利息計算在數(shù)學中的應用

1、無畢業(yè)論文（設計）畢業(yè)論文（設計）論文題目：淺談金融數(shù)學中的利息計算學 生 姓 名 ：葉津學號 ：1005010241所 在 院 系 ：數(shù)學與計算科學系專 業(yè) 名 稱 ：數(shù)學與應用數(shù)學屆次 ：2014 屆指 導 教 師 ：向 偉淮南師范學院本科畢業(yè)論文（設計）淮南師范學院本科畢業(yè)論文（設計）誠信承諾書誠信承諾書1.本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)論文（設計），題目 是本人在指導教師指導下獨立完成的，沒有弄虛作假，沒有抄襲、剽竊別人的內(nèi)容；2.畢業(yè)論文（設計）所使用的相關資料、數(shù)據(jù)、觀點等均真實可靠， 文中所有引用的他人觀點、 材料、 數(shù)據(jù)、 圖表均已注釋說明來源；3. 畢業(yè)論文（設計）中無抄襲、剽竊

2、或不正當引用他人學術觀點、思想和學術成果，偽造、篡改數(shù)據(jù)的情況；4.本人已被告知并清楚：學院對畢業(yè)論文（設計）中的抄襲、剽竊、 弄虛作假等違反學術規(guī)范的行為將嚴肅處理，并可能導致畢業(yè)論文（設計）成績不合格，無法正常畢業(yè)、取消學士學位資格或注銷并追回已發(fā)放的畢業(yè)證書、學士學位證書等嚴重后果；5.若在省教育廳、學院組織的畢業(yè)論文（設計）檢查、評比中，被發(fā)現(xiàn)有抄襲、剽竊、弄虛作假等違反學術規(guī)范的行為，本人愿意接受學院按有關規(guī)定給予的處理，并承擔相應責任。學生（簽名）：日期：年月日無目錄前言.21 利息的基本概念.61.1 累積函數(shù)、單利、復利.61.2 貼現(xiàn)函數(shù)、名利率和名貼現(xiàn)率.92 利息的基本計

3、算.102.1 幾種計算方法.102.2 方法案例分析.133 利息計算方法的實際應用.153.1 攤還法的介紹.153.2 實例分析.17參考文獻：.115無淺談金融數(shù)學中的利息計算陳述學生：葉津（指導教師：向偉）（淮南師范學院數(shù)學與計算科學系）摘要:金融數(shù)學是一門現(xiàn)代數(shù)學科學與計算技術科學在金融范疇的應用， 亦是新興的交叉學科。本文介紹了金融數(shù)學中利息的基本概念，例如累積函數(shù)、單利、復利、貼現(xiàn)率等等；討論了利息計算的常用方法，并通過實例加以說明；最后，介紹了攤還法的基本原理以及實際應用。關鍵詞：利息；單利；復利；貼現(xiàn)率；攤還法IntroductionIntroduction toto ca

4、lculationcalculation ofof interestinterest ofof financialfinancialmathematicsmathematicsStudent: Ye Jin (Instructor : Xiang Wei)（Huainan normal university mathematics and computing sciences）Abstract:Abstract: Financial mathematics is a modern mathematics science and computingtechnology in the applic

5、ation of financial category, also is theemerging interdisciplinary. This paper introduces the basic conceptsof financial mathematics interest, such as the accumulation function,simple interest, compound interest, the discount rate, etc. Thecommonly used method of calculating interest are discussed,

6、andexplained by an example; Finally, this paper introduces theamortization method of the basic principle and practical application.KeyKey wordword：interest; simple interest ;compound interest; discount rate;amortization前言在寫此論文之前，我也查找了往年的一些資料，發(fā)現(xiàn)在幾個有關利息計算中的數(shù)學原理 李連喜老師就為我們詳細介紹了復利和連續(xù)復利這兩種常見計算方法， 幾種常見的利息計

7、算方法中管孝雙老師也按照存取方式的分類講述了不同利息的計算方法，也有石礫老師在實際利率的計算問題就推算并證明的出的 n 年定期存款業(yè)務和按揭貸款業(yè)務中實際利率的計算，還有戴立新教授在銀行利息計算的改革之我見也提到了銀行機構在商業(yè)化經(jīng)營中所采取的利息計算模式，包括利率計算和計息天數(shù)的計算。另外，胡秀香女士也通過借貸行為產(chǎn)生的利息問題進行了討論，并得出國家應制定更完善的計算體制等等。那么本論文就是將金融理論與數(shù)學知識結合起來共同探討利息計算問題的過程，通過簡單的介紹讓大家能夠明白一些利息的概念，以及在生活中的實際應用。1 有關利息計算的基本概念1.1 累積函數(shù)、單利、復利近幾年來，應用數(shù)學和計算機

8、科學進一步飛速發(fā)展，數(shù)學已更全面的滲透到世界經(jīng)濟各方面，例如金融、商業(yè)交易與合作等等眾多領域。其中在金融方面，它與數(shù)學密不可分。說到金融，和人們的生活聯(lián)系的最為緊密的要數(shù)“利息”，利息，它的初始定義有許 多種，從不同的角度就有不同的定義：一，從債權債務關系方面，利息是指在借與貸關系中借錢的人想要獲得資金的使用權力從而付給債權人的薪酬；二，從更為簡單的借貸行為關系看，由于借款人在一段時間內(nèi)拿走和使用了貸款人的一部分資金，所以也說利息就是借款人交給貸款人的補償；三，換到投資方面來說，一定量的資本金額通過一段時間的投資過后得到的價值的增加量就是利息。金融數(shù)學引論一書中這樣記錄利息：總量函數(shù))(tA在

9、時間,21tt內(nèi)的利息，記為12,ttI，即12,ttI=21t( )( )tAA， 特別的， 當11 nt,nt 2)(Nn,nI=( )(1)A nA n)(Nn,其中nI是第n個時間段內(nèi)的利息那么，金融活動中的利息包含了一些概念，下面將一一介紹。無首先看定義（累積函數(shù)）：設 1 個貨幣單位的本金在)0( tt時刻的價值為)(ta,那么當t改動時，我們就說)(ta為累積函數(shù)。那么，從定義中，我們可以看到兩點，第一，當0t時，)0(a=1;第二，這個累計函數(shù))(ta應當是遞增的，一般來說，遞減的話意味著產(chǎn)生的是負利息，在金融問題討論中是沒有意義的。綜合上面簡述，可以得到累積函數(shù)的四種類型，一

10、是常數(shù)函數(shù))(ta1,二是一般的線性函數(shù)，三是二次函數(shù)，四是指數(shù)函數(shù)。累積函數(shù)，一種關于貨幣價值的累積方法，而貨幣價值改變的振幅就是利率-度量利息計算的基本方式，在一定時間區(qū)間,21tt內(nèi)總量函數(shù))(ta的改變量（增加量）與期初金額的商值， 表示為21,tti=211tt( )( )( )tAAA=121,( )ttIA t,特別地， 當11 nt,nt 2)(Nn時，記ni=( )(1)(1)A nA nA n=(1)nIA n)(Nn，且有( )A n=(1)A n(1)ni。我們來看兩個例題：例一： 設總量函數(shù)為53)(2tttA.試計算累積函數(shù))3(a和第 4 個時段的利息4I解：根據(jù)

11、題意得，將0t代入總量函數(shù)中，得5)0(A2(t)35( )(0)5Atta tAnI=( )(1)A nA n=22(35)(1)3(1)5)nnnn=22n所以52455333)3(2a，102424I例二：計算下面兩種總量函數(shù)的4i和6i（1）( )1004A tt解：4i=(4)(3)(3)AAA=4112=%57. 36i=(6)(5)(5)AAA=4120=%33. 3（2）t(t)100(1 0.1)A解：4i=(4)(3)(3)AAA=433100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)=%106i=(6)(5)(5)AAA=655100(1 0.1)100(1

12、0.1)100(1 0.1)=%10其次，要介紹的是單利和復利。（1）在一個特定單位計息期內(nèi)，如果投資一個貨幣單位后得到的利息是常數(shù)，那么相對應利息計算的這一種方法就叫做簡單利息計算方式，其相對應的利息就叫做單利。由定義易知，在單利計算中，有這樣的累積函數(shù)tita1)(,Zt .（2）在一個單位的計息期內(nèi)，如果一個貨幣單位得到的利率為常數(shù)，那么相對應的利息計算的這一種方法就叫做復合利息計算方式，其相對應的利息叫做復利。由定義易知，在復利計算中，有這樣的累積函數(shù)( )(1)ta ti，Zt 。這里也要注意區(qū)分單利和復利，短期內(nèi)兩種方式所計算的利息基本相同，又由于單利方式關注的是絕對增量的變化而復

13、利方式關注的是相對增量的改變，因此當貨幣金額足夠大時，兩種方式計算的利息差異將很大，利息差隨金額增加而增大。特別聲明，在日常生活中，我們所接觸的一般都是用復利方式計算所得的利息。看兩個例題，更能清楚的認識兩種計算方式的不同。例三：試計算500元經(jīng)過兩年半的累計達到615元得對應年單利率。問：年利率為%8 . 7的 500 元積累多長時間達到630元？解：設年單利率為i615)5 . 21 (500i%2 . 9i設500需要積累t年630%)8 . 71500t（個月年43t無例四：投資 500 元，三年在復利方式下會產(chǎn)生利息 300 元。計算 4000 元也以相同的實利率投資五年的終值。解：

14、設實利率為i300 1)1(5003i%17i79.8769)1 (4000)5(5iA元1.2 貼現(xiàn)函數(shù)、名利率、名貼現(xiàn)率（1）貼現(xiàn)函數(shù)：若一個貨幣單位對于(0)t t 時刻在 0 單位時刻的價值記為1( )at，當t變動時，就稱1( )at為貼現(xiàn)函數(shù)。根據(jù)前篇講的累積函數(shù)，我們知道貼現(xiàn)函數(shù)是它的倒數(shù)函數(shù)。那么得到下面兩個公式：在單利方式下，11( )(1)atit(0)t 注，t是單利率在復利方式下，1( )(1)tati(0)t 注，t是復利率（2）貼現(xiàn)率：計息期12,t t內(nèi)，利息收入除以期末貨幣總量商的值被叫做在時間區(qū)間12,t t內(nèi)的貼現(xiàn)率， 記為12,t td， 即12,t td

15、=211tt( )( )( )tAAA=121,( )ttIA t。 另外， 我們將1(1)vi記為貼現(xiàn)因子。下面補充兩個結論：貼現(xiàn)率d與利率i：1did1idii在任何一個計息期的貼現(xiàn)率d和貼現(xiàn)因子v中，同一期的期末利息率用貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)給期初的值就是貼現(xiàn)率，即div；二者有互補關系：1dv；更進一步分析還可以得到：idid（3）在日常生活的金融業(yè)務中，不僅僅局限于以一年為計息單位，還有一月，一季度，半年等利息計算期，概念名利率和名貼現(xiàn)率由此而生。名利率：利息在單位計息期內(nèi)按照利率()()mimNm換算了m，那么這個()mi就是m換算名利率，也叫做掛牌利率。通過定義可以容易得出利率i與m換算名

16、利率()mi的關系：()1(1)mmiim 也可以表示為：()(1)1mmiim或者1()(1 i)1mmim同上，不難理解 p 換算名貼現(xiàn)率( )()pdpN在相同計息期內(nèi)與貼現(xiàn)率 d 的關系：pppdd)1 (1)(也可以這樣表示：pppdd)1 (1)(或者)1 (1 1)(ppdpd在一樣的單位計息期內(nèi)，p換算名貼現(xiàn)率）（pd與m換算名利率()mi之間的換算關系：ppmmpdmi)1 ()1 ()()(抽象的概念公式理解起來更困難一些，現(xiàn)在看兩個例題：，例五：現(xiàn)有如下不同種五年期的投資方法：方法A，7%的年利率，隔半年計算利息一次；方法B，7.01%的年利率，一年計算利息一次。試比較兩

17、種投資方法的收益，從而決定投資選擇。解法 1:比較兩種方法等價的年實利率已知方式 A 的半年換算名利率為27%(1)17.1225%2Ai 而方式 B 的年實利率ABii%01. 7，故應該選擇方式 A解法 2：比較兩種方式實際收益。對方式 A 和方式 B，一個貨幣單位的本金經(jīng)過 5年投資后其價值分別為107%(5)(1)1.41062Aa4032. 1%)01. 71 ()5(5Ba顯然(5)Aa(5)Ba，故應選擇方式 A.例六： 在如下兩種情況下計算投資 100 元在第 2 年的終值， 第一種,季換算名利率為 6%，第二種，每四年換算一次的名貼現(xiàn)率為 6%解：第一種，終值為(4)4 21

18、00 (1)112.654i元無第二種，終值為11( )244100 (1 4) 114.71d元2 有關利息的基本計算2.1 幾種計算方法（1）等時間法（未知時間問題）一個關于利息的問題包括四個基本的量：原始投資的本金、投資時間、利率、本金在投資期末的最終值，其中任意三個量的大小都能夠決定第四個量的大小，另外在計算利息的時候，我們解求值方程最有力工具為時間圖，如下:上圖所表達的意思就是某個人先獲得(或是借貸)500 元，按分期付款償還.第一、二、三時期末各付 100 元，第四時期末需付多少？符號表示的是比較日期。（注：比較日就是不同時間段的貨幣量沒有辦法直接區(qū)分大小而必須將這些量貼現(xiàn)計算到一

19、個共同日期，比較日即是這個共同日期。）有時會有這樣的狀況發(fā)生，需要找到一個時刻，使在這個時刻上的一次付款等于在不同時刻的幾次付款。例七：假設 5%的實際利率，預定在第 2,3,8 年末分別付款 100 元、200 元、和500 元，請通過計算后得到一個一次付款 800 元的時間，令之與前幾次付款的金額相同。解：設在 t 時刻付款332500200100800vvvvt其中05. 11v832. 505. 1ln75236. 0lnt注：總結上面問題可以得到：如果在時刻1t,2t,nt分別付出金額1s,ns,計算出時間t，使在該時間付出和上述分次付款相等。那么它的求值方程為:ntntttnivs

20、vsvsvsi 21211nsvstniinitiilnlnln11這種方法求 t 也叫精確方法。在生活當中，想要簡便計算，那么 t 可以通過近似計算每個付款的加權平均這一方法，其中權就是每次付款的金額，所以nnnssstststst 212211也為等時間法，可以證明tt ，換句話說，就是用等時間法的現(xiàn)時值小于真實的現(xiàn)時值來證明。（2）未知利率問題直接對價值方程進行指數(shù)或對數(shù)計算法：例八：季度轉換率是多少才能夠讓 1000 元在 6 年內(nèi)增加到 1600 元？解：設季度轉換利率為)4(i，：有%91. 71600)41 (1000)4(64)4(ii代數(shù)法：例九： 已知第 2 年底的 200

21、0 元加上第 4 年底的 3000 元得現(xiàn)金總額為 4000 元， 計算年利率。解：設年利率為i，那么得到價值方程為42300020004000vv ，1)1 (iv也可以這樣表示：042324 vv，1)1 (iv解出方程，得868517. 02v30. 7i線性插值的遞推或迭代法例十：假設目前投入資金 1000 元，3 年后再投入資金 2000 元，要想在 10 年后得到5000 元，計算半年度轉換利率。無解：設半年換算名利率為)2(i. 則：5000)21 (2000)21 (100014)2(20)2(ii通過線性插值的計算方法，就可以得到：4356. 6064356. 0)2(i小總

22、結：此類問題的一般提法是，已知一系列的投資或收入資金流：1x,2x,，nx,分別代表1t,2t,，nt時刻的投資。那么求解這一資金流的實際利率，換言之就是收益率。其求值方程是：nititinix10)1(或nitiivx102.2 有關方法案例分析生活中與利率的機構非銀行莫屬了，那么對于度量時間的方法也有不同，最常見的分以下三種：(1)(精確法): 1 年按 365 天,投資時間=實際投資天數(shù)/365;(2)(普通法):假設一個月是 30天,1年是360 天,此時求解兩個已知日期之間天數(shù)的關系式為)()(30)(360121212DDMMYY(3) (利息準則之銀行):投入資金時間=實際投資的

23、天數(shù)除以 360。依照國外大多數(shù)銀行的做法，計息方式采用整數(shù)時期計算復利，分數(shù)時期計算單利。如果求 1 單位本金在xm 時間內(nèi)的最終積累的價值， 其中m為整數(shù)、x為分數(shù)，10 x,于是得：)1 ()1 ()(xiixmam類似有)1 ()(1xdvxmam下面我們來看看各種不同的實例：例十一：有一種投資方式可以使第 4 年底收益 2000 元，第 10 年底收益 5000 元，那么問:前 2 年每年初投入 2000 元，第 3 年初再投入一部分，那么 6的季換算名利率，求出第 3 年初投入的現(xiàn)金額。解：由題意得：6)4(i，則%14. 61)4%61 (4i設第 3 年初投入金額 x，比較日為

24、第 3 年初，獲得價值方程82250002000)1 (2000)1 (2000vvxii解得67.504x元例十二：在所給定的利率情況下，如下的兩種支付金額方式相同：1.第 5 年年底付款 200 元，第 10 年年底付款 500 元。 2.第 5 年年底一次性付款 400.94 元。此外現(xiàn)在以相同的利息率投入金額 100 元再加上第 5 年年底投入的 120 元現(xiàn)金，這些投資在第 10 年年底的累積值是P.求出P.解：根據(jù)兩種支付方法，比較日即是第 5 年，得到價值的方程：94.4005002005v40188. 05v所以P=762.917)1 (120)1 (100510ii例十三：2

25、 年定期存款的年利率為 10%，在提前支取時儲戶可以有兩種選擇：方式A：利率降為 8%；方式 B：原利息率不改變，扣除 3 個月利息的金額。試對以下兩種情況，計算出何種方式對儲蓄用戶最好：（1）存到 6 個月就取出；（2）存入一年半時提前支取解：設初始本金 1 個貨幣單位，并分別用AI和BI表示兩種方式的利息金額。（1）存到 6 個月就取出，則AI=0392. 01)08. 01 (21BI=0241. 01)10. 01 (41很明顯有AIBI，因此對于儲蓄用戶來說方式 A 較好。（2）若存入一年半時提前支取，則AI=1224. 01)08. 01 (23BI=1265. 01)10. 01

26、 (45無顯然有AIBI，因此對儲蓄用戶來說方式 B 較好。例十四：現(xiàn)有如下的投資經(jīng)歷：原始投資 100000 元，全部資金總額在前兩年用來投資 13 周的短期國債，假設均以貼現(xiàn)方式來報價；在第 3 年初實行組合投資，這個投資的利息力函數(shù)為tt11。那么在五年以后新增長的金額總量是最初原始投資的1.6 倍，探討 13 周短期國債的可承受的折價價錢是多少。解：設國債以名貼現(xiàn)率)4(d折價售出，那么這個資金在第 2 年年底的最終價值是元（元8)4()4-1100000)2(100000da用后 3 年的投資收益額，得第 5 年年底的最終價值是元元元元元元8)4(52)41 (200000)5(10

27、0000)2(200000)2151)(2(100000)5(100000)exp()2(100000)5(100000daaaadsaas又由題設知260000)6 . 11)(0(100000)5(100000aa即8)4()41 (26 . 2d解得)4(d=%9 .12，%23. 34)4(d因此，100 美元的債券可以接受折扣的價格是 96.77 元。3 利息計算方法的實際應用3.1 攤還法的介紹（1）關于攤還法，很重要部分都要計算每一次還款后未結貸款余額。所以，首先先來討論如何計算未結貸款余額。說到底，這個未結算貸款余額也就是指在貸款業(yè)務中，每一次分期還款之后，借款人沒有償還的債務

28、在那時的價值。通常有兩種計算方法：預期法和追溯法。預期法和追溯法的區(qū)別不是很大，通常情況下，知道全部還款金額和還款的具體時間，就用預期法求值；當還款次數(shù)未定又或者是還款金額未定，那么最佳方法就是追溯法了。例十五：一貸款的還款方法：在一開始的頭五年每半年還款 2000 元，后五年每半年還款 1000 元。已知 10%為半年換算的名利率，用預期法和追溯法兩種方法分別求第5 次換算后的剩余貸款額。解：預期法：205. 01005. 05510002000vaaBp100005. 0505. 015aa14709追溯法：原始貸款額為20184100005. 01005. 020aaL從而：147092

29、000)05. 1 (2018405. 0555sBr（2）現(xiàn)在來介紹攤還法。其基本原理為：貸款分期還錢中，首先要還利息，剩下的部分當成本金來還。具體的表示：如果在時刻t的還款額為 R，那么所還利息量為tI，本金量為tP，也就有：1ttiBI，tP=R-tIRBiBtt1)1 (tttPBB1其中tP的大小與沒有結算貸款剩余金額（本金）和利息之間是沒有關系的。下圖是貸款利息率i，每一次還款金額為 1 元，總共n次的攤還表。貸款金額為ina 無分析：首次還款的 1 元中，利息部分是ninvia1，本金部分是nv，未結貸款余額即是初始貸款額扣除已還的本金后的金額，記：inninavaB11對任何時

30、刻t都有這樣相似的概括：時刻t的 1 元還款額能夠分成利息量tI和本金量tP，兩者計算公式為：tI=11tnv，tP=1tnv其中nt, 2 , 1 從而未結貸款余額為：tttPBB1,nt, 2 , 1 所有本金之和等于原始貸款，即 ：nntvnPt11全部利息的和是還款總額減去初始貸款額的差值，即nnttPnI11本金序列按照時間順序來看，是逐漸增加的等比級數(shù)，比值是)1 (i,ttPiP)1 (1,1, 1 nt利息序列依時間順序構成遞減數(shù)列i,1, 1 nt小結：等額還款時，前期的還款最主要就是還利息，貸款本金（余額）的下降幅度不明顯。3.2 實例分析例十六：貸款余額為 10000 元

31、，分 5 年還清，年利率為 9%，寫出給還款計劃的攤還表。年份還款額/元付息額/元還本金/元未結貸款余額/元010000.0012570.92900.001670.908329.0822570.92749.621821.316507.7732570.92585.701985.224522.5542570.92407.022163.902358.6552570.92212.272358.650.00例十七：一種貸款要在每半年末償還 1 元，共 5 年，每年利率為i，計算第 8 次還款中的貸款本金部分。解：在此題中，計息頻率小于支付頻率，所以，和支付頻率一樣的利率j為：第 7 次還款后的貸款余額為：則第 8 次還款中的利息為：例十八：乙借給甲 10000 元的現(xiàn)金，每一年年末等額還款 1 次，還 6 年，8%的年利率。到了第 3 年