研究生入學(xué)考試題—線(xiàn)性變換

1、2003年研究生入學(xué)考試題線(xiàn)性變換20030106設(shè)三維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換在基下的矩陣為，則在基下的矩陣為 。200301015 （15分）設(shè)是n維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換，與分別表示的值域與核，證明下列條件等價(jià)：（1）；（2）；（3）若是的一組基，則是的一組基；（4）秩=秩.（注：表示直和）20030116 （24分）設(shè)是n維線(xiàn)性空間V上的線(xiàn)性變換，記，。求證下列命題等價(jià)：（1）；（2）；（3）；（4）。20030126（13分）設(shè)A為n維線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換關(guān)于某基的矩陣，證明：的秩A的秩當(dāng)且僅當(dāng)。 200300106 給定上二維線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換，在一組基下的矩陣表示為求的不變子空間。

2、200300205 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)維線(xiàn)性空間，是的一個(gè)基，用表示由生成的線(xiàn)性子空間，令（1） 證明是的子空間（2） 證明，（3） 設(shè)上線(xiàn)性變換在基下的矩陣是置換矩陣（即：的每一行與每一列都只有一個(gè)元素為1，其余元素全為0），證明與都是的不變子空間。200300206 設(shè)是維線(xiàn)性空間上可逆線(xiàn)性變換，（1） 試證的逆變換可表成的多項(xiàng)式。（2） 如令為的特征多項(xiàng)式，試證當(dāng)多項(xiàng)式與互素時(shí)，是可逆線(xiàn)性變換。200300309 設(shè)和是向量空間的子空間，且有（即是與的直和），若定義映射： 其中. 證明：1）是的線(xiàn)性變換；2）3） （零變換）， （的恒等變換）.2003015 1-(1)已知中線(xiàn)性變換A對(duì)基的作用為.則A在下的矩陣為 .2003015 2. P為數(shù)域,A為的線(xiàn)性變換,A,且對(duì)任,有AX=XA,求A的全部特征值.若,V中是否存在一組基,使A在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣?為什么?20030060104設(shè)，其中為任意3維實(shí)向量，則線(xiàn)性變換在下的矩陣表示為20030060302設(shè)是n維線(xiàn)性空間的一組基，對(duì)任意n個(gè)向量，證明：存在唯一的線(xiàn)性變換T使得200300703設(shè)V是數(shù)域P上的3維線(xiàn)性空間，線(xiàn)性變換在V的基下的矩陣為（1） 求線(xiàn)性變換在V的基下的矩陣（2） 求線(xiàn)性變換的特征值和特征向量（3） 線(xiàn)性變換可否在V的某組基下矩陣為對(duì)角形，為什么？20030070