第13課時(shí)51數(shù)學(xué)證明概說(shuō)

1、 第第13課時(shí)課時(shí)第第5章章 數(shù)學(xué)證明數(shù)學(xué)證明第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)證明概說(shuō)數(shù)學(xué)證明概說(shuō)引子：胸中有圣人引子：胸中有圣人 有一天王守仁先生對(duì)大家說(shuō)：“每個(gè)人心中都有個(gè)圣人，只是因?yàn)樽孕判牟蛔?，圣人就給埋沒了.”然后，他回過(guò)頭告訴于中說(shuō)：“你胸中原來(lái)就有個(gè)圣人.”于中慌忙起來(lái)推辭.王守仁說(shuō)：“這是你自家有的，為什么要推辭掉？”于中還是回答說(shuō)：“不敢當(dāng).”王守仁說(shuō)：“眾人胸中都有個(gè)圣人，何況你于中？為什么要謙虛起來(lái)呢？靠謙虛是得不到的.”于中便笑著接受了.于是王守仁便笑著對(duì)大家說(shuō)：“你們看，于中心中有圣人了吧，可見每個(gè)人心中都有圣人.哈哈哈！” 評(píng)注評(píng)注：在這里，王守仁以在這里，王守仁以“每個(gè)人心中都

2、有圣人每個(gè)人心中都有圣人”來(lái)證明來(lái)證明“于中心中有于中心中有圣人圣人”；然后又以；然后又以“于中心中有圣人于中心中有圣人”來(lái)證明來(lái)證明“每個(gè)人心中都有圣人每個(gè)人心中都有圣人”. .按照按照邏輯的術(shù)語(yǔ)，就是論題和論據(jù)互換著使用，因此，什么結(jié)論都沒有得到邏輯的術(shù)語(yǔ)，就是論題和論據(jù)互換著使用，因此，什么結(jié)論都沒有得到. .在日在日常生活中，人們經(jīng)常不知不覺地犯這種常生活中，人們經(jīng)常不知不覺地犯這種“循環(huán)論證循環(huán)論證”的邏輯錯(cuò)誤的邏輯錯(cuò)誤. .在數(shù)學(xué)與邏輯中，談?wù)撟C明是一件很困難的工作在數(shù)學(xué)與邏輯中，談?wù)撟C明是一件很困難的工作數(shù)學(xué)證明概述數(shù)學(xué)證明概述 數(shù)學(xué)證明界定數(shù)學(xué)證明界定 指根據(jù)某些已知真實(shí)的命題

3、來(lái)斷定某一新命題指根據(jù)某些已知真實(shí)的命題來(lái)斷定某一新命題真實(shí)性的思維過(guò)程（或思維形式）真實(shí)性的思維過(guò)程（或思維形式） 指根據(jù)已經(jīng)確實(shí)其真實(shí)性的公理、定理、定義、指根據(jù)已經(jīng)確實(shí)其真實(shí)性的公理、定理、定義、公式、性質(zhì)等真實(shí)性數(shù)學(xué)命題（判斷）來(lái)論證某一數(shù)公式、性質(zhì)等真實(shí)性數(shù)學(xué)命題（判斷）來(lái)論證某一數(shù)學(xué)命題（判斷）的真實(shí)性的推理過(guò)程學(xué)命題（判斷）的真實(shí)性的推理過(guò)程 邏輯學(xué)邏輯學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)證明概述數(shù)學(xué)證明概述 證明與推理的關(guān)系證明與推理的關(guān)系 （i）它們都是以判斷為其組成要素的思維形式）它們都是以判斷為其組成要素的思維形式 （ii）一個(gè)命題的證明往往包含一個(gè)或一連串的推理）一個(gè)命題的證明往往包含一個(gè)或

4、一連串的推理 （iii）它們的組成部分有相關(guān)性）它們的組成部分有相關(guān)性.論題相當(dāng)于推理的結(jié)論，論題相當(dāng)于推理的結(jié)論，論據(jù)相當(dāng)于推理的前提，論證相當(dāng)于推理方式論據(jù)相當(dāng)于推理的前提，論證相當(dāng)于推理方式.（iv）證明與推理的結(jié)構(gòu)不同證明與推理的結(jié)構(gòu)不同:證明必然包含推理，而且往往是多證明必然包含推理，而且往往是多種推理的復(fù)雜組合；推理不必然包含證明種推理的復(fù)雜組合；推理不必然包含證明.（ii）證明與推理的進(jìn)程不同：證明與推理的進(jìn)程不同：推理的進(jìn)程是由前提出發(fā)得出結(jié)論，證明推理的進(jìn)程是由前提出發(fā)得出結(jié)論，證明則是由論題出發(fā)，進(jìn)而找出證明該論題的論據(jù)，然后論證論題的真實(shí)性則是由論題出發(fā)，進(jìn)而找出證明該論

5、題的論據(jù)，然后論證論題的真實(shí)性 （iii）證明與推理對(duì)各自組成部分之間的邏輯聯(lián)系的要求不同：證明與推理對(duì)各自組成部分之間的邏輯聯(lián)系的要求不同：推理對(duì)推理對(duì)前提與結(jié)論之間的聯(lián)系沒有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；前提與結(jié)論之間的聯(lián)系沒有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；證明則不然，論證具有必然聯(lián)系證明則不然，論證具有必然聯(lián)系 （i）證明與推理的任務(wù)不同：證明與推理的任務(wù)不同：推理的任務(wù)是由已知判斷推出一個(gè)新推理的任務(wù)是由已知判斷推出一個(gè)新判斷，證明的任務(wù)是用已知為真的判斷去確定某一判斷的真實(shí)性判斷，證明的任務(wù)是用已知為真的判斷去確定某一判斷的真實(shí)性 關(guān)系關(guān)系差別差別數(shù)學(xué)證明概述數(shù)學(xué)

6、證明概述 數(shù)學(xué)證明源頭數(shù)學(xué)證明源頭 數(shù)學(xué)證明最早可追溯到公元前數(shù)學(xué)證明最早可追溯到公元前6 6世紀(jì)世紀(jì). .傳說(shuō)，幾何學(xué)的證傳說(shuō)，幾何學(xué)的證明是從來(lái)自米利都的古希臘哲學(xué)家泰勒斯開創(chuàng)的明是從來(lái)自米利都的古希臘哲學(xué)家泰勒斯開創(chuàng)的 。 （i）圓被任一直徑等分；）圓被任一直徑等分；（ii）等腰三角形的兩底角相等；）等腰三角形的兩底角相等；（iii）兩條直線相交，對(duì)頂角相等；）兩條直線相交，對(duì)頂角相等；（iv）兩個(gè)三角形，有兩個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等；）兩個(gè)三角形，有兩個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等；（v）內(nèi)接于半圓的角必為直角）內(nèi)接于半圓的角必為直角.數(shù)學(xué)證明規(guī)則數(shù)學(xué)證明規(guī)則 （

7、1）論題要明確）論題要明確 （2）論題應(yīng)始終如一）論題應(yīng)始終如一（3）論據(jù)要真實(shí)、可靠要明確）論據(jù)要真實(shí)、可靠要明確 （4）論據(jù)的真實(shí)性不能依靠論題來(lái)證明，論題的真）論據(jù)的真實(shí)性不能依靠論題來(lái)證明，論題的真 實(shí)性是靠論據(jù)來(lái)證明的實(shí)性是靠論據(jù)來(lái)證明的 （5）論據(jù)必須能推出論題）論據(jù)必須能推出論題數(shù)學(xué)證明與其他學(xué)科的關(guān)系數(shù)學(xué)證明與其他學(xué)科的關(guān)系 一般說(shuō)來(lái)，每門科學(xué)（特別是與數(shù)學(xué)很接近的物理學(xué)）都強(qiáng)調(diào)證一般說(shuō)來(lái)，每門科學(xué)（特別是與數(shù)學(xué)很接近的物理學(xué)）都強(qiáng)調(diào)證明的重要性（有據(jù)可依），而且每門學(xué)科都有自己獨(dú)特的證明方法明的重要性（有據(jù)可依），而且每門學(xué)科都有自己獨(dú)特的證明方法. 但數(shù)學(xué)上的證明與科學(xué)上的

8、證明是有差異的但數(shù)學(xué)上的證明與科學(xué)上的證明是有差異的.科學(xué)的證明遠(yuǎn)不能達(dá)到科學(xué)的證明遠(yuǎn)不能達(dá)到數(shù)學(xué)證明所具有的數(shù)學(xué)證明所具有的“可靠程度可靠程度”。 從本質(zhì)上科學(xué)的證明只能說(shuō)，基于已得到的證據(jù)，所作的結(jié)論是正從本質(zhì)上科學(xué)的證明只能說(shuō)，基于已得到的證據(jù)，所作的結(jié)論是正確的確的.科學(xué)的證明依賴于科學(xué)家的觀察、實(shí)驗(yàn)和理解力，由于這兩者都是科學(xué)的證明依賴于科學(xué)家的觀察、實(shí)驗(yàn)和理解力，由于這兩者都是容易出錯(cuò)的，從而它只能提供近似真理的概念容易出錯(cuò)的，從而它只能提供近似真理的概念. 而對(duì)數(shù)學(xué)理論來(lái)說(shuō)，它不依賴于來(lái)自容易出錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)的證據(jù)，數(shù)學(xué)結(jié)論的而對(duì)數(shù)學(xué)理論來(lái)說(shuō)，它不依賴于來(lái)自容易出錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)的證據(jù)，數(shù)學(xué)結(jié)

9、論的嚴(yán)密性立足于不會(huì)出錯(cuò)的邏輯嚴(yán)密性立足于不會(huì)出錯(cuò)的邏輯.光憑試驗(yàn)是不行的，另一方面，數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)光憑試驗(yàn)是不行的，另一方面，數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，對(duì)其它以嚴(yán)格著稱的科學(xué)或多或少是有影響的謹(jǐn)性，對(duì)其它以嚴(yán)格著稱的科學(xué)或多或少是有影響的. 四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 1852年，畢業(yè)于英國(guó)倫敦大學(xué)并從事地圖著色工作的佛朗西斯格里斯，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇怪的現(xiàn)象：無(wú)論多么復(fù)雜的地圖，只要用四種顏色，就可以區(qū)分有公共邊界的國(guó)家和地區(qū).佛朗西斯覺得這中間一定有著什么奧妙，于是寫信向其胞兄佛德雷克詢問.佛德雷克對(duì)數(shù)學(xué)造詣?lì)H深，但絞盡腦汁依然不得要領(lǐng)，只好求教于自己的老師，著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家摩根.

10、摩根教授懷著濃厚的興趣，對(duì)此苦苦思索了幾個(gè)晝夜，覺得無(wú)法判定佛德雷克所提的問題是對(duì)還是錯(cuò).于是便寫信給摯友，著名的數(shù)學(xué)家哈密爾頓（Hamilton，1805-1865）探討.哈密爾頓才華橫溢，當(dāng)時(shí)以發(fā)現(xiàn)“四元數(shù)”（一種在復(fù)數(shù)基礎(chǔ)上擴(kuò)展的新數(shù)）而飲譽(yù)歐洲. 然而，智慧超人的哈密爾頓兩者都沒能做到.他耗費(fèi)了整整年心血，終于一籌莫展，抱恨逝去！哈密爾頓死后，又過(guò)了年，一位頗有名望的英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley，1821-1895）在一次數(shù)學(xué)年會(huì)上把這個(gè)問題歸納為“四色猜想”.并于次年，即公元1879年，在英國(guó)皇家地理會(huì)刊的創(chuàng)刊號(hào)上，公開征求對(duì)“四色猜想”的解答.從此，“四色問題”不脛而走，成為街談巷

11、議的熱題.四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 但上述狀態(tài)并沒有持續(xù)很久.在征解消息發(fā)出的同年，一位半路出家的數(shù)學(xué)家肯普，發(fā)表了一個(gè)關(guān)于四色定理的證明.這使曾經(jīng)出現(xiàn)的一時(shí)轟動(dòng)很快平息下來(lái).人們普遍以為“四色猜想”已經(jīng)成為歷史.不料過(guò)了年，即公元1890年，一個(gè)名叫赫伍德的青年，指出了肯普在證明中的錯(cuò)誤.從而使這一沉熄了十年之久的問題，又重新燃起了熊熊烈火！與此同時(shí)，赫伍德匠心獨(dú)運(yùn)，利用肯普提供的方法，成功地證明了用五種顏色能夠區(qū)分地圖上相鄰的國(guó)家.這算是在向“四色猜想”進(jìn)軍中第一個(gè)重大的突破！赫伍德關(guān)于“五色定理”的證明其實(shí)并不難，赫伍德正是運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明“五色定理”的，其證明

12、不是很難（這里略）. 正因?yàn)槲迳ɡ淼淖C明不很難，所以與費(fèi)爾馬猜想及哥德巴赫猜想不同，有不少數(shù)學(xué)家小看了四色猜想.相對(duì)論的創(chuàng)始人，偉大物理學(xué)家愛因斯坦的數(shù)學(xué)導(dǎo)師閔可夫斯基（Minkowski，1864-1909）教授，就是其中最為典型的一個(gè).他認(rèn)為四色猜想之所以沒有解決，是因?yàn)槭澜缟系谝涣鞯臄?shù)學(xué)家還沒有空去研究它.四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 有一次，教授給學(xué)生上課，他偶然間提到這個(gè)問題隨之即興推演，似乎成竹在胸，寫了滿滿一個(gè)黑板，但命題仍未得證.第二次上課，閔可夫斯基又繼續(xù)推演，結(jié)果仍舊是滿懷信心進(jìn)教室，垂頭喪氣下講臺(tái).如此這般折騰了幾個(gè)星期之后，教授終于精疲力竭.一天，

13、他走進(jìn)教室，疲憊地注視著依舊掛著“證明”的黑板.此時(shí)適逢雷電交加，他終于醒悟，并愧疚地承認(rèn)：“上帝在責(zé)備我，四色問題我無(wú)能為力！”這以后，全世界數(shù)學(xué)家都掂出了“四色猜想”的沉重份量. 人類智慧面對(duì)著又一個(gè)世界難題的挑戰(zhàn).在正面失利之后，數(shù)學(xué)家們決定從側(cè)面進(jìn)軍！ 1922年，有人證明了國(guó)家數(shù)時(shí)四色猜想成立；1938年，國(guó)家數(shù)推進(jìn)到；1969年又推進(jìn)到.個(gè)春秋，僅僅使國(guó)家數(shù)推進(jìn)了.這確是一條布滿荊棘、令人生畏的路！主要困難是構(gòu)形的可能性太多，需要做兩百億次的邏輯判定，這遠(yuǎn)不是一個(gè)人的力量所能做到的！人們對(duì)此望而生畏了！四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展四色定理與數(shù)學(xué)證明的發(fā)展 就在這時(shí)，科學(xué)的地平線上出現(xiàn)了

14、一道曙光！電子計(jì)算機(jī)的運(yùn)用，使四色猜想的證實(shí)有了希望.然而在七十年代初，即使是電子計(jì)算機(jī)，也要連續(xù)算上十一年半！這是何等艱難的目標(biāo)，但人類并沒有放棄這種機(jī)會(huì)，進(jìn)軍的號(hào)角吹響了！科學(xué)家們能力合作，一面不斷改進(jìn)方法減少判斷次數(shù)，一面繼續(xù)提高計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度，使問題的解決終于有了眉目.公元1976年9月，美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的數(shù)學(xué)家阿沛爾和哈肯教授，運(yùn)用每秒計(jì)算萬(wàn)次的電子計(jì)算機(jī)，在運(yùn)轉(zhuǎn)小時(shí)后，終于成功地完成了“四色定理”的證明工作. 電波傳來(lái)，寰宇震動(dòng)！數(shù)學(xué)史上的三大難題之一，在人與計(jì)算機(jī)的“合作”下，終于被征服了！這是亙古未有的奇跡！為紀(jì)念這一歷史性的時(shí)刻與史詩(shī)般的功績(jī)，在宣布四色定理得證的當(dāng)天，伊利

15、諾斯大學(xué)郵局加蓋了以下郵戳： “Four colors suffice!”（四種顏色足夠了?。ㄋ姆N顏色足夠了?。?故事趣說(shuō)證明故事趣說(shuō)證明 歐拉用數(shù)學(xué)證明神存在歐拉用數(shù)學(xué)證明神存在 數(shù)學(xué)家歐拉熱衷于哲學(xué)辯論，但是由于失誤，常常成為哲學(xué)數(shù)學(xué)家歐拉熱衷于哲學(xué)辯論，但是由于失誤，常常成為哲學(xué)家的笑柄。相反，法國(guó)哲學(xué)家狄德羅對(duì)于數(shù)學(xué)知之甚少。俄羅斯家的笑柄。相反，法國(guó)哲學(xué)家狄德羅對(duì)于數(shù)學(xué)知之甚少。俄羅斯凱瑟琳女王非常討厭狄德羅的無(wú)神論，她吩咐歐拉教訓(xùn)一下狄德凱瑟琳女王非常討厭狄德羅的無(wú)神論，她吩咐歐拉教訓(xùn)一下狄德羅，于是歐拉對(duì)狄德羅說(shuō)，有人用數(shù)學(xué)證明神的存在，要狄德羅羅，于是歐拉對(duì)狄德羅說(shuō)，有人用數(shù)

16、學(xué)證明神的存在，要狄德羅和自己公開討論。歐拉向狄德羅走去，給他看了一個(gè)式子，然后和自己公開討論。歐拉向狄德羅走去，給他看了一個(gè)式子，然后說(shuō)道：說(shuō)道：“所以神是存在的，不是嗎？所以神是存在的，不是嗎？”狄德羅無(wú)法理解式子而惶狄德羅無(wú)法理解式子而惶恐不堪，于是眾人一陣哄笑恐不堪，于是眾人一陣哄笑. 原來(lái)歐拉列出的那個(gè)式子是什么意義都沒有的，不懂?dāng)?shù)學(xué)的狄原來(lái)歐拉列出的那個(gè)式子是什么意義都沒有的，不懂?dāng)?shù)學(xué)的狄德羅在那里只能是呆若木雞了德羅在那里只能是呆若木雞了.故事趣說(shuō)證明故事趣說(shuō)證明 數(shù)學(xué)證明會(huì)讓人餓肚子數(shù)學(xué)證明會(huì)讓人餓肚子 有一名古怪的科學(xué)家扣押了他的同事，他們分別是工程師、物理學(xué)有一名古怪的科學(xué)

17、家扣押了他的同事，他們分別是工程師、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他把這三個(gè)人分別關(guān)在不同的房間里，并在房間里留下充家、數(shù)學(xué)家，他把這三個(gè)人分別關(guān)在不同的房間里，并在房間里留下充足的不同種類的罐頭，然而沒有提供開啟罐頭的工具。這樣關(guān)押了足的不同種類的罐頭，然而沒有提供開啟罐頭的工具。這樣關(guān)押了1年后，年后，這名古怪的科學(xué)家來(lái)到了關(guān)押三名同事的房子這名古怪的科學(xué)家來(lái)到了關(guān)押三名同事的房子. 首先，他來(lái)到了關(guān)押工程師的房間，可是工程師已不在房間首先，他來(lái)到了關(guān)押工程師的房間，可是工程師已不在房間.工程師工程師利用房間內(nèi)已有的東西制作了罐頭起子，利用罐頭盒和食物做成炸彈，利用房間內(nèi)已有的東西制作了罐頭起子，利用

18、罐頭盒和食物做成炸彈，逃出了房間逃出了房間. 然后，他去了關(guān)押物理學(xué)家的房間，看到物理學(xué)家用把罐頭拋向墻然后，他去了關(guān)押物理學(xué)家的房間，看到物理學(xué)家用把罐頭拋向墻壁的方法打開罐頭，正在吃罐頭。再仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)物理學(xué)家正在通過(guò)壁的方法打開罐頭，正在吃罐頭。再仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)物理學(xué)家正在通過(guò)計(jì)算把罐頭拋向墻壁時(shí)最容易打開罐頭的角度和速度，研究新的力學(xué)。計(jì)算把罐頭拋向墻壁時(shí)最容易打開罐頭的角度和速度，研究新的力學(xué)。 最后，他去了關(guān)押數(shù)學(xué)家的房間，看到數(shù)學(xué)家一個(gè)罐頭都沒打開，最后，他去了關(guān)押數(shù)學(xué)家的房間，看到數(shù)學(xué)家一個(gè)罐頭都沒打開，已經(jīng)餓死了已經(jīng)餓死了.但是數(shù)學(xué)家已經(jīng)解決了如何排列罐頭能看起來(lái)舒服而且便

19、于但是數(shù)學(xué)家已經(jīng)解決了如何排列罐頭能看起來(lái)舒服而且便于拿取的問題，還算出了罐頭的體積、表面積等等。另外，他在證明下面拿取的問題，還算出了罐頭的體積、表面積等等。另外，他在證明下面的理論過(guò)程中死去的理論過(guò)程中死去. 定理：如果打不開罐頭，我就會(huì)死去定理：如果打不開罐頭，我就會(huì)死去. 證明：如果我能打開任一罐頭證明：如果我能打開任一罐頭故事趣說(shuō)證明故事趣說(shuō)證明 一個(gè)雞蛋的家當(dāng)一個(gè)雞蛋的家當(dāng) 有一戶貧民，窮得叮當(dāng)響.一天，丈夫突然把他妻子送到官府，向官府告狀說(shuō)：“我的全部家當(dāng)都給這個(gè)惡婦敗壞了，請(qǐng)老爺狠狠治她的罪！”縣官問：“你的家當(dāng)在哪里？怎么給她敗壞的？” 丈夫就有板有眼地說(shuō)了起來(lái)： 今天早上，他在路上撿到一只雞蛋，趕快跑回家，高興地對(duì)妻子說(shuō)：“我有家當(dāng)了！我有家當(dāng)了！” 妻子忙問家當(dāng)在哪里？他拿出雞蛋一晃說(shuō)：“這就是！” 于是他就扳起手指頭給妻子細(xì)細(xì)計(jì)算起來(lái)：“我拿這個(gè)雞蛋，放到鄰居家的雞窩里去卵小雞.等小雞卵出來(lái)，我就把它抱回來(lái)下蛋.兩天一個(gè)雞蛋，一個(gè)月就可以得到個(gè)雞蛋.然后再卵成小雞.兩年內(nèi)，雞再生雞，就可以發(fā)展到只，能賣兩金子.用這兩金子，買頭母牛，母牛生母牛，年可得頭牛.牛生牛，又過(guò)年，就能發(fā)展到頭，可以賣兩金子.我用這些