小學(xué)奧數(shù)所有題型

1、 小升初奧數(shù)專題講座（共二十四講）第一講 行程問題- 1 -1.1 追及與相遇- 1 -1.2 環(huán)形路上的行程問題- 7 -1.3 稍復(fù)雜的問題- 12 -1.4 流水行程- 17 -第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題- 19 -2.1 和差問題- 19 -2.2 倍數(shù)問題- 22 -2.3 盈不足問題- 26 -第三講 數(shù)論的方法技巧之一- 30 -3.1 利用整數(shù)的各種表示法- 31 -3.2 枚舉法- 33 -3.3 歸納法- 35 -第四講 數(shù)論的方法技巧之二- 38 -4.1 反證法- 38 -4.2 構(gòu)造法- 39 -4.3 配對法- 40 -4.4 估計法- 42 -第五講整數(shù)問題之一

2、- 44 -5.1 整除- 44 -5.2 分解質(zhì)因數(shù)- 49 -5.3 余數(shù)- 54 -第六講圖形面積- 61 -6.1 三角形的面積- 61 -6.2 有關(guān)正方形的問題- 65 -6.3 其他的面積- 69 -6.4 幾種常見模型- 72 -第七講工程問題- 75 -7.1 兩個人的問題- 76 -7.2 多人的工程問題- 80 -7.3 水管問題- 84 -第八講比和比例關(guān)系- 90 -8.1 比和比的分配- 90 -8.2 比的變化- 96 -8.3 比例的其他問題- 100 -第九講經(jīng)濟問題- 107 -第十講溶液問題- 112 -第十一講簡單幾何體的表面積與體積的計算- 117 -

3、11.1 四種常見幾何體的平面展開圖- 117 -11.2 四種常見幾何體表面積與體積公式- 118 -11.3 例題選講- 119 -第十二講循環(huán)小數(shù)化分數(shù)- 126 -12.1 純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)- 126 -12.2 混循環(huán)小數(shù)化分數(shù)- 127 -12.3 循環(huán)小數(shù)的四則運算- 128 -第十三講估計與估算- 130 -第十四講列方程解應(yīng)用題- 137 -14.1 列簡易方程解應(yīng)用題- 137 -14.2 引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題- 141 -14.3 列不定方程解應(yīng)用題- 143 -第十五講巧算技巧- 146 -第十六講雞兔同籠與假設(shè)法- 148 -第十七講牛吃草問題- 152 -第十八講

4、年齡問題- 161 -第十九講剩余、余數(shù)定理- 166 -第二十講周期問題- 171 -第二十講還原問題- 189 -第二十一講盈虧問題- 194 -第二十二講抽屜問題- 212 -22.1 抽屜原理1- 212 -22.2 抽屜原理2- 215 -第二十三講 分數(shù)拆分- 218 -23.1 拆成兩個分數(shù)單位- 218 -23.2 拆成幾個分數(shù)的和- 220 -23.3 拆成兩個分數(shù)差- 221 -23.4 應(yīng)用- 224 -第二十四講 找次品、打電話- 229 -24.1找次品- 229 -24.2 打電話- 229 -第一講 行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量：距離走

5、了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等；速度在單位時間內(nèi)（例如1小時內(nèi)）行走或移動的距離；時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：距離=速度時間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量人數(shù).工作量=工作效率時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個重點內(nèi)容

6、.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米1.1 追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離= 甲的速度時間-乙的速度時間=（甲的速度-乙的速度）時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從

7、學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學(xué)校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=961.5（小時）.小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是面包車速度是 54-648（千米/小時）.城門離學(xué)校的距離是481.572（千米）.答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公

8、園多遠？解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張早10分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50 10（75- 50） 20（分鐘）因此，小張走的距離是75 20 1500（米）.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多

9、少？解一：自行車1小時走了301-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是 答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離速度差1小時與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15 20（千米/小時）.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾

10、分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距

11、離=甲的速度時間+乙的速度時間=（甲的速度+乙的速度）時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36123（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是36（31）9（分鐘）.答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)

12、，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2（5-4）2（小時）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）218（千米）.本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點嗎？對小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就

13、是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關(guān)

14、鍵.下面的考慮重點轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12 16 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點（或E點）相遇所用時間是285 5.6（小時）.比C點相遇少用 6-5.60.4（小時）.甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是120.430（千米/小時）.同樣道理，乙的速度是160.440（千米/小時）.A到 B距離是（30 40）6 420（千米）.答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B

15、到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：（1）小張和小王分別從A， D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米？解：（1）小張從 A到 B需要 1660 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5660 25（分鐘）；當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-1015（分鐘），走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2 （4 4）60 1

16、5（分鐘）.從出發(fā)到相遇的時間是25 15 40 （分鐘）.（2）相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1260=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走小張離終點還有2.5-1.5=1（千米）.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.1.2 環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張

17、和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是5001.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是500（220-180）12.5（分）.22012.55005.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周

18、長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是803240（米）.240-60=180（米）.1802360（米）.答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米

19、的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是403602（小時）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了62-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他們的速度分別是小張 1025（千米/小時），小王 82=4（千米/小時）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次

20、相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行.小

21、王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-（811）=5（千米）.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5（46）0.5（小時）.2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B

22、，C分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30（5-3）15（秒）.因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90（5-3）45（秒）.B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，105，150，195，再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發(fā)后30（10-5）=6（秒），以后再要到達同一位置是A追上B

23、一圈.需要90（10-5）18（秒），A與B到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，78，96，對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考， 3只爬蟲第二次到達同一位置是出發(fā)后多少秒？例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行

24、駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出分數(shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點相遇.PDA與 PCB所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間=DA所需時間-CB所需時間=18-12=6.而（PC上所需時間+PD上所需時間）是CD上所需時間24.根據(jù)“和差”計算得PC上所需時間是（24+6）215，PD上所需時間是24-159.現(xiàn)在兩輛汽車從

25、M點同時出發(fā)反向而行，MPDAN與MCBN所用時間相等.M是PC中點.PDAN與CBN時間相等，就有BN上所需時間-AN上所需時間=PDA所需時間-CB所需時間=（918）-12= 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間=16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.1.3 稍復(fù)雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：（1）在行程中能設(shè)置一個解題需要的點；（2）靈活地運用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行

26、車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？解：畫一張示意圖：圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設(shè)置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是1.3（5.4-4.8）60=130（分鐘）.這也是從出發(fā)到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米

27、/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要1302=65（分鐘）.從乙地到甲地需要的時間是13065=195（分鐘）3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是41，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推

28、算一下，從公園到他們家的距離是多少米？解：先畫一張示意圖設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：不妨設(shè)B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是11.52.5（單位）.每個單位是 20002.5800（米）.因此，從公園到家的距離是8001.51200（米）.答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，

29、取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一張示意圖：設(shè)C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5（小時）.我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢？去掉它在B停留1小

30、時.快車行駛7小時，共行駛37=21（單位）.從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-114（單位）.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是14（23）2.8（小時）.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.50.52.810.8（小時）.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在B之前設(shè)置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達處.如下圖第二小時比第一小時

31、多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順水行駛，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此順水速度逆水速度=53.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是 123=15（千米）.答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽

32、車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行。1小時20分后，在第二段的解一：畫出如下示意圖：當從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達D處，這樣，D把第一段分成兩部分時20分相當于因此就知道，汽車在第一段需要第二段需要 30390（分鐘）；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.第一段所用時間第三段所用時間=52.時間一樣.第一段所用時間第二段所

33、用時間=59.因此，三段路程所用時間的比是592.汽車走完全程所用時間是 802160（分種）.例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20，可以比原定時間提前一小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25，則可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米？解：設(shè)原速度是1.后，所用時間縮短到原時間的這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要同樣道理，車速提高25，所用時間縮短到原來的如果一開始就加速25，可少時間現(xiàn)在只少了40分鐘， 72-4032（分鐘）.說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時間真巧，320-160160（分鐘），原速的行

34、程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關(guān)系，當然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有x1207232.1.4 流水行程流水問題：順水行程=（船速+水速）順水時間 逆水行程=（船速-水速）逆水時間 順水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 靜水速度=（順水速度+逆水速度）2 水 速=（順水速度-逆水速度）2 流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。 過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公

35、式。 主要方法：畫線段圖法 基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。 第二講 和、差與倍數(shù)的應(yīng)用題做應(yīng)用題是一種很好的思維鍛煉.做應(yīng)用題不但要會算，而且要 多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，可以說做應(yīng)用題是運用數(shù)學(xué)的開始.加、減、乘是最基本的運算，和、差、倍數(shù)是兩數(shù)之間最簡單的數(shù)量關(guān)系. 2.1 和差問題說到“和差問題”，小學(xué)高年級的同學(xué)，人人都會說：“我會！”和差問題的計算太簡單了.是的，知道兩個數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計算公式：大數(shù)=（和+差）2小數(shù)=（和-差）2會算，還要會靈活運用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來

36、算.先看幾個簡單的例子.例1 張明在期末考試時，語文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語文兩門得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語文得分之差是8.因此數(shù)學(xué)得分=（9528）299.語文得分=(952-8）2 91.答：張明數(shù)學(xué)得99分，語文得91分.注：也可以從 952-9991求出語文得分.例2 有 A，B，C三個數(shù)，A加 B等于 252，B加 C等于 197， C加 A等于 149，求這三個數(shù).解：從B+C197與A+C149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此B=（252 197-1

37、49） 2 150，A252-150102，C149-10247.答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.注：還有一種更簡單的方法（A+B）（BC）（CA）2（ABC）.上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.ABC（252197149）2299.因此C299-25247，B299-149150，A299-197102.例3 甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？解：畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多57 5 17（千克）因此，甲、乙兩數(shù)之和是 75，差為17.甲筐蘋果數(shù)=（7517）2

38、 46（千克）.乙筐蘋果數(shù)=75-4629（千克）.答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.例4 張強用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強買這雙鞋花多少錢？解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是 270元，差是 210元.外衣和鞋價之和=（270 210）2 240（元）.外衣價與鞋價之差是140，因此鞋價=（240-140）250（元）.答：買這雙鞋花50元.再舉出三個較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運用了.例5 李叔叔要在下午3點鐘上班，他估計快到上

39、班時間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘.夜里11點下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多少時間（上發(fā)條所用時間忽略不計）？解：到廠時看鐘是2點50分，離家看鐘是12點10分，相差2小時40分，這是停鐘的時間和路上走的時間加在一起產(chǎn)生的.就有鐘停的時間+路上用的時間=160（分鐘）.晚上下班時，廠里鐘是11點，到家看鐘是9點，相差2小時.這是由于鐘停的時間中，有一部分時間，被回家路上所用時間抵消了.因此鐘停的時間-路上用的時間=120（分鐘）.現(xiàn)在

40、已把問題轉(zhuǎn)化成標準的和差問題了.鐘停的時間=（160120） 2 140（分鐘）.路上用的時間=160-14020（ 分鐘）.答：李叔叔的鐘停了2小時20分.還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：以李叔叔家的鐘計算，他在12點10分出門，晚上9點到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以上班路上所用時間=（8小時50分鐘-8小時-10分鐘）220（分鐘）.鐘停時間=2小時 40分鐘-20分鐘=2小時20分鐘.例6 小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把

41、乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張？解：甲卡與乙卡每張相差 1.5-0.7 0. 8（元），售貨員錯找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.20.84（張）.現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢？請注意1.5甲卡張數(shù)+0.7乙卡張數(shù)=21.4.1.5乙卡張數(shù)+0.7甲卡張數(shù)=21.4-3.2.從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是21.4（21.4-3.2）（1.5 0.7） 18（張）.因此，甲卡張數(shù)是（18 4） 2 11（張）.乙卡張數(shù)是 18-11 7（張）.答：小明買甲卡11張、乙卡7張.注：此題還可用雞兔同籠方法

42、做，請見下一講.例7 有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形（A）的周長是240厘米，大長形（B）的周長是258厘米，求原長方形的長與寬各為多少厘米？解：大長方形（A）的周長是原長方形的長2+寬4.大長方形（B）的周長是原長方形的長4+寬2.因此，240+258是原長方形的長6+寬6.原長方形的長與寬之和是（240258）683（厘米）.原長方形的長與寬之差是（258-240）29（厘米）.因此，原長方形的長與寬是長：（83 9）2 46（厘米）.寬：（83-9）237（厘米）.答：原長方形的長是46厘米、寬是37厘米2.2 倍數(shù)問題當知道了兩個數(shù)的和或者差，又知道這兩個

43、數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個基礎(chǔ)性的例子.例8 有兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個.那么從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.解：兩堆棋子共有8769156（個）.為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個棋子分成134（份），即每份有棋子156 （13）39（個）.第一堆應(yīng)留下棋子39個，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是87-3948（個）.答：應(yīng)從第一堆拿48個棋子到第二堆去.例9 有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還

44、多6本.問第二層有多少本書？解：我們畫出下列示意圖：我們把第一層（拿走38本后）余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即173-38-6129（本）恰好是3份，每一份是1293=43（本）.因此，第二層的書共有432 + 692（本）.答：書架的第二層有92本書.說明：我們先設(shè)立“1份”，使計算有了很方便的計算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對倍數(shù)問題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.例10 某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人？解：設(shè)六年級學(xué)生人數(shù)是“1

45、份”.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-（23-11）人.每份是（975+12）7141（人）.男生人數(shù)=1414-23541（人）.女生人數(shù)=975-541434（人）.答：有男生541人、女生434人.例9與例10是一個類型的問題，但稍有差別.請讀者想一想，“差別”在哪里？70雙皮鞋.此時皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙？解：為了計算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是32=6（份）.40070將是 3+1610（份）.每份是（40070）1047（雙）.原有旅游鞋 474=188（雙）.原有皮鞋 476-70212

46、 （雙）.答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計算簡單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分數(shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計算都較簡捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會貫穿在以后的章節(jié)中.下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容年齡問題.年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問題最關(guān)鍵的一點是：兩個人的年齡差總保持不變.例12 父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？解：父女相差36歲，這個差是不變的.幾年前還是相差36歲.當父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的（5-1）倍.36（5-1）9.當時女兒是9歲，

47、14-95，也就是5年前.答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.例13 有大、小兩個水池，大水池里已有水 300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個水池注入了多少立方米的水.解：畫出下面示意圖：我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因為注入兩個水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300-70）是2份.因此每份是（300-70）2 115（立方米）.要注入的水量是115-70=45 （立方米）答：每個水池要注入45立方米的水.例13與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當于年

48、齡問題中的“幾年后”.例14 今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲？解：當哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時，我們設(shè)那時弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份.題目又告訴我們，那時哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是213（份）.今年，哥弟倆年齡之和是32=5（份）.每份是 555 11（歲）.哥哥今年的歲數(shù)是 11333（歲）.答：哥哥今年33歲.作為本節(jié)最后一個例子，我們將年齡問題進行

49、一點變化.例15 父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？解：現(xiàn)在父母年齡之和是38 36 74.現(xiàn)在兒子年齡的 4倍是 11444.相差74-44 30.從4倍來考慮，以后每年長144，而父母年齡之和每年長112.為追上相差的30，要30（4-2）15（年）答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.請讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點？我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：（14 5-50）（5-1） 5（年）.不過要注意

50、145比 50多，因此是 5年前.2.3 盈不足問題在我國古代的算書中，九章算術(shù)是內(nèi)容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語言來敘述，就是下面的例題.例16 有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價是多少？解：“多3元”與“少4元”兩者相差347（元）.每個人要多出 8-71（元）.因此就知道，共有717（人），物價是87-353（元）.答：共有 7個人一起買，物價是 53元.上面的34可以說是兩個總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計算公式是總數(shù)相差數(shù)每份相差數(shù)=份數(shù)這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一

51、類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請再看一些例子.例17 把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的 10 3 30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6（粒），因此其余小朋友有103（16-10） 5（人）.再加上這 3位小朋友，共有小朋友 53 8（人）.這袋糖有10（5 3） 80（粒）.解二：如果我們再增加 163粒糖，每人都可以增加（1-10）粒，因此共有小朋友163（16-10）=8（人）這袋糖有80粒.答：這袋糖有80粒.這里， 163是總差，（16-10）是每份差， 8是份數(shù).例18 有一個班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個班共有多少名同學(xué)？解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個人無