等比數(shù)列性質(zhì)習(xí)題

1、等比數(shù)列性質(zhì)一、選擇題1.已知數(shù)列成等差數(shù)列, 成等比數(shù)列，則的值為( )A、 B、 C、或 D、2.等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（ ）5.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且18，則( )A12 B10 C8 D26.是公差不為0的等差的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，則等于（ ）A. 4 B.6 C.8 D.107.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是與的等比中項(xiàng)，則等于A、28 B、32 C、36 D、408.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比為（ ） A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比數(shù)列an 的公比為2，前4項(xiàng)的和是1，則前8項(xiàng)的和為 A 15 B17 C19 D 21二、填空題13.

2、設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為。若，則=15.等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前4項(xiàng)和= 16.等比數(shù)列的前項(xiàng)和=，則=_.三、解答題20.在等比數(shù)列中，公比，設(shè)，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）試比較與的大小.3.（2006全國(guó)卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：3.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n

3、=2,3, , 因而數(shù)列 an+2n是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()將an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 8.（2006安徽理）數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達(dá)式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。8.解：由得：，即，相加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立。（）由，得。而，所以，對(duì)成立。由，10.（2005山東文）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為

4、，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)10.解：由已知可得兩式相減得，即從而當(dāng)時(shí),，所以又所以，從而故總有，又，從而,即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（II）由（I）知因?yàn)樗詮亩?-=.例題2. （2007年二次月考）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試比較的大小，并證明你的結(jié)論.解析：（）是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列. 當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，當(dāng)。（）當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)當(dāng)綜上可知：當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)若若點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的基本知識(shí)，還要注意分類討論?？键c(diǎn)二：求數(shù)列的通項(xiàng)與求和例題3. （2

5、007年5月湖北省十一校）.已知數(shù)列中各項(xiàng)為：個(gè)個(gè) 12、1122、111222、（1）證明這個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰整數(shù)的積.（2）求這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)之和Sn . 解析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)一步再求和。答案：（1）個(gè)記：A = , 則A=為整數(shù)= A (A+1) ，得證(2) 點(diǎn)評(píng)：本題難點(diǎn)在于求出數(shù)列的通項(xiàng)，再將這個(gè)通項(xiàng)“分成”兩個(gè)相鄰正數(shù)的積，解決此題需要例題4. (云南省2007年第一次高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)) 已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，并且=1，對(duì)任意正整數(shù)n，；設(shè)）.（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)的前n項(xiàng)和，求.解析：（I）兩

6、式相減：是以2為公比的等比數(shù)列，（II）而點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng)，第二問求和用到裂項(xiàng)的辦法求和。考點(diǎn)三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系例題5.（2007年5月莆田四中）已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項(xiàng).求函數(shù)的表達(dá)式；求證：；求證：解析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。答案：解：又為銳角都大于0, , 又點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式所給的式子更具有一般性。例題7.（2007年5月2007浙江省五校）已知函數(shù)

7、,數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（）（）若則當(dāng)n2時(shí),.解析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進(jìn)行放縮。答案：解: ()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因?yàn)?所以,即0,從而() 因?yàn)?所以, , 所

8、以 , 由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以= .由兩式可知: .點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。考點(diǎn)四：數(shù)列與函數(shù)、向量、概率等的聯(lián)系例題8.（四川省南充高級(jí)中學(xué)2008屆十月份月考）無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和，并且（1）求p的值；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）作函數(shù)，如果，證明：解析：（1），且p1，或若是，且p1，則由，矛盾故不可能是：，且p1由，得又，（2），當(dāng)k2時(shí)，n3時(shí)有對(duì)一切有：（3），故又故點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。例題8.（2007年5月徐州市）已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l， (1)寫出、的

9、值; (2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當(dāng)n2時(shí),Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號(hào)，因?yàn)?，即?）當(dāng)時(shí)，所以，所以 點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。例題12. (2007年5月寧波市三中) 已知數(shù)列中，（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)； （3）設(shè)數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮anSnSn1(n2)解：（1）（2）得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：只需證若，則顯然成立若，則所以因此：所以所以 點(diǎn)評(píng)：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.答案一