第16章含參量積分

1、第十六章 含參量積分關(guān)于積分理論，我們已經(jīng)學(xué)過一元函數(shù)的積分理論：包括常義積分（積分限有限、被積函數(shù)有界）和廣義積分，其積分變量和被積函數(shù)的變量一樣，都是一個(gè)。但在各技術(shù)領(lǐng)域，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的積分：對(duì)一個(gè)變量的積分還與一個(gè)參數(shù)有關(guān)，如天體力學(xué)中常遇到的橢圓積分：，從形式可以看出，積分變量為，積分過程結(jié)果依賴于，此時(shí)稱為積分過程中的參量。顯然，若將視為一個(gè)變?cè)洖橐粋€(gè)二元函數(shù)，則上述積分只涉及其中的一個(gè)變量，將另一個(gè)變量視為參量，像這種積分形式在工程技術(shù)領(lǐng)域還有很多。因此，為解決相應(yīng)的技術(shù)問題，必須先在數(shù)學(xué)上進(jìn)行研究，這就是本章的內(nèi)容：含參變量的積分，包括：常義積分和廣義積分兩部分，由于這種積

2、分形式的被積函數(shù)是多元函數(shù)，因此，多元函數(shù)理論為參變量積分的研究提供了理論基礎(chǔ)。1含參變量的常義積分只考慮一個(gè)參量的含參量積分，因此，被積函數(shù)是二元函數(shù)。設(shè)在，此時(shí)是為關(guān)于的一元連續(xù)函數(shù)，因而可積?？紤]其積分，顯然其與有關(guān)，記為，更一般，引入，稱其為含參變量的積分。注：由此可看出：含參量的積分結(jié)果是一個(gè)關(guān)于參變量的函數(shù)，由此就決定了含參量積分的研究內(nèi)容：不僅在于計(jì)算，還要研究其分析性質(zhì)。更進(jìn)一步的，將其分析性質(zhì)應(yīng)用于含參量的計(jì)算，由此帶來了積分計(jì)算的新方法：通過引入?yún)⒆兞?，將一個(gè)一般積分轉(zhuǎn)化為含參量的積分，通過含參量積分的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算含參量的積分，最后取特定的參量值計(jì)算出原積分。為此，先研究含

3、參量積分的分析性質(zhì)。定理1：（連續(xù)性）設(shè)，則。分析：在不能利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)得到連續(xù)性的情況下，需利用定義證明函數(shù)的連續(xù)性，這是處理這類問題的一般方法。證明：任取，取，使，只須證：。事實(shí)上，由于：（要使，只須充分小，形式上看：只須利用在點(diǎn)的連續(xù)性，但實(shí)際不僅如此，更要用到一致連續(xù)性。因?yàn)椋瑑H僅利用在點(diǎn)或（x,）的連續(xù)性，對(duì)任意的，得到的不僅與有關(guān)，還與有關(guān)，因而，不能保證在整個(gè)積分區(qū)間a,b上都有；同時(shí)，在證明點(diǎn)的連續(xù)性時(shí)，只允許。）由于，因而，f(x,y)在D上一致連續(xù)，故，對(duì)任意的0，存在，使得當(dāng)時(shí)，成立，因而，當(dāng)時(shí)，成立，故， 所以，在點(diǎn)的連續(xù)性，由的任意性得，。注：結(jié)論表明：極限和積分

4、運(yùn)算可以換序：。定理2：（可微性）設(shè)，則且，即微分與積分運(yùn)算可以換序。分析：證明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定義驗(yàn)證即可。證明：任取，及，使，由中值定理，其中，。由定理1，則。更進(jìn)一步討論變限的含參量積分，記。定理3：若，且，則。證明：任取，取，使，由于。由于，因而有界，不妨設(shè) ，又且類似定理1 的證明得，對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)成立，因而，。故，。定理4：設(shè)，且，則，且：。證明：，利用中值定理，存在()使得。.定理得證。上面討論了含參量積分的連續(xù)性和可微性，從運(yùn)算角度看，這些性質(zhì)給出了兩種運(yùn)算間的可換序性，在相關(guān)的運(yùn)算中有非常重要的作用（見后面的例子）。下面的結(jié)論表明了含參量積分的積分運(yùn)

5、算的可換序性。由此給出積分計(jì)算的一種新方法，為此，考慮由一個(gè)二元函數(shù)給出的兩個(gè)含參量積分的形式，事實(shí)上，設(shè)，則可引入兩個(gè)含參量積分：，顯然：，因而可積，考慮二者的積分。分析這兩個(gè)積分：被積函數(shù)都是，積分順序不同，因而是函數(shù)在區(qū)域D上的兩個(gè)不同順序的積分，也是后面多重積分理論中的累次積分。自然要考慮這樣的問題：二者是否相等，即：累次積分是否可換序。定理5：（積分換序性），設(shè)，則。即兩個(gè)累次積分可以換序。分析：采用一種特殊的方法：將其轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)函數(shù)相等，這是一個(gè)新的思想，要求掌握。證明：記，下證：，特別有，為此，先證：。由于，故：。同樣，對(duì)，記，則，故：，因而 。所以，。令，得。因此：，特別：

6、。應(yīng)用：重點(diǎn)討論在積分計(jì)算中的應(yīng)用。例1：設(shè)，計(jì)算解：由公式：。例2：計(jì)算分析：兩種運(yùn)算是否可換序：含參量積分的連續(xù)性定理。解：記，則，因而：，故， 。注：這類題目通常要求確定參量的活動(dòng)區(qū)間，技巧是，在極限點(diǎn)附近取充分小的區(qū)間，滿足定理要求的條件即可。例3：計(jì)算。解：令，則，因而：。例4：計(jì)算分析：通過例子熟悉含參量積分在積分計(jì)算中的運(yùn)用。解：取，記， 則在上連續(xù)。 故：利用萬能公式，因而，求積分得，又，則，故。注：利用含參量積分的求導(dǎo)理論計(jì)算定積分，從計(jì)算思想上看和分部積分法相同，即通過求導(dǎo)，改變被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，使之簡單化，便于計(jì)算；但是，與分部積分的求導(dǎo)對(duì)象不同，因而，是采用了不同的求導(dǎo)方

7、式來改變積分結(jié)果，因此，這兩種方法在處理復(fù)雜類型的定積分時(shí)都是有效的方法。如本例用分部積分法將積分轉(zhuǎn)變?yōu)橄率龇e分計(jì)算，而后者可以利用定積分公式來計(jì)算。但對(duì)有些例子來說，能用含參量積分的求導(dǎo)理論來計(jì)算的，不一定能用定積分理論的分部積分法來計(jì)算。例4：計(jì)算分析：此類題目較難：難在其一：看似是一個(gè)正常的定積分，但利用定積分的計(jì)算技術(shù)（常規(guī)）無法解決；其二：由于其一，必須引入新的計(jì)算方法：含參量積分法，但問題是：如何引入?yún)⒘浚瑓⒘康奈恢萌绾未_定？一旦選擇了合適的參量位置，具體的計(jì)算過程就很簡單了。通過例子具體說明。解：考慮含參量積分：，則。因此，只須計(jì)算：與相比，雖然積分結(jié)構(gòu)相同，但由于含有參量，因而

8、處理的方法更多，比如求導(dǎo)： （轉(zhuǎn)化為有理式的積分），兩邊積分，則 。 由于，故 。注：處理思路：分析被積函數(shù)結(jié)構(gòu)，在較難處理的因子中引入?yún)⒘?，通過求導(dǎo)法將其簡化，便于計(jì)算。 還有一類積分的計(jì)算，須利用含參量積分的換序定理，通過換序達(dá)到簡化計(jì)算的目的。例5：計(jì)算解：法一、積分法，即利用積分換序定理計(jì)算。由于，故，利用含參量積分的換序定理，。法二、求導(dǎo)法，即利用含參量積分的求導(dǎo)定理計(jì)算。記，。定義則，、在0,1上連續(xù)，故因而，注意到，故，所以，。注：用含參量積分的積分換序定理計(jì)算定積分，需要對(duì)被積函數(shù)仔細(xì)分析，將其轉(zhuǎn)化為對(duì)另一個(gè)變量的積分，這是較困難的一步?？傊豪煤瑓⒘糠e分換序定理計(jì)算定積分是

9、一種高級(jí)的計(jì)算方法，難度較高，須通過多練才能掌握。 注：上述兩個(gè)方法比較可以發(fā)現(xiàn)，能用積分換序定理計(jì)算的定積分也可以用含參量積分的求導(dǎo)方法，從計(jì)算過程看，兩個(gè)方法難度沒有區(qū)別，大家可以在課后的練習(xí)中對(duì)這兩種方法進(jìn)行進(jìn)一步的比較。2 含參量的廣義積分 和一元函數(shù)的定積分一樣，可以將含參變量的廣義積分進(jìn)行推廣，形成含參量的廣義積分。從形式上講，含參量的廣義積分也應(yīng)有兩種形式：無窮限形式的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分，由于二者之間可以相互轉(zhuǎn)化，我們僅以無窮限廣義積分為例討論其性質(zhì)。一、 基本概念1、 無窮限廣義積分的定義定義1：設(shè)為定義在（為某區(qū)間，有界或無界）的二元函數(shù)，形如的積分稱為含參變量的廣

10、義積分。注：從定義形式?jīng)Q定研究內(nèi)容： 1）、廣義積分是否存在-收斂性問題； 2）、在存在條件下，函數(shù)（含參量積分）的分析性質(zhì)。 先看第一個(gè)問題：收斂性問題。 與一元函數(shù)廣義積分相區(qū)別的是：由于含參量積分的結(jié)果不再是一個(gè)單純的數(shù)值，而是一個(gè)函數(shù)，這就決定了含參量廣義積分的收斂性問題中，不僅要有收斂性而且還必須討論收斂性與參量之關(guān)系，由此形成一致收斂性。2：含參量廣義積分的收斂和一致收斂。定義2：設(shè)定義在，若對(duì)某個(gè)，廣義積分在點(diǎn)收斂，則稱含參量廣義積分在點(diǎn)收斂；若在中每一點(diǎn)都收斂，稱含參量廣義積分在上收斂。注：“”定義：在上收斂是指：對(duì)每個(gè)，使當(dāng)時(shí)，（或者）。注意：由收斂性定義，若在I上收斂，則可

11、定義上的函數(shù)=。 自然提出：此時(shí)的性質(zhì)如何?能否保證具有較好的性質(zhì)。事實(shí)上，研究發(fā)現(xiàn)：正是由于定義中與的依賴關(guān)系，使得不能具有較好的性質(zhì)。換句話說：為保證具有可供利用的分析性質(zhì)，必須改進(jìn)收斂性，這就形成關(guān)于參量的一致收斂性。定義3：若，使當(dāng)時(shí)，對(duì)一切成立，稱在上關(guān)于一致收斂。 注：含參量廣義積分的一致收斂性和一致連續(xù)性、函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性具有同樣的含義，應(yīng)仔細(xì)體會(huì)定義，注意定義中各個(gè)量給出的順序和相互關(guān)系。注：在一致收斂性理論中，非一致收斂性的證明也是經(jīng)常遇到的，我們給出關(guān)于非一致收斂性的一個(gè)定義和一個(gè)充要條件。定義4：若存在，使對(duì)，都存在，及，使 ，則稱關(guān)于非一致收斂。定理1：若

12、存在，和數(shù)列，且及，使，則在內(nèi)非一致收斂。類似以前學(xué)過的相似內(nèi)容，我們先給出一致收斂性的判斷定理，然后分析性質(zhì)的研究。二：一致收斂性的判別法。 借助于一元函數(shù)廣義積分收斂性的判別法，我們有一系列相應(yīng)的含參量廣義積分一致收斂性的判別法。定理2、（Weistrass判別法）設(shè)存在定義于上的函數(shù)，使，且收斂，則在J上一致收斂。定理3、（Abel判別法）設(shè)定義在D上且滿足： 1）在I上關(guān)于一致收斂。 2）關(guān)于單調(diào)，即對(duì)每個(gè)固定為的單調(diào)函數(shù)。 3）在D上一致有界，即，使。則關(guān)于一致收斂。定理4、（Dirichlet判別法）設(shè)定義在D上且滿足： 1）關(guān)于一致有界，即，使都成立。 2）對(duì)固定的，關(guān)于單調(diào)。

13、3）關(guān)于一致成立：即，當(dāng)時(shí)，關(guān)于一致成立。則關(guān)于一致收斂。注：上述兩個(gè)定理的證明和廣義積分的收斂性的證明類似，其出發(fā)點(diǎn)都是積分第二中值定理： 定理5、（Dini-Th）設(shè)在上連續(xù)且保號(hào)，如果在上收斂，且在上連續(xù)，則關(guān)于一致收斂。證明：反證法：設(shè)，若不一致收斂，則，使，有收斂子列。 不妨設(shè)收斂于，而收斂，則，使故，時(shí)，。又，由定理?xiàng)l件和含參量積分的連續(xù)性定理，關(guān)于y連續(xù)，因而，而這與矛盾。三、一致收斂性判別舉例。根據(jù)一致收斂判別定理，在討論一致收斂性問題時(shí)，通常按如下順序進(jìn)行：首先考慮能否用Werstrass判別法，其次，考慮用Abel和Dirichlet判別法，再次，考慮用Dini判別法，最后

14、，考慮非一致收斂性。但是，上述只是解決此類問題的一般規(guī)律。事實(shí)上，各類判別法所適用的對(duì)象都有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此，在熟練掌握了各判別法的實(shí)質(zhì)后，可根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選用相應(yīng)的判別法。特別，當(dāng)所給題目是討論同一積分在不同參數(shù)區(qū)間上的一致收斂性時(shí)，通常在小區(qū)間上是一致收斂，在大區(qū)間上非一致收斂。例1：討論在i)ii)內(nèi)一致收斂性。 解、i)當(dāng)時(shí)，由于 ，故，利用Werstrass判別法可得 ，關(guān)于一致收斂。ii)、當(dāng)時(shí)，可以考慮非一致收斂性。事實(shí)上：取，則，因而故，關(guān)于非一致收斂。例2、證明在上一致收斂。證明：典型的Abel判別法所處理對(duì)象。由于 收斂（廣義積分的Dirichlet判別法：即），因

15、此，關(guān)于一致收斂。又：是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)且一致有界，故，由Abel判別法可知該積分關(guān)于一致收斂。例3：證明：關(guān)于在上一致收斂，（），但在上非一致收斂。證明：首先注意到，這只是一個(gè)無窮限廣義積分，x=0不是奇點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，由于對(duì)任意的A0,，且單調(diào)且一致有界（x1時(shí)），由Dirichlet判別法，一致收斂。時(shí)，此時(shí)，不再一致有界，可能造成非一致收斂。事實(shí)上，取，故，關(guān)于非一致收斂。 注：此時(shí)，不能象例1那樣通過先提出sinx的界，再計(jì)算剩下的積分。因?yàn)?，此時(shí)剩下的積分為。不能保證Cauchy片段有正的下界。四、一致收斂積分的性質(zhì) 下面討論一致收斂積分的分析性質(zhì)。 1、廣義積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：設(shè)對(duì)每一個(gè)收

16、斂，記，任取嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，滿足，記，則。引理1：若關(guān)于一致收斂，則關(guān)于一致收斂。此引理可以用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明，此處略去。 2、分析性質(zhì)：定理5、（連續(xù)性定理）設(shè)，若關(guān)于一致收斂，則。證明：一致收斂且連續(xù)，由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性定理，連續(xù)。注：從運(yùn)算角度仍是換序定理。注：定理5不是Dini定理的逆，沒有要求保號(hào)。定理6、（可積）設(shè)，若關(guān)于一致收斂，則。證明：利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的積分換序定理，則。注：這仍然是一個(gè)積分換序定理。當(dāng)時(shí)，有下述結(jié)論。定理7設(shè)，關(guān)于一致收斂，關(guān)于一致收斂，且和 中有一個(gè)存在，則。此定理的證明較復(fù)雜，此處略去。定理8、（可微性）設(shè)，且關(guān)于一致收斂，關(guān)于一致收斂，則在可

17、微，且。 證明：利用函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的可微性證明思路。記，由一致收斂，則由積分換序定理，則 又：可微，兩邊微分：。3、 應(yīng)用應(yīng)用上述的分析性質(zhì)，處理一些積分問題。例1：計(jì)算解：記，則，且，而收斂，故一致收斂，由可微性定理， 解之，。其中。3 Euler積分 在微分方程、概率論等應(yīng)用領(lǐng)域經(jīng)常遇到如下的含參量廣義積分 ，稱之為第一類和第二類Euler積分，或稱為Bata函數(shù)和Gamma函數(shù)。本節(jié)，研究以上兩類函數(shù)的分析性質(zhì)及其關(guān)系。一、Bata函數(shù)先考慮B(p,q)定義域。這就是下述定理。 定理1、對(duì)任意的p0、q0，廣義積分收斂，因而，在區(qū)域上有定義，即其定義域?yàn)镈。 證明：由于是以x=0、x=1為奇

18、點(diǎn)的廣義積分，故須將其分為兩部分討論。令 對(duì)第一部分，以x=0為奇點(diǎn)且p0時(shí)收斂；對(duì)第二部分，以x=1為奇點(diǎn)且q0時(shí)收斂，因而，p0、q0時(shí)含參量廣義積分收斂，故B(p,q)的定義域?yàn)镈。 進(jìn)一步研究其連續(xù)性。從Beta函數(shù)的定義形式看，這是一個(gè)以p、q為參量的含參量的廣義積分，因此，可以用含參量積分理論研究其連續(xù)性。定理2、B(p,q)是其定義域D上的連續(xù)函數(shù)。分析：由連續(xù)的局部性質(zhì)，只需證明B(p,q)在任意的上連續(xù)。由含參量積分的性質(zhì)，只需證明B(p,q)在上的一致收斂性。證明:任取，當(dāng)，由于，且收斂，因而，B(p,q)在上一致收斂，故，B(p,q)在上連續(xù)，由任意性，B(p,q)在D上

19、連續(xù)。用類似定理2 的方法可以進(jìn)一步討論其微分性質(zhì)，由于我們更關(guān)心Beta函數(shù)的計(jì)算，因此，我們這里只對(duì)與計(jì)算有關(guān)的進(jìn)一步性質(zhì)進(jìn)行研究。定理3、（對(duì)稱性）B(p,q)=B(q,p).證明：作變換x=1t，則。定理4、（遞推公式）其中p0, q1。 分析：從右端形式看，須將其積分中一個(gè)因子的冪次降低一次，能起到如此作用的工具就是分部積分公式。證明：利用分部積分公式，則繼續(xù)用形式統(tǒng)一方法向右端轉(zhuǎn)化，進(jìn)而因而，。推論1、其中p1, q1。注、在計(jì)算相關(guān)的題目時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些特殊的Beta函數(shù)值和其它Beta函數(shù)的形式，下面是一些常用的結(jié)論。 1、B(1,1)=1, 。 2、作變換，則因此，。 3、先作變換，則然后分段后，作變換，則。二、Gamma函數(shù)用類似的方式研究Gamma函數(shù)。定理