知識(shí)點(diǎn)總結(jié)高等代數(shù)

1、第二章行列式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一行列式定義1、n級(jí)行列式（1）等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積（2）的代數(shù)和，這里是一個(gè)n級(jí)排列。當(dāng)是偶排列時(shí)，該項(xiàng)前面帶正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，該項(xiàng)前面帶負(fù)號(hào)，即：。2、等價(jià)定義和3、由n級(jí)排列的性質(zhì)可知，n級(jí)行列式共有項(xiàng)，其中冠以正號(hào)的項(xiàng)和冠以負(fù)號(hào)的項(xiàng)（不算元素本身所帶的負(fù)號(hào)）各占一半。4、常見的行列式1）上三角、下三角、對(duì)角行列式2）副對(duì)角方向的行列式3）范德蒙行列式：二、行列式性質(zhì)1、行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)數(shù)，等于用這個(gè)數(shù)乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的

2、公因子可以提到整個(gè)行列式的外面。4、若行列式中有兩行成比例，則此行列式等于零。5、若某一行（列）是兩組數(shù)之和，則這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式之和，而這兩個(gè)行列式除這一行（列）以外全與原來行列式的對(duì)應(yīng)的行（列）一樣。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上，行列式不變。三、行列式的按行（列）展開1、子式1）余子式：在n級(jí)行列式中，去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1級(jí)行列式稱為的余子式，記作。2）代數(shù)余子式：稱為的代數(shù)余子式。3）級(jí)子式：在n級(jí)行列式中，任意選定行和列，位于這些行列交叉處的個(gè)元素，按原來順序構(gòu)成一個(gè)級(jí)行列式M，稱為D的一個(gè)級(jí)子式。當(dāng)時(shí)，在D中

3、劃去這行和列后余下的元素按照原來的次序組成的級(jí)行列式稱為級(jí)子式M的余子式。2、按一行（列）展開1）行列式任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值，即按第i行展開按第j列展開2）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等零，即或3、按行（列）展開拉普拉斯定理：在n級(jí)行列式中，任意取定個(gè)行（列），由這行（列）元素組成的所有的級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值。4、其他性質(zhì)1）設(shè)為n階方陣，則；2）設(shè)為n階方陣，則；3）設(shè)為n階方陣，則，但；4）設(shè)為階方陣，設(shè)為n階方陣，則，但。5）行列式的乘法定理：兩個(gè)n級(jí)行列式乘積等于n級(jí)行列式四、

4、行列式的計(jì)算1、計(jì)算行列式常用方法：定義法、化三角形法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法、拉普拉斯定理等等。具體計(jì)算時(shí)需要根據(jù)等到式中行（或列）元素的特點(diǎn)來選擇相應(yīng)的解題方法。方法一：遞推法分為直接遞推法和間接遞推法。用直接遞推法的關(guān)鍵是找出一個(gè)關(guān)于的代數(shù)式來表示，依次從，逐級(jí)遞推便可以求出的值。方法二：數(shù)學(xué)歸納法。第一步發(fā)現(xiàn)和猜想；第二步證明猜想的正確性。第二步的關(guān)鍵是首先要得到關(guān)于和的遞推關(guān)系式。方法三：加邊法。加邊法是將所要計(jì)算的n級(jí)行列式適當(dāng)?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ騧行m列）得到一個(gè)新的n+1（或m+1）級(jí)行列式，保持行列式的值不變，但是所得到的n+1（或m+1）級(jí)行列式較易計(jì)算。其一般做法如下：或特殊情

5、況取或。方法四：拆行（列）法。將所給的行列式拆成兩上或若干個(gè)行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有兩種情況：一是行列式中有某行（列）是兩項(xiàng)之和，可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng)；二是所給行列式中行（列）沒有兩項(xiàng)和形式，這時(shí)需作保持行列式值不變，使其化為兩項(xiàng)和。方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個(gè)參變數(shù)）的多項(xiàng)式，那么可以將行列式D當(dāng)作一個(gè)多項(xiàng)式，然后對(duì)行列式實(shí)行某些變換，求出的互素的一次因式，使得與這些因式的乘積只相差一個(gè)常數(shù)因子c，根據(jù)多項(xiàng)式相等的定義，比較與的某一項(xiàng)系數(shù)，求出c值，便可求得。2、行列式計(jì)算中常用的類型：類型一：“兩條線”型行列式（非零元分布在兩條線上，例如，

6、等等）。注：“兩條線”型行列式一般采取直接展開降階法計(jì)算，或用拉普拉斯定理展開，降階后的行列式或?yàn)槿切涡辛惺?，或得到一個(gè)遞推公式。類型二：“三條線”行列式（非零元分布在三條線上）。（1）“三對(duì)角”行列式（）。注：“三對(duì)角”行列式可以按如下方法進(jìn)行求解。首先得到一個(gè)一般的遞推公式，然后可以用以下兩種方法之一求出的表達(dá)式：l 先計(jì)算等，找出規(guī)律進(jìn)行猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。l 間接遞推法：借助于行列式中元素的對(duì)稱性，交換行列式構(gòu)造出關(guān)于和的方程組，從而消去就可解得。（2）“爪型”行列式（）。注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化為上（下）三角形行列式進(jìn)行求解。（3）Hessenerg型行列式（）。類型三：各行（列）元素之和相等（或多數(shù)相等僅個(gè)別不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化為三角形行列式進(jìn)行求解。類型四：除主對(duì)角線外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再結(jié)合其他方法進(jìn)行求解。類型五：可利用范德蒙行列式計(jì)算的行列式。類型六：其他形式行列式。五、克萊姆法則1、克萊姆法則：如果含有n個(gè)未知量的n個(gè)方程的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零