量子力學(xué)試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 量子力學(xué)試題（一）及答案 一. （20分）質(zhì)量為的粒子，在一維無(wú)限深勢(shì)阱中 中運(yùn)動(dòng)，若時(shí)，粒子處于 狀態(tài)上，其中，為粒子能量的第個(gè)本征態(tài)。（1） 求時(shí)能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率；（2） 求時(shí)的波函數(shù)及能量的可測(cè)值與相應(yīng)的取值幾率解：非對(duì)稱一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的本征解為 （1） 首先，將歸一化。由 可知，歸一化常數(shù)為 于是，歸一化后的波函數(shù)為 能量的取值幾率為 能量取其它值的幾率皆為零。（2） 因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)的波函數(shù)為 （3） 由于哈密頓量是守恒量，所以時(shí)的取值幾率與時(shí)相同。 二. （20分）質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)，若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一

2、個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度。解：對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為 其中， 在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件 得到 于是有 此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于 故 ， 最后，得到勢(shì)阱的寬度 三.（20分）設(shè)厄米特算符的本征矢為，構(gòu)成正交歸一完備系，定義一個(gè)算符 （1） 計(jì)算對(duì)易子；（2） 證明；（3） 計(jì)算跡；（4） 若算符的矩陣元為，證明 解： （1）對(duì)于任意一個(gè)態(tài)矢，有 故 （2） （3）算符的跡為 （4）算符 而 四. （20分）自旋為、固有磁矩為（其中為實(shí)常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場(chǎng)中，設(shè)時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，（1） 求出時(shí)的波函數(shù)；（2） 求出時(shí)與的可測(cè)值及相應(yīng)的取值幾率

3、。解：體系的哈密頓算符為 在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為 在時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，即 而滿足的本征方程為 解之得 由于，哈密頓算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為 （2）因?yàn)椋允鞘睾懔?，它的取值幾率與平均值不隨時(shí)間改變，換句話說(shuō)，只要計(jì)算時(shí)的取值幾率就知道了時(shí)的取值幾率。由于 ；故有 而的取值幾率為 五. （20分） 類氫離子中，電子與原子核的庫(kù)侖相互作用為 （為核電荷）當(dāng)核電荷變?yōu)闀r(shí)，相互作用能增加，試用微擾論計(jì)算它對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。 解：已知類氫離子的能量本征解為 式中，為玻爾半徑。能量的一級(jí)修正為 由維里定理知 總能量 所以，得到 微擾論近似到一級(jí)的能量為 而嚴(yán)格解為

4、量子力學(xué)試題（二）及答案一、（20分）在時(shí)刻，氫原子處于狀態(tài)式中，為氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。計(jì)算時(shí)能量的取值幾率與平均值，寫(xiě)出時(shí)的波函數(shù)。解：氫原子的本征解為 其中，量子數(shù)的取值范圍是；，由波函數(shù)歸一化條件可知?dú)w一化常數(shù)為不為零的能量取值幾率為；能量平均值為當(dāng)時(shí)，波函數(shù)為二、 （20分）設(shè)粒子處于一維勢(shì)阱之中 式中，。導(dǎo)出能量本征值滿足的超越方程，進(jìn)而求出使得體系至少存在一個(gè)束縛態(tài)的值。 解：對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，利用波函數(shù)再處的連接條件知，在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件得到 于是有 此即能量滿足的超越方程。 由于，余切值是負(fù)數(shù)，所以，角度在第2、4象限。超越方程也

5、可以改寫(xiě)成式中， 因?yàn)椋?，若要上式有解，必須要?當(dāng)時(shí)，于是，有整理之，得到 三、（20分）在動(dòng)量表象中，寫(xiě)出線諧振子的哈密頓算符的矩陣元。 解：在坐標(biāo)表象中，線諧振子的哈密頓算符為在動(dòng)量表象中，該哈密頓算符為由于動(dòng)量的本征函數(shù)為，故哈密頓算符的矩陣元為 四、（20分）設(shè)兩個(gè)自旋為非全同粒子構(gòu)成的體系，哈密頓量， 其中，為常數(shù)，與分別是粒子1和粒子2的自旋算符。已知時(shí)，粒子1的自旋沿軸的負(fù)方向，粒子2的自旋沿軸的正方向，求時(shí)測(cè)量粒子1的自旋處于軸負(fù)方向的幾率和粒子2的自旋處于軸負(fù)方向的幾率。 解： 體系的哈密頓算符為選擇耦合表象，由于，故四個(gè)基底為；在此基底之下，哈密頓算符是對(duì)角矩陣，即可

6、以直接寫(xiě)出它的解為， ， ， ， 已知時(shí)，體系處于因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故時(shí)刻的波函數(shù)為粒子1處于軸負(fù)方向的幾率為而粒子2處于軸負(fù)方向的幾率為五、 （20分）作一維運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)哈密頓算符為時(shí)，能量本征值與本征矢分別為與，如果哈密頓算符變成（為實(shí)參數(shù)）時(shí)， （1）利用費(fèi)曼海爾曼定理求出嚴(yán)格的能量本征值。 （2）若，利用微擾論計(jì)算能量本征值到二級(jí)近似。解：首先，利用費(fèi)因曼赫爾曼定理求出嚴(yán)格的能量本征值。視為參變量，則有利用費(fèi)因曼-赫爾曼定理可知又知在任何束縛態(tài)下，均有所以，進(jìn)而得到能量本征值滿足的微分方程對(duì)上式作積分，得到利用時(shí)，定出積分常數(shù)最后，得到的本征值為其次，用微擾論計(jì)算能量的近似解

7、。已知滿足的本征方程為由可知第個(gè)能級(jí)的一級(jí)修正為能量的二級(jí)修正為為了求出上式右端的求和項(xiàng)，在表象下計(jì)算可以證明，對(duì)于任意實(shí)束縛態(tài)波函數(shù)，有于是，得到得到近似到二級(jí)的解為量子力學(xué)試題（三）及答案一、（20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài) 其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫(xiě)出時(shí)的波函數(shù)。 解 已知?dú)湓拥谋菊髦禐?， （1）將時(shí)的波函數(shù)寫(xiě)成矩陣形式 （2）利用歸一化條件 （3）于是，歸一化后的波函數(shù)為 （4）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （5）能量平均值為 （6）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （7）自旋分量的平均值為 （8） 時(shí)的波函數(shù) （9）二.

8、（20分） 質(zhì)量為的粒子在如下一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng) 若已知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度。解 對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為 （1）其中， （2）利用波函數(shù)再處的連接條件知，。在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件 （3）得到 （4）于是有 （5）此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于 （6）故 （7）最后得到勢(shì)阱的寬度 （8）三、（20分） 證明如下關(guān)系式（1）任意角動(dòng)量算符滿足 。證明 對(duì)分量有同理可知，對(duì)與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影算符是一個(gè)厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明 在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為 而投影算符的共軛算

9、符的矩陣元為 顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明 四、（20分） 在與表象中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)的子空間中，分別計(jì)算算符、與的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解 在與表象下，當(dāng)軌道角動(dòng)量量子數(shù)時(shí)，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角元為相應(yīng)的本征值，于是有 （1）相應(yīng)的本征解為 （2）對(duì)于算符、而言，需要用到升降算符，即 （3）而 （4）當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對(duì)角元皆為零，并且， （5）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即 （6）于是得到算符、的矩陣形式如下 （7）滿足的本

10、征方程為 （8）相應(yīng)的久期方程為 （9）將其化為 （10）得到三個(gè)本征值分別為 （11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （12）滿足的本征方程為 （13）相應(yīng)的久期方程為 （14）將其化為 （15）得到三個(gè)本征值分別為 （16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （17）五、（20分） 由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。 提示： 線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為 式中， 。解 體系的哈密頓算符為 （1）其中 （2）已知的解為 （3）其中 （4）將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫(xiě)出來(lái) （5） 對(duì)于