第2529課時 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法

1、第2529課時：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法一復(fù)習(xí)目標：1了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念 2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個函數(shù)的最大(小)值的問題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用 3了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些

2、簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4了解復(fù)合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復(fù)合過程進行分解或?qū)讉€函數(shù)進行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會用法則解決一些簡單問題。二考試要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e, a,lnx, logx的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題（

3、一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三教學(xué)過程：（）基礎(chǔ)知識詳析導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:1導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。2關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。3導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。4曲線的切線在初中學(xué)過圓的切線，

4、直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當?shù)娜鐖D31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx直線與曲線C有惟一公共點M，但我們不能說直線與曲線C相切；而直線盡管與曲線C有不止一個公共點，我們還是說直線是曲線C在點N處的切線因此，對于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線5瞬時速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先指出：運動物體經(jīng)過某

5、一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度6導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時，都是以此為依據(jù)對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：(1)x是自變量x在 處的增量(或改變量)(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x0時，有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)(3)如果函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)

6、定義可知)反之不一定成立例如函數(shù)y=|x|在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴格按以下三個步驟進行：(1)求函數(shù)的增量；(2)求平均變化率；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)。7導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為8和（或差）的導(dǎo)數(shù)對于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求呢？我

7、們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。我們不難發(fā)現(xiàn)，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。由此我們猜測在一般情況下結(jié)論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。9積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個難點，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。（具體過程見課本P120）說明：（1）；（2）若c為常數(shù)，則(cu) =cu。10商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運用就可以?，F(xiàn)補充證明如下：設(shè)因為v(x)在點x處可導(dǎo)，所以它在點x處連續(xù)，于是x0時，v(x+x)v(x)，從而即。說明：（1）；（2）學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)

8、法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。11. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與為增函數(shù)的關(guān)系。能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時，與為增函數(shù)的關(guān)系。若將的根作為分界點，因為規(guī)定，即摳去了分界點，此時為增函數(shù)，就一定有。當時，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系。為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我

9、們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在

10、單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。（1）恒成立 為上 對任意 不等式 恒成立（2）恒成立 在上 對任意不等式 恒成立注意事項1導(dǎo)數(shù)概念的理解2利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對法則進行了證明。對于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對復(fù)合函數(shù)的的概念有一個初步的認識，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。3要能正確

11、求導(dǎo)，必須做到以下兩點：（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。（2）對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。4求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進行：（1）適當選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）；（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f()，=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)，中間變量對自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解求導(dǎo)回代。熟練以后，

12、可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。（）范例分析例1 在處可導(dǎo)，則思路： 在處可導(dǎo)，必連續(xù) 例2已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f(a)=b，求下列極限：（1）； （2）分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量x的形式是多種多樣，但不論x選擇哪種形式，y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：（1）（2）說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3觀察，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若為偶函數(shù) 令

13、 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù) 另證： 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)例4（1）求曲線在點（1，1）處的切線方程；（2）運動曲線方程為，求t=3時的速度。分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)。解：（1），即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1（2）。例5求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間（1）（2）（3）（4）解：（1）時，（2），（3） ，（4） 定義域為例6求證下列不等式（1）（2）（3）證：（1） 為上 恒成立 在上恒成立（2）原式 令 （3）令例7利用

14、導(dǎo)數(shù)求和：（1）；（2）。分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。解：（1）當x=1時，；當x1時，兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得即（2），兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。令x=1得，即。例8求滿足條件的（1）使為上增函數(shù)（2）使為上（3）使為上解：（1）時 也成立 （2）時 也成立 （3）例9（1）求證（2） 求證 （1）證：令原不等式 令 令 （2）令 上式也成立將各式相加 即 例10（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷，理工農(nóng)醫(yī)類19） 設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析：

15、本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力. 解：. 當時 .（i）當時，對所有，有.即，此時在內(nèi)單調(diào)遞增.（ii）當時，對，有，即，此時在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，函數(shù)在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增（iii）當時，令，即.解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.令，解得.因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗本第三冊P148）：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)。如果，則為常數(shù)。例11已知拋物線與直線y=

16、x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為和。（1）求A、B兩點的坐標；（2）求直線與的夾角。分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解 （1）由方程組解得 A(-2，0)，B(3，5)（2）由y=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為，根據(jù)兩直線的夾角公式，所以說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。例12（2001年天津卷）設(shè)，是上的偶函數(shù)。（I）求的值；（II）證明在上是增函數(shù)。解：（I）依題意，對一切有，即，對一切成立，由此得到，又，。（II）證明：由，得，當時，有，此時。在上是增函數(shù)。例13（2000年全國、天津卷）設(shè)函數(shù)，其

17、中。（I）解不等式；（II）證明：當時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。（II）作差比較（略）。解2：（i）當時，有，此時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但，因此，當且僅當時，。（ii）當時，解不等式，得，在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。解方程，得或，當且僅當時，綜上，（I）當時，所給不等式的解集為：；當時，所給不等式的解集為：。（II）當且僅當時，函數(shù)在區(qū)間上時單調(diào)函數(shù)。例14（2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課程卷理科類20） 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點處的切線為。 （）求的方程；（）設(shè)與軸的交點為，證明：若，則解：（1）的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，（2）依題得

18、，切線方程中令，得，其中，（）由，有，及，當且僅當時，。（）當時，因此，且由（），所以。例15（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷21） 已知為正整數(shù). （）設(shè)； （）設(shè)分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運用所數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。證明：（）因為，所以（）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù):即對任意（）、強化訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)，則等于（）A B C D2若，則等于（）A B C3 D23曲線上切線平行于x軸的點的坐標是（ ）A（-1，2）B（1，-2） C（1，2） D（-1，2）或（1，-2）4若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點（4，f（4）處的切線

19、的傾斜角為（ ）A90B0 C銳角 D鈍角5函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是（ ）A5，15B5，4C4，15D5，166一直線運動的物體，從時間t到t+t時，物體的位移為s，那么為（ ）A從時間t到t+t時，物體的平均速度B時間t時該物體的瞬時速度C當時間為t 時該物體的速度D從時間t到t+t時位移的平均變化率7關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）A在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)B在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù)C在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù)D在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)8對任意x，有，f(1)=-1，則此函數(shù)為（ ）A B C D9函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是（

20、 ） A.5 , -15B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -1610設(shè)f(x)在處可導(dǎo)，下列式子中與相等的是（）（1）； （2）； （3）（4）。A（1）（2） B（1）（3） C（2）（3） D（1）（2）（3）（4）11（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷理工農(nóng)醫(yī)類16）f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下 列關(guān)于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ）A若a0,則函數(shù)g（）的圖象關(guān)于原點對稱.B若a=1，2b0,則方程g（）=0有大于2的實根.C若a0,b=2,則方程g（）=0有兩個實根.D若a1,b2,則方程g（）=0有三個

21、實根.12若函數(shù)f(x)在點處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對應(yīng)的曲線在點處的切線方程是_。13設(shè)，則它與x軸交點處的切線的方程為_。14設(shè)，則_。15垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線相切的直線的方程是_16已知曲線，則_。17y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是18曲線在點處的切線方程為_。19P是拋物線上的點，若過點P的切線方程與直線垂直，則過P點處的切線方程是_。 20在拋物線上依次取兩點，它們的橫坐標分別為，若拋物線上過點P的切線與過這兩點的割線平行，則P點的坐標為_。21曲線在點A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點處的切線方程。22在拋物線上求一點P，使過點P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。

22、23判斷函數(shù)在x=0處是否可導(dǎo)。24求經(jīng)過點（2，0）且與曲線相切的直線方程。25求曲線y=xcosx在處的切線方程。26已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且fx=g(x)，f(5)=30，求g(4).27已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。28設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，求f(1)。29求曲線在點處的切線方程。30求證方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根31 、均為正數(shù) 且求證：32（1）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)（a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。33證明：如果函數(shù)y=f(x)在點處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點

23、處連續(xù)。34（2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課程卷文史類21） 已知函數(shù)，設(shè)，記曲線在點處的切線為。（）求的方程；（）設(shè)與軸的交點為，證明：；若，則。（）、參考答案15 CBDCA； 610 BDBAB；11 B1213y=2(x-1)或y=2(x+1) 14-6153x+y+6=01617(-,-2)與(0,+ ) 18192x-y-1=020（2，4）21由導(dǎo)數(shù)定義求得，令，則x=1。當x=1時，切點為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；當x=-1時，則切點坐標為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。22由導(dǎo)數(shù)定義得f(x)=2x，設(shè)曲線上P點的坐標為，則該點處切線的斜率為，根據(jù)夾角公式有解得或