第四描述圖的曲率

1、第四講 圖形描繪 曲率授課題目：§3.6函數(shù)圖形的描繪§3.7曲率教學(xué)目的與要求：1.掌握函數(shù)作圖的方法和步驟，會(huì)描繪簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形2.了解并會(huì)計(jì)算曲率及曲率半徑教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：曲率及曲率半徑的定義難點(diǎn)：曲率及曲率半徑的應(yīng)用講授內(nèi)容： 一、函數(shù)圖形的描繪將前面關(guān)于函數(shù)性態(tài)討論的結(jié)果應(yīng)用到函數(shù)的作圖上，可以把函數(shù)的圖形畫得比較準(zhǔn)確 利用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的一般步驟如下； 第一步 確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等）； 第二步 求和及和的根或和不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間； 第三步 根據(jù)和符號(hào)，確定函數(shù)圖形的升降和凹凸，極值點(diǎn)

2、和拐點(diǎn)；第四步 找水平漸近線 或鉛直漸近線 或第五步 找特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、的間斷點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)），有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn).例1 畫出函數(shù)的圖形解 (1)定義域?yàn)?)， ，的零點(diǎn)為、1； 的零點(diǎn)為，(2)將點(diǎn)，1由小到大排列，依次把定義域()劃分成下列四個(gè)部分區(qū)間： ()， (3)列表如下：（）（）（）1（）+00+0+的圖形極大拐點(diǎn)極大 (4) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(5) 算出處的函數(shù)值： （），（），（）. 適當(dāng)補(bǔ)充一些點(diǎn)如計(jì)算出 ，就可補(bǔ)充描出點(diǎn)（），點(diǎn)（0，1）和點(diǎn)（）.結(jié)合（3）、（4）中得到的結(jié)果，畫出的圖形（圖4）.圖4例5 描繪函數(shù)的圖形解(1)定義域?yàn)椋ǎ?(2)是偶函數(shù)，只討

3、論上該函數(shù)的圖形（3） ，令 ； . 令 列表：0（0，1）1（）00+的圖形極大拐點(diǎn)(4)由于，所以圖形有一條水平漸近線(5)算出，又，得函數(shù)圖形上的三點(diǎn)，和.畫出函數(shù)在上的圖形最后，利用圖形的對(duì)稱性，便可得到函數(shù)在上的圖形(圖5) 圖5二、弧微分 作為曲率的預(yù)備知識(shí)，先介紹弧微分的撅念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在曲線上取固定點(diǎn)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)(圖1)，并規(guī)定依增大的方向作為曲線的正向?qū)η€上任一點(diǎn)，規(guī)定有向弧段的值(簡(jiǎn)稱為弧)如下：的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)，相反時(shí)顯然，弧是的函數(shù)：，而且是的單調(diào)增加函數(shù)下面來(lái)求的導(dǎo)數(shù)及微分圖1 設(shè)為()內(nèi)兩個(gè)鄰近

4、的點(diǎn)它們?cè)谇€上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(圖320)，并設(shè)對(duì)應(yīng)于的增量，弧的增量為那末.于是 ， .令取極限，由于時(shí)，這時(shí)弧的長(zhǎng)度與弦的長(zhǎng)度之比的極限等于1，即，又，因此得由于是單調(diào)增加函數(shù)，從而根號(hào)前應(yīng)取正號(hào)，于是有 這就是弧微分公式三、曲率及其計(jì)算公式 我們直覺(jué)地認(rèn)識(shí)到；直線不彎曲，半徑較小的圓彎曲得比半徑較大的圓厲害些，而其他曲線的不同部分有不同的彎曲程度，例如拋物線在頂點(diǎn)附近彎曲得比遠(yuǎn)離頂點(diǎn)的部分厲害些 在工程技術(shù)中，有時(shí)需要研究曲線的彎曲程度例如，船體結(jié)構(gòu)中的鋼梁，機(jī)床的轉(zhuǎn)軸等，它們?cè)诤奢d作用下要產(chǎn)生彎曲變形，在設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)它們的彎曲必須有一定的限制，這就要定量地研究它們的彎曲程度為此首先要討論如何用

5、數(shù)量來(lái)描述曲線的彎曲程度 在圖2中可以看出，弧段比較平直，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿這段弧從移動(dòng)到時(shí)，切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度不大，而弧段，彎曲得比較厲害，角就比較大圖2圖3 但是，切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度的大小還不能完全反映曲線彎曲的程度例如，從圖3中可以看出，兩段曲線及盡管切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是，然而彎曲程度并不相同，短弧段比長(zhǎng)弧段彎曲得厲害些由此可見(jiàn)，曲線弧的彎曲程度還與弧段的長(zhǎng)度有關(guān) 按上面的分析，我們引入描述曲線彎曲程度的曲率概念如下圖4 設(shè)曲線C是光滑，在曲線C上選定一點(diǎn)作為度量弧的基點(diǎn)設(shè)曲線上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧，在點(diǎn)M處切線的傾角為(這里假定曲線C所在的平面上已設(shè)立了坐標(biāo)系)，曲線上另外一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于弧，在點(diǎn)處切線的傾角為(圖4)

6、，那未，弧段的長(zhǎng)度為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從M移動(dòng)到時(shí)切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為我們用比值，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度的大小來(lái)表達(dá)弧段的平均彎曲程度，把這比值叫做弧段的平均曲率、并記作，即.類似于從平均速度引進(jìn)瞬時(shí)速度的方法，當(dāng)時(shí)(即時(shí))，上述平均曲率的極限叫做曲線C在點(diǎn)M處的曲率，記作K，即.在存在的條件下，K也可以表示為 . (2) 對(duì)于直線來(lái)說(shuō)切線與直線本身重合當(dāng)點(diǎn)沿直線移動(dòng)時(shí)，切線的傾角不變(圖5)，而從而，這就是說(shuō)，直線上任意點(diǎn)M處的曲率都等于零，這與我們直覺(jué)認(rèn)識(shí)到的“直線不彎曲”一致圖5圖6設(shè)圓的半徑為由圖6可見(jiàn)在點(diǎn)M、處圓的切線所夾的角等于中心角但，于是,從而.因?yàn)辄c(diǎn)M是圓上任意取定的點(diǎn)，上述結(jié)論表示圓

7、上各點(diǎn)處的曲率都等于半徑r的倒數(shù)，這就是說(shuō)，圓的彎曲程度到處一樣，且半徑越小曲率越大，即圓彎曲得越厲害 在一般情況下，我們根據(jù)(2)式來(lái)導(dǎo)出便于實(shí)際計(jì)算曲率的公式設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是，且具有二階導(dǎo)數(shù)(這時(shí)連續(xù)，從而曲線是光滑的)因?yàn)?，所?， ，于是 .又由(1)知道 .從而，根據(jù)曲率K的表達(dá)式(2)，有 (3)設(shè)曲線由參數(shù)方程,給出，則可利用由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法,求出及，代入（3）便得 （4）例1 計(jì)算等邊雙曲線在點(diǎn)(1，1)處的曲率解 由得 .因此， 把它們代人公式(3)，便得曲線在點(diǎn)(1，1)處的曲率為 .例2 拋物線上哪一點(diǎn)處的曲率最大?解 由，得 ，代人公式(3)，得 .

8、因?yàn)镵的分子是常數(shù)，所以只要分母最小，K就最大容易看出，當(dāng)，即時(shí)，K的分母最小，因而K有最大值而所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)因此，拋物線在原點(diǎn)處的曲率最大在有些實(shí)際問(wèn)題中，同1比較起來(lái)是很小的（有的工程書上把這種關(guān)系記成<<1，可以忽略不計(jì)這時(shí)，由 ，而有曲率的近似計(jì)算公式 .這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，曲率K近似于.經(jīng)過(guò)這樣簡(jiǎn)化后，對(duì)一些復(fù)雜問(wèn)題的計(jì)算和討論就方便多了四、曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線在點(diǎn)M()處的曲率為K().在點(diǎn)M處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取點(diǎn)D，使.以D為圓心為半徑作圓(圖7)，這個(gè)圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率中心，曲率圓的半徑做曲線在點(diǎn)M處

9、的曲率半徑圖7按上述規(guī)定可知，曲率圓與曲線在點(diǎn)M有相同的切線和曲率，且在點(diǎn)M鄰近有相同的凹向因此，在實(shí)際問(wèn)題中，常常用曲率圓在點(diǎn)M鄰近的段圓弧來(lái)近似代替曲線弧，以使問(wèn)題簡(jiǎn)化按上述規(guī)定，曲線在點(diǎn)M處的曲率與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑有如下關(guān)系： .這就是說(shuō)；曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為例數(shù)例3 沒(méi)工件內(nèi)表面的截線為拋物線(圖8)現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？圖8解 為了在磨削時(shí)不使砂輪與工件接觸處附近的那部分工件磨去太多，砂輪的半徑應(yīng)不大于曲線上各點(diǎn)處曲率半徑中的最小值由本節(jié)例2知道，拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率最大，也就是說(shuō)，拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率半徑最小因此，只要求出拋物線在頂點(diǎn)O(0，0)處的曲率半徑由 ，而有 把它們