅和自己公開討論。歐拉向狄德羅走去，給他看了一個式子，然后和自己公開討論。歐拉向狄德羅走去，給他看了一個式子，然后說道：說道：“所以神是存在的，不是嗎？所以神是存在的，不是嗎？”狄德羅無法理解式子而惶狄德羅無法理解式子而惶恐不堪，于是眾人一陣哄笑恐不堪，于是眾人一陣哄笑. 原來歐拉列出的那個式子是什么意義都沒有的，不懂數(shù)學的狄原來歐拉列出的那個式子是什么意義都沒有的，不懂數(shù)學的狄德羅在那里只能是呆若木雞了德羅在那里只能是呆若木雞了.故事趣說證明故事趣說證明 數(shù)學證明會讓人餓肚子數(shù)學證明會讓人餓肚子 有一名古怪的科學家扣押了他的同事，他們分別是工程師、物理學有一名古怪的科學

17、家扣押了他的同事，他們分別是工程師、物理學家、數(shù)學家，他把這三個人分別關在不同的房間里，并在房間里留下充家、數(shù)學家，他把這三個人分別關在不同的房間里，并在房間里留下充足的不同種類的罐頭，然而沒有提供開啟罐頭的工具。這樣關押了足的不同種類的罐頭，然而沒有提供開啟罐頭的工具。這樣關押了1年后，年后，這名古怪的科學家來到了關押三名同事的房子這名古怪的科學家來到了關押三名同事的房子. 首先，他來到了關押工程師的房間，可是工程師已不在房間首先，他來到了關押工程師的房間，可是工程師已不在房間.工程師工程師利用房間內已有的東西制作了罐頭起子，利用罐頭盒和食物做成炸彈，利用房間內已有的東西制作了罐頭起子，利用

18、罐頭盒和食物做成炸彈，逃出了房間逃出了房間. 然后，他去了關押物理學家的房間，看到物理學家用把罐頭拋向墻然后，他去了關押物理學家的房間，看到物理學家用把罐頭拋向墻壁的方法打開罐頭，正在吃罐頭。再仔細觀察，發(fā)現(xiàn)物理學家正在通過壁的方法打開罐頭，正在吃罐頭。再仔細觀察，發(fā)現(xiàn)物理學家正在通過計算把罐頭拋向墻壁時最容易打開罐頭的角度和速度，研究新的力學。計算把罐頭拋向墻壁時最容易打開罐頭的角度和速度，研究新的力學。 最后，他去了關押數(shù)學家的房間，看到數(shù)學家一個罐頭都沒打開，最后，他去了關押數(shù)學家的房間，看到數(shù)學家一個罐頭都沒打開，已經(jīng)餓死了已經(jīng)餓死了.但是數(shù)學家已經(jīng)解決了如何排列罐頭能看起來舒服而且便

19、于但是數(shù)學家已經(jīng)解決了如何排列罐頭能看起來舒服而且便于拿取的問題，還算出了罐頭的體積、表面積等等。另外，他在證明下面拿取的問題，還算出了罐頭的體積、表面積等等。另外，他在證明下面的理論過程中死去的理論過程中死去. 定理：如果打不開罐頭，我就會死去定理：如果打不開罐頭，我就會死去. 證明：如果我能打開任一罐頭證明：如果我能打開任一罐頭故事趣說證明故事趣說證明 一個雞蛋的家當一個雞蛋的家當 有一戶貧民，窮得叮當響.一天，丈夫突然把他妻子送到官府，向官府告狀說：“我的全部家當都給這個惡婦敗壞了，請老爺狠狠治她的罪！”縣官問：“你的家當在哪里？怎么給她敗壞的？” 丈夫就有板有眼地說了起來： 今天早上，他在路上撿到一只雞蛋，趕快跑回家，高興地對妻子說：“我有家當了！我有家當了！” 妻子忙問家當在哪里？他拿出雞蛋一晃說：“這就是！” 于是他就扳起手指頭給妻子細細計算起來：“我拿這個雞蛋，放到鄰居家的雞窩里去卵小雞.等小雞卵出來，我就把它抱回來下蛋.兩天一個雞蛋，一個月就可以得到個雞蛋.然后再卵成小雞.兩年內，雞再生雞，就可以發(fā)展到只，能賣兩金子.用這兩金子，買頭母牛，母牛生母牛，年可得頭牛.牛生牛，又過年，就能發(fā)展到頭，可以賣兩金子.我用這些