第十二章微分方程

1、 教案序號：1授課時間 第1周 1 授課學(xué)時2教學(xué)內(nèi)容第十二章 微分方程§12.112.3微分方程的基本概念，可分離變量的方程，齊次方程教學(xué)目的與要求使學(xué)生了解微分方程的基本概念，熟練掌握分離變量的方法，學(xué)會解一般的齊次方程。教學(xué)重點與難點可分離變量的方程、齊次微分方程的解法。教學(xué)方法與手段傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合思考題與參考書高等數(shù)學(xué)講義樊映川編 如何求解可分離變量的方程、齊次微分方程？課后小結(jié)通過本次課程的教學(xué)，使學(xué)生了解微分方程的基本概念，熟練掌握分離變量的方法，學(xué)會解一般的齊次方程。講 授 內(nèi) 容 與 課 堂 組 織一、 什么是微分方程？1 定義 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的

2、方程稱為微分方程。若未知函數(shù)為一元函數(shù)，叫常微分方程。微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。2 什么是微分方程的解？如果一個函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等則稱此函數(shù)為該微分方程的解。 通解：如果微分方程的解中所含任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則此解稱為該微分方程的通解。 特解：在通解中給予任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為該微分方程的特解。 初值問題：求微分方程 f(x,y)滿足初始條件y|y的特解，這樣一個問題叫一階微分方程的初值問題。二、 如何求解微分方程？1 一階微分方程的解法： 一階微分方程的一般形式是：F（x,y, ）0,它的通解含有一個任意常數(shù)。 可分離變量的一階

3、微分方程：例如 - 解： 分離變量 - 兩邊積分 -lny- lnx + b 故 xyc就是所給微分方程的解。 可化為分離變量的一階微分方程（齊次方程） 例如 解微分方程 解：原方程可寫為： 令 u 則 x+ u x+ u 整理得 x 分離變量 du 兩邊積分整理得 yc 教案序號：2授課時間 第1周 2 授課學(xué)時2教學(xué)內(nèi)容第十二章 微分方程§12.412.6一階線性微分方程，可降階的高階方程。教學(xué)目的與要求使學(xué)生熟練掌握一階微分方程的公式解法，學(xué)會解一般的二次方程。教學(xué)重點與難點一階微分方程的公式解法。教學(xué)方法與手段傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合。思考題與參考書高等數(shù)學(xué)講義樊映川編 求

4、解一階微分方程的公式是什么？課后小結(jié)通過本次課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握一階微分方程的公式解法，學(xué)會解一般的二次方程。講 授 內(nèi) 容 與 課 堂 組 織 一階線性微分方程定義 形如+p(x)yq(x) 的微分方程稱為一階線性微分方程。若q(x) 0稱為一階線性齊次微分方程。若q(x) 0稱為一階線性非齊次微分方程。 一階線性齊次微分方程的通解為 yc (c為任意常數(shù)) 一階線性非齊次微分方程的通解為 ydx + c 例如 解 -y 解 由題意 所求微分方程的通解為 ydx + c 這里p(x)- q(x) dx 故所求微分方程的通解為 y + c講 授 內(nèi) 容 與 課 堂 組 織2. 二階微分方

5、程的解：二階微分方程的一般形式是：F(x,y,)0,它的通解含有兩個任意常數(shù)。 經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q可將二階降為一階的微分方程 形如 f(x)的微分方程，這種方程的通解可經(jīng)過兩次積分而求得。 不顯含未知函數(shù)y的二階微分方程：形如 f(x, ) 令p 不顯含自變量x的二階微分方程: 形如 f(y, ) 令p p 例 求微分方程滿足初始條件y|1 |1 的特解 解：令p p p 分離變量且兩邊積分得 -2x + 再由初始條件得 y即為所求之特解。 教案序號：3授課時間 第2周 1 授課學(xué)時2教學(xué)內(nèi)容第十二章 微分方程§12.8二階常系數(shù)齊次線性微分方程。教學(xué)目的與要求使學(xué)生熟練掌握二階常系數(shù)齊

6、次線性微分方程解法。教學(xué)重點與難點二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法。教學(xué)方法與手段傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合。思考題與參考書高等數(shù)學(xué)講義樊映川編如何求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程？課后小結(jié)通過本次課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法。講 授 內(nèi) 容 與 課 堂 組 織 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程的一般形式 + p + qy f(x) 其中p q是常數(shù)，f(x)是x的已知函數(shù)。當(dāng)f(x) 0時， + p + qy 0稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程。當(dāng)f(x) 0時， + p + qy f(x)稱為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程。（1） 二階常系數(shù)線性齊次微分方程

7、的解法： + p + qy 0 第一，根據(jù)特征方程+ pr + q 0求特征根第二，根據(jù)判別式的不同情況討論 + p +qy 0的解當(dāng)-4q0 則 + p + qy 0的通解為y + (,為任意常數(shù))當(dāng)-4q0 則 + p + qy 0的通解為y( + x) (,為任意常數(shù))當(dāng)-4q0 則 + p + qy 0的通解為y(cosx+sinx )(,為常數(shù)) 例1 求方程 -3 -10y 0的通解 解 特征方程-3r -10 0 -2 5原方程的通解為y + (,為任意常數(shù))例2 求方程 -4 +4y 0的通解 解 特征方程-4r +4 0 2原方程的通解為y( + x) (,為任意常數(shù))例3

8、求方程 -4 +13y 0的通解 解 特征方程-4r +13 0 2+3i 2-3i原方程的通解為y (cos3x + sin3x) (,為任意常數(shù)) 教案序號：4授課時間 第2周 2 授課學(xué)時2教學(xué)內(nèi)容第十二章 微分方程§12.9二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。教學(xué)目的與要求使學(xué)生熟練掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法。教學(xué)重點與難點二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法。教學(xué)方法與手段傳統(tǒng)教學(xué)與多媒體教學(xué)相結(jié)合。思考題與參考書高等數(shù)學(xué)講義樊映川編如何求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程？課后小結(jié)通過本次課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生熟練掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法。講 授 內(nèi) 容 與 課 堂

9、組 織(2)二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法： + p + qy f(x) 第一，根據(jù)特征方程+ pr + q 0求特征根第二，根據(jù)判別式的不同情況討論 + p +qy 0的通解又因為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解等于齊次微分方程的通解加上非齊次微分方程的特解 上次我們已經(jīng)討論了二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，現(xiàn)在我們只需要討論如何求非齊次微分方程的一個特解。下面僅對f(x)的兩種情況作一具體討論：（a） 若f(x)(x) (x)是多項式，r是常數(shù)。 + p + qy (x)的特解y(x) r0 -r不是特征根 r1-r是特征單根r2-r是特征重根（b） f(x)(x)cosx+(x)sinx (r ± i) + p + qy f(x) 的特解可設(shè)為ycosx+sinx其中,都是m次的多項式 mmaxl,n當(dāng)(r ± i)不是特征根時，設(shè)特解為 ycosx+sinx當(dāng)(r ± i)是特征根時，設(shè)特解為