第0章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備矢量分析與場論

1、授課主要內(nèi)容教學(xué)方法與說明引 言一、電動力學(xué)的研究對象電動力學(xué)研究電磁場的基本屬性, 運(yùn)動規(guī)律及其與帶電物質(zhì)之間的相互作用。電磁場是物質(zhì)世界的重要組成部分，是我們每天都要接觸到的，無論是照明，通訊及生活的方方面面, 都離不開電磁場。電磁場對生產(chǎn)科研的重要性自不必說。二、電動力學(xué)發(fā)展簡史任何一門學(xué)科都是人類生產(chǎn)斗爭，科學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)總結(jié),電動力學(xué)也是如此。最初,人們研究靜電,靜磁,電流等現(xiàn)象,得到一些實(shí)驗(yàn)定律,例如庫侖定律(1785年，法國物理學(xué)家?guī)靵?、畢奧薩伐爾定律。但并未認(rèn)識電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系。1820年7月21日，丹麥物理學(xué)家奧斯特（關(guān)于磁針上電流碰撞的實(shí)驗(yàn)）發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)。據(jù)

2、此，人們知道了“電”能生“磁”。1821年，英國物理學(xué)家法拉第開始考慮“磁”能否生“電”。歷經(jīng)十年艱辛探索，法拉第終于在1831年8月26日，發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，1851年建立了電磁感應(yīng)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。法拉第還提出“場”的思想（電荷和電荷之間的作用不是超距作用，而是借助于電場），為建立電磁場的數(shù)學(xué)理論提供了物理依據(jù)。以后人們才把電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象統(tǒng)一起來討論。英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋總結(jié)了1785年以來的電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)和相關(guān)規(guī)律，在法拉第提出的場的物理觀念基礎(chǔ)上，于1862年提出“位移電流”的新概念，終于在1864年，把電磁學(xué)規(guī)律統(tǒng)一起來，總結(jié)為麥克斯韋方程組。原始形式包括20個(gè)變量，20個(gè)方程，其中

3、包括已經(jīng)不再作為電磁場基本方程的公式，比如庫侖定律、歐姆定律、安培定律、畢奧薩伐爾定律，位移電流、電流連續(xù)性方程等。在理論上預(yù)言了電磁波的存在。1888年，德國物理學(xué)家赫茲用實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)了電磁波，證明了麥克斯韋理論的正確性，并于1890年把麥克斯韋方程組的原來形式，改造成為現(xiàn)在的通用形式。電磁波的發(fā)現(xiàn)和現(xiàn)代無線電技術(shù)的發(fā)展豐富了電磁場理論。但是，人們對電磁場的本質(zhì)認(rèn)識卻仍然包含著很大錯(cuò)誤，即把電磁場理解為某種“絕對靜止”地充滿整個(gè)空間的，類似于彈性介質(zhì)的“以太”的運(yùn)動形態(tài)。但在對運(yùn)動介質(zhì)中電磁現(xiàn)象的進(jìn)一步研究中，表明了這種理論存在的根本困難。1905年愛因斯坦提出真空中光速不變原理和狹義相對性原

4、理，建立了“狹義相對論”,建立了新的時(shí)空觀（時(shí)空是物質(zhì)運(yùn)動的屬性），否定了牛頓時(shí)代的時(shí)空觀（時(shí)空是獨(dú)立于物質(zhì)運(yùn)動的客體，空間框框，時(shí)間之流，然后再把物質(zhì)放入其中），使電動力學(xué)在新的時(shí)空理論基礎(chǔ)上，發(fā)展成為完整的、適用于任何慣性參照系的理論。狹義相對論是現(xiàn)在物理學(xué)發(fā)展的重要理論基礎(chǔ)之一，對物理學(xué)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響。1915年，愛因斯坦提出了“廣義相對論”，認(rèn)為時(shí)空是彎曲的（分布決定幾何，幾何決定運(yùn)動）。20世紀(jì)30年代以后,隨著量子力學(xué)的建立,又發(fā)展了“量子電動力學(xué)”（費(fèi)曼），成為研究微觀世界電磁現(xiàn)象的有力工具。近些年來的進(jìn)一步研究，又發(fā)現(xiàn)了電磁相互作用與弱相互作用在本質(zhì)上是統(tǒng)一的，建立了弱電

5、統(tǒng)一理論，并得到了實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證?，F(xiàn)在人們正在為四大相互作用的統(tǒng)一而努力著。超弦理論是其中最有可能的候選者之一。三、電動力學(xué)課程的基本內(nèi)容1.電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律2.與時(shí)間無關(guān)的電磁問題，靜電，靜磁（相對于觀察者來說，靜止不動）。3.電磁波的傳播和輻射（與時(shí)間有關(guān)，我們研究的只是這兩個(gè)方面）。4.狹義相對論的基礎(chǔ)。四、學(xué)習(xí)電動力學(xué)的目的電動力學(xué)是普通物理“電磁學(xué)”的后續(xù)課,電磁學(xué)著重于電磁場的基本性質(zhì)和基本概念，而電動力學(xué)在電磁學(xué)的基礎(chǔ)上更深入討論電磁場的本質(zhì)。比起電磁學(xué)來，理論性更強(qiáng)，使用更多的數(shù)學(xué)工具。學(xué)習(xí)本課程,首先要掌握電磁場的基本規(guī)律和加深對電磁場物質(zhì)性的理解。其次，要掌握本課程的基本思想

6、方法和相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，并能用這些方法解決實(shí)際問題。最后，通過相對論的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步加深對時(shí)空本質(zhì)的認(rèn)識及其它物理規(guī)律本質(zhì)的認(rèn)識。學(xué)生通過本門課程的學(xué)習(xí)，提高分析處理問題的水平和增強(qiáng)理論思維能力。五、知識前提 1.普通物理（主要是電磁學(xué)），初等微積分，矢量代數(shù)應(yīng)很熟悉 2.矢量分析，場論基礎(chǔ)作為本課程的第0章 3.數(shù)理方法（程），特殊函數(shù)提到時(shí)應(yīng)該能理解六、參考書目羅春榮 電動力學(xué) 西安交通大學(xué)出版社 2000（第三版）尹真 電動力學(xué) 科學(xué)出版社 2005（第二版）汪德新 電動力學(xué) 科學(xué)出版社 2005七、其它說明 1.課前預(yù)習(xí)，課后復(fù)習(xí) 2.課中認(rèn)真聽講，及時(shí)溝通，記筆記（三方面的信息都要記，板

7、書，語言，動作） 3.利用好輔導(dǎo)答疑時(shí)間，及時(shí)完成作業(yè) 4.本課程沒有期末總復(fù)習(xí)，不圈定考核重點(diǎn)第0章 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備第一節(jié) 矢量分析與場論基礎(chǔ)在電動力學(xué)中應(yīng)用較多的數(shù)學(xué)知識是矢量分析與場論基礎(chǔ)。因而,我們首先對這兩方面的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)歸納.主要是為了應(yīng)用,而不追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格.一、矢量代數(shù)1.兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘、叉乘若則 ,的點(diǎn)乘(也稱標(biāo)量積) (),的叉乘(也稱矢量積)，為, 的夾角方向：既垂直于，又垂直于,與滿足右手螺旋關(guān)系。叉乘的不可交換性2.三個(gè)矢量的混合積 =幾何解釋:以為棱的平行六面體的體積 性質(zhì)：(1)輪換不變性，在點(diǎn)乘號,叉乘號位置不變的情況下,把矢量按順序輪換,其混合積不變.(2)

8、若只把兩個(gè)矢量對調(diào),混合積反號。(3)若矢量位置不變只交換點(diǎn)乘號叉乘號,混合積不變但必須先做叉乘(用括號保證這個(gè)順序)。3.三個(gè)矢量的叉乘 令 則同理 故 而 二者都是：把括號外的矢量與離它較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘，再乘以另一矢量所得的項(xiàng)取正號,把括號外的矢量與離它較近的矢量點(diǎn)乘，再乘以另一矢量所得的項(xiàng)取負(fù)號。兩者取和。(“遠(yuǎn)正近負(fù)，再取和”)二、場的概念在許多科學(xué)技術(shù)問題中，常常要考慮某種物理量（如溫度、密度、電勢、力、速度）在空間的分布和變化規(guī)律。這是需要引入場的概念。如果在全部空間或部分空間里的每一點(diǎn)，都對應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的一個(gè)場。1.數(shù)學(xué)上，場是空間時(shí)間

9、的函數(shù) 時(shí)間坐標(biāo) 空間坐標(biāo) ，構(gòu)成右手系。標(biāo)量場 空間的每一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)標(biāo)量矢量場 空間的每一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)矢量張量場 空間的每一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)張量2.物理上， 描述某一物理客體，具有一定分布規(guī)律的物理量3.記號 標(biāo)量場 矢量場 張量場4.場中的物理量在各點(diǎn)處的對應(yīng)值隨時(shí)間變化的，這個(gè)場稱為穩(wěn)定場；否則稱為不穩(wěn)定場。三、場分析及其微分特征量（矢量微分）整體上來看 分析場的奇異性，斂散性局域上來看 函數(shù)某點(diǎn)附近的性質(zhì)，微分特征量。1.梯度在標(biāo)量場中，標(biāo)量的分布情況，可以將借助等值面或等值線來進(jìn)行了解。但是這只能大致地了解到標(biāo)量在場中總的分布情況，是一種整體性的了解。 而研究標(biāo)量場的另一個(gè)重要方面，就

10、是還要對它作局部性的了解，即還要考察標(biāo)量在場中各個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿每個(gè)方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)，梯度的概念。(1)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)給出了函數(shù)在給定點(diǎn)處沿某個(gè)方向的變化率問題。然而從場中的給定點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個(gè)方向，函數(shù)沿哪個(gè)方向的變化率最大呢？最大變化率為多少呢？帶著這些問題，我們來看方向?qū)?shù)。函數(shù)在點(diǎn)方向上的方向?qū)?shù)為（場的空間坐標(biāo)為）方向上的單位矢量。，在點(diǎn)方向上的方向余弦。其余三個(gè)數(shù)，也可視為某一矢量的坐標(biāo)。(2)梯度在直角坐標(biāo)系下，定義梯度(gradient)：。這樣上式可以表示為。從該式可以看出梯度是方向?qū)?shù)的一種，方向?yàn)闃?biāo)量函數(shù)上升最快的方向，大小為其改變率數(shù)值。(3)梯度的

11、性質(zhì)（1）梯度與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，只取決于場的分布；（2）方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影；（3）梯度的方向?yàn)橹赶蛟黾幼羁斓姆较颉?.散度： (1)通量通量的定義，設(shè)有矢量場，沿某一有向曲面的某一側(cè)面的曲面積分叫做矢量場向積分所沿一側(cè)穿過曲面的通量。說明：1.積分號無論幾重積分都用單重記號，看變量而定幾重積分;2.通量可以疊加;3.若為閉合面，一般約定以球面的外法線方向?yàn)檎较颍┏銮鏋檎?，穿入曲面為?fù)，相切為零。根據(jù)通量的正負(fù)可以得知內(nèi)有產(chǎn)生通量的正源（源）或負(fù)源（匯、壑、閭）。但僅此還不能了解源在內(nèi)的分布情況以及源的強(qiáng)弱程度等問題。為了描述上述問題，我們引入散度的概念。(2)散度散度(di

12、vergence)的定義散度表示在場中一點(diǎn)處通量對體積的變化率，又稱為通量體密度。也就是在該點(diǎn)處對一個(gè)單位體積來說所穿過的通量，稱之為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度（散發(fā)通量或吸收通量的能力）。其符號的正負(fù)表示在該點(diǎn)處有散發(fā)通量之正源或有吸收通量之負(fù)源，其絕對值就相應(yīng)的表示在該點(diǎn)處散發(fā)通量或吸收通量的強(qiáng)度。對于流體來說，散度表示穩(wěn)定流動的不可壓縮流體在源點(diǎn)處的源頭強(qiáng)度，（單位時(shí)間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量）。(3)散度的性質(zhì)（1）與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，取決于場的分布。（2）在直角坐標(biāo)系下有3旋度（1）環(huán)量的定義： 設(shè)有矢量場，則沿場中某一閉合的有向曲線的曲線積分稱為此矢量場按積分所取方向沿曲線的環(huán)量。我們已知磁

13、場中有由上式可以知道，磁場的環(huán)量，為通過磁場中以為邊界的一塊面積的總的電流強(qiáng)度。顯然，僅此還不能了解磁場中任一點(diǎn)處通向任一方向的電流密度（即在點(diǎn)處沿的方向，通過與垂直的單位面積的電流強(qiáng)度）。為了研究這一類問題，我們引入環(huán)量面密度的概念。（2）環(huán)量面密度。設(shè)為矢量場中的一點(diǎn)，在點(diǎn)處取定一個(gè)方向，再過任作一微小曲面，以為其在點(diǎn)處的法矢，對此曲面，我們同時(shí)又以表其面積，其周界之正向取作與構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。則矢量場沿之正向的環(huán)量與面積之比，當(dāng)曲面在保持點(diǎn)于其上的條件下，沿著自身縮向點(diǎn)時(shí)，若的極限存在，則稱其為矢量場在點(diǎn)處沿方向的環(huán)量面密度（就是環(huán)量對面積的變化率），記作，即，例如，在磁場強(qiáng)度所構(gòu)成的磁

14、場中的一點(diǎn)處，沿方向的環(huán)量面密度，(電流密度) 。又如在流速場中的一點(diǎn)處，沿方向的環(huán)量面密度為即為在點(diǎn)處與成右手螺旋方向的環(huán)流對面積的變化率，稱為環(huán)流密度（或環(huán)流強(qiáng)度）。單位時(shí)間單位面積流走的電荷電量。從上面我們可以看出，環(huán)量面密度是一個(gè)和方向有關(guān)的概念，正如標(biāo)量場中的方向?qū)?shù)與方向有關(guān)一樣。然而在標(biāo)量場中，梯度矢量，在給定點(diǎn)處，它的方向表出了最大方向?qū)?shù)的方向， 其模即為最大方向?qū)?shù)的數(shù)值， 而且它在任意方向的投影，就給出該方向上的方向?qū)?shù)。這種情況，給我們一種啟示，能否找到這樣一種矢量，它與環(huán)量面密度的關(guān)系，正如梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系一樣。這個(gè)矢量我們稱之為旋度.下面，我們給出旋度的定義

15、，（3）旋度若在矢量場中的一點(diǎn)處存在這樣的一個(gè)矢量，矢量場在點(diǎn)處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個(gè)最大的數(shù)值，正好就是，則稱矢量為矢量場在點(diǎn)處的旋度(rotation, curl)，記作，即簡言之，旋度矢量在數(shù)值和方向上標(biāo)出了最大的環(huán)量面密度。(4)旋度的性質(zhì)（1）旋度與坐標(biāo)系的選取無關(guān)，只取決于場的分布；（2）旋度矢量在任一方向上的投影，就等于該方向上的環(huán)量面密度，即有。例子1:在磁場中，旋度是在給定處，它的方向乃是最大電流密度的方向，其模即為最大電流密度的數(shù)值，而且它在任一方向上的投影，就給出該方向上的電流密度。在電學(xué)上稱為電流密度矢量。例子2:在流速場中，旋度是在給定處，它的方向是最大環(huán)流

16、密度的方向，其模即為最大環(huán)流密度的數(shù)值，而且它在任一方向上的投影，就給出該方向上的環(huán)流密度。（3）在直角坐標(biāo)系中例題：設(shè)一剛體繞過原點(diǎn)的某個(gè)軸轉(zhuǎn)動，其角速度為，則剛體上的每一點(diǎn)處都具有線速度，從而構(gòu)成一個(gè)線速度場。由運(yùn)動學(xué)知道，矢徑為的點(diǎn)的線速度為，求線速度的旋度。解：由速度場的雅可比（Jacobi）矩陣得這說明，在剛體轉(zhuǎn)動的線速度場中，任一點(diǎn)的旋度，除去一個(gè)常數(shù)因子外：恰恰等于剛體轉(zhuǎn)動的角速度（旋度因此得名）。注，對于一個(gè)矢量，雅可比矩陣可以表示為其中對角元，之和為，其余六個(gè)正好是旋度的公式中所需要的。按照逆順序排列，每兩個(gè)作為一組求和，其中后面的偏導(dǎo)數(shù)前面加負(fù)號，并且按照的順序排列。四、幾

17、個(gè)重要定理1牛頓萊布尼茲定理（由方向?qū)?shù)的公式，得，從到取積分得到）2奧斯特羅格拉得斯基公式（或稱高斯（Gauss）公式，奧高公式）：閉曲面S為V的表面，等于乘以外法線方向單位矢量。（在矢量場中任取體積，包圍這個(gè)體積的閉合面為，用垂直于坐標(biāo)軸的三組平行面把體積分割成許多無限小的六面體（分割足夠細(xì)，可以看成六面體），由散度的定義可知，通過每個(gè)六面體表面的通量是，在所圍的體積中，小六面體的表面可以分成兩種：一種是內(nèi)部的面，它們每個(gè)同時(shí)是相鄰兩個(gè)小六面體的表面，但是對于這兩六面體，此面的法線方向應(yīng)當(dāng)是相反的，所以此面的通量對一個(gè)六面體來說是正的對另一個(gè)就是負(fù)的，因而在求和時(shí)，所有內(nèi)部的面上通量都互相

18、抵消，另一種是外部的面，它們是面的一部分，而且只是六面體的一個(gè)表面，所以求和時(shí)只剩下這部分通量的和，由此可見，上式的右邊就是通過面的通量即，最后得到）3.斯托克斯（stokes）公式：閉曲線為的邊界。方向與成右手螺旋關(guān)系。（在矢量場中，任取一個(gè)非閉合面，它的圓周界長度為，把任意分割為無數(shù)多的面積元，的邊界為，繞行的方向與的繞行方向相同，根據(jù)旋度的定義式，對于每個(gè)面積元矢量的線積分為，將此結(jié)果求和，沿小面積元的邊界取線積分時(shí)，內(nèi)部沿每兩個(gè)面積元的邊線都計(jì)算了兩次，而且積分的方向相反，在求和時(shí)這兩部分互相抵消，結(jié)果只剩下外邊與重合部分的積分值，因而得到，于是最后得到）4.標(biāo)量場本質(zhì)上可以由該場的梯

19、度確定，矢量場本質(zhì)上由該場的散度、旋度確定。五、微分算符（nabla，Hamilton，代爾）1.的性質(zhì)（1）算符性（約定被作用量放在算符的右側(cè)）（2）矢量性（3）一階微分性（4）直角坐標(biāo)系下，2.二次微商（1）證明：=0逆定理：反之，在單連通區(qū)域，如果某一矢量的旋度為零()，則矢量可表示為某個(gè)標(biāo)量的梯度，稱為矢量場的標(biāo)量勢。補(bǔ)：單連通區(qū)域的判定辦法：對于區(qū)域內(nèi)任意選取閉合回路，都能使之在區(qū)域內(nèi)連續(xù)收縮，若能收縮為區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)，則該區(qū)域?yàn)閱芜B通區(qū)域（1）無孔的三維空間單連通（2）三維空間抽出軸非單連通（3）三維空間挖出一個(gè)球單連通（4）三維空間挖出一個(gè)球殼非連通，球內(nèi)球外均為單連通，整體為非連

20、通區(qū)域。（5）（2）中去掉包含軸的半個(gè)空間單連通（6）除去包含閉合電路為邊界所張成的面后的空間單連通（2）證明：記憶：逆定理：如果某一矢量的散度為零（），則矢量可表為另一矢量的旋度 。 稱為矢量場的矢量勢（3）（4）證明：由故3.乘積場的微商，算子具有矢量性和微分性(I.18) (I.19) (I.20) (I.21) (I.22)(I.23)只要把看成具有矢量運(yùn)算和微分運(yùn)算雙重性質(zhì)的量，從這兩種運(yùn)算的特點(diǎn)考慮，即可得到上面這些式子。(I.18)作為一個(gè)矢量，與標(biāo)量相乘，結(jié)果應(yīng)是矢量，由于又是微分算子，因而它對的乘積的作用應(yīng)得。(I.19)作為微分算子，既要作用到上，又要作用到上 ，再考慮到的

21、矢量性質(zhì)，必須把點(diǎn)乘放在正確的位置上，不能有而應(yīng)得兩項(xiàng)。(I.20)與上式道理相同，作為微分算子既要作用到上，又要作用在上，但叉乘號必須放到正確位置上，因而得。(I.21)根據(jù)的微分性質(zhì)，應(yīng)分別作用到，上，可形式上寫為 而且還有矢量性質(zhì)，可通過矢量混合積的性質(zhì)改寫，使其分別直接作用到和上。由有 第二項(xiàng)不能寫成， 因要作用在上?？紤]到故得 (I.22) （微分性）由 因而由矢量性得， 因只作用在上 同理，最后得(I.23) （ 由微分性）而由 得 故 (括號里面的量一個(gè)一定在括號外，有一個(gè)一定在括號里面。其腳標(biāo)的量一定在括號內(nèi)，不是腳標(biāo)的量一定在括號外。表示對作用，因此一定在括號里面，因此有，然

22、后根據(jù)三個(gè)矢量叉乘進(jìn)行運(yùn)算分析即可。)同理于是 六、特別提醒以上應(yīng)用的微分運(yùn)算要嚴(yán)格按照要求，規(guī)范書寫。作業(yè)：書后習(xí)題1、2、3、4、5、6第二節(jié) -函數(shù)簡介本節(jié)是為了格林函數(shù)做基礎(chǔ)的，可視具體學(xué)時(shí)適當(dāng)刪減。一、電荷密度的函數(shù)表示1、數(shù)學(xué)上的函數(shù)定義 質(zhì)點(diǎn)處的函數(shù)定義為： ； 積分區(qū)域V為包含點(diǎn)的任意區(qū)域?？梢?，在點(diǎn)，必為無窮大，否則不可能使包圍點(diǎn)的小區(qū)域內(nèi)的積分為1。性質(zhì) (1) 選擇性，為原點(diǎn)附近的連續(xù)函數(shù)。為包含在內(nèi)的任意區(qū)域。 (2) 偶函數(shù)(3) 更一般的函數(shù)應(yīng)定義在附近： 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)性質(zhì)選擇性為點(diǎn)附近的連續(xù)函數(shù)，為包含點(diǎn)在內(nèi)的任意區(qū)域。2、電荷密度：通常電荷密度是與空間位置有關(guān)的有

23、限連續(xù)函數(shù)。如果不是有限連續(xù)的，例如點(diǎn)電荷（點(diǎn)電荷是體積很小,電荷密度很大的帶電小球的極限），或分布在一表面上或一曲線上的電荷，可用函數(shù)表示，因此我們可以用來表示一個(gè)點(diǎn)電荷的電荷密度為一組點(diǎn)電荷的電荷密度為一個(gè)在原點(diǎn)處的電偶極子的電荷密度為(函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，以電偶極子的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)電荷分別處于，于是當(dāng)，該體系的電荷密度為其中.)在曲線坐標(biāo)系中用函數(shù)表示電荷密度。例如，在球坐標(biāo)系中均與分布在半徑為的球殼上的電荷為，則電荷密度為在柱坐標(biāo)系中均勻分布于半徑為的圓柱面上每單位長度的電荷為，則電荷密度為二、一個(gè)有用的公式，（其中。由此得由庫侖定律：）這個(gè)式子在處是沒有意義的，那么這個(gè)式子代

24、表什么。原來一個(gè)封閉面的面積分是有意義的。右方等于，（如果積分面所包含的體積包含原點(diǎn)）；或等于零，（如果積分面所包含的體積不包含原點(diǎn)）。將上式改寫為如果體積包括原點(diǎn)，右方等于；如果體積不包含原點(diǎn)，右方等于零。因此可以用由于其中所選的體積任意則有這個(gè)式子的意義僅是原來的或0（視面所包含的體積是否包含原點(diǎn)）這個(gè)式子是有實(shí)際用途的。證明：（此種證明并不嚴(yán)謹(jǐn)）在即處，但在處其值是無窮大的，即它是一個(gè)函數(shù)。取以點(diǎn)為中心，半徑的小球面，由高斯定理，及球面元矢量，有由關(guān)于函數(shù)的定義，有（當(dāng)在內(nèi)），由于所選體積任意，因此。嚴(yán)謹(jǐn)證明：在球坐標(biāo)系中，。在點(diǎn)，奇異，上式不成立。因此是這樣一個(gè)函數(shù)，它在處的值為零，只有在點(diǎn)上可能不為零。我們采用極限的方法來求此積分作積分變數(shù)變換，可見上式極限存在其中利用代換，積分區(qū)間為。因此證明了。