清華大學(xué)波與振動(dòng)習(xí)題

1、 振動(dòng)與波練習(xí)(預(yù)告) 大學(xué)物理學(xué)習(xí)題討論課指導(dǎo)(上冊(cè)) (P154) 4，5，第二版(P150) 5，(P151) 6； (P155) 6， 第二版(P151) 7； (P162) 2題中(2)改為畫(huà)t = 0時(shí)的波形 曲線， 第二版(P160) 2； (P163) 5，第二版(P161) 5； (P169) 3，第二版(P168) 3； (P171) 5，第二版(P170) 6；注：黑色字為該書(shū)第一版(紫色封面)題號(hào)；藍(lán)色字為該書(shū)第二版(綠色封面)上同題題號(hào)；振動(dòng)與波練習(xí)(解答)(P154) 4 1.求j三方法：解析法；曲線法；旋轉(zhuǎn)矢量法。 -AtxTabA/2o··A

2、(1)解析法已知：t = 0時(shí) x0 = A/2 u0 > 0由 x0 = Acosj u0= -wA sinj 得 j = -p/3txTab··T/6輔助曲線(j輔=0)o(2)曲線法先畫(huà)輔助曲線(j輔= 0)；然后比較輔助曲線和已知曲線：已知的曲線時(shí)間落后T/6，則位相落后p/3，故已p/3A ta tb t =0xo·A/2知振動(dòng)的初相j = -p/3 。(3)旋轉(zhuǎn)矢量法 由圖j = -p/3。2. 求a、b點(diǎn)的位相·a點(diǎn)：xa = A；ua = 0，可得位相 = 0。· b點(diǎn)：xb = 0；ub = -wA，可得位相 = p/2

3、。由解析法亦可。3.求從t = 0到a、b兩態(tài)的時(shí)間 由旋轉(zhuǎn)矢量圖知，· 從t = 0到a態(tài)，矢量轉(zhuǎn)過(guò) p/3， 故 Dta = T/6· 從t = 0到b態(tài)，矢量轉(zhuǎn)過(guò) p/3 + p/2， 故 Dtb = 5T/12RokRok y o · m y0 f0Rok y o · yT f mgT ¢ f ¢ · · · (P154) 5 動(dòng)力學(xué)解題兩方法：受力法；能量法。1. 受力法：分析物體在任一位置時(shí)受力d2yd t2mg - T = m (1) 對(duì)m 對(duì)輪 TR - fR = Jb (2) 另 f =

4、 k( y0 + y ) f 0 = k y0 = mg a = b R d t2+ ( ) y = 0 d2ykR2J + mR2 可得 說(shuō)明振動(dòng)是SHM，其角頻率為kR2J + mR2 w = Ö 2. 能量法：分析物體在任一位置時(shí)系統(tǒng)的 能量。·勢(shì)能零點(diǎn)：平衡位置。m( )2 + Jw角2 - m gy + k(y0+ y)2 = const. dyd t121212· 兩邊求導(dǎo)，并用 k y0 = mg；u = w角R，d t2+ ( ) y = 0 d2ykR2J + mR2 可得 y y y y o rS(P155) 6 用能量法· 勢(shì)能零點(diǎn)

5、：平衡位置。· 勢(shì)能：(rSy)gy· 系統(tǒng)能量：dyd tm( )2 + rS gy 2 = const. 12 ·兩邊求導(dǎo)，得d t2+ ( ) y = 0 d2y2rSgm ·角頻率為2rSg m w = Ö2g L = Ö L為液體總長(zhǎng)度，m = rSL (P162) 2已知x = 0處質(zhì)元(波源)的振動(dòng)曲線o2-2t(s)x(cm)1234x = 0·· 此曲線初相 = ？ 1.畫(huà)x = 25m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線· 由圖 T = 4 s ；知l = uT = 20m· x = 0處質(zhì)元的

6、初相 jo = - p/2 · x = 25m處質(zhì)元的初相 x = 25m處質(zhì)元的位相比x = 0處質(zhì)元的 落后多少？ Dj = k×25 = 2.5p，(波數(shù)k = 2p/l = p/10) x = 25m處質(zhì)元的初相j 25 = - 3p = - p2t(s)x(cm)123x = 25mo-24· x = 25m處質(zhì)元 的振動(dòng)曲線 也可先列出振動(dòng)表達(dá)式再畫(huà)振動(dòng)曲線： ·x = 0處質(zhì)元(波源)的振動(dòng)表達(dá)式 x(0, t) = 2 cos(wt - p/2) cm·x = 25m處質(zhì)元的振動(dòng)表達(dá)式x(25, t) = 2 cos(wt -

7、p/2- k×25) cm = 2 cos(wt - 3p) cm = 2 cos(wt - p) cm 由此也可畫(huà)x = 25m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線。 2. 畫(huà)t = 0處時(shí)刻的波形曲線 畫(huà)法思路：(1)由o點(diǎn)(x = 0點(diǎn))振動(dòng)曲線， 初相jo = - p/2 ；2x(cm) t =0o-220l·x(m)25 t +Dtu·(2) 由圖t = 0時(shí)， o點(diǎn)xo = 0且 向+x 向運(yùn)動(dòng)； (3)由波的表達(dá)式。 x(x, t) = 2 cos(wt - p/2- kx) cm 令t = 0，可畫(huà)出t = 0時(shí)的波形曲線； 令t = 3s，可畫(huà)出t =3s時(shí)的波形曲

8、線。 · t = 3s時(shí)刻的波形曲線也可直接由振動(dòng) 曲線畫(huà)出(t = 3s時(shí)x = 0點(diǎn)的振動(dòng)為-A) 2x(cm) t =3s20l·x(m)u-2o· (P163) 5 已知x = 0點(diǎn)的振動(dòng)曲線 1.畫(huà)一些點(diǎn)的振動(dòng)曲線x = 0x = l/4x = 2l/4x = 3l/4x = lxxxxx t t t t t o o o o o T T T T T··········abcde 思路：x = l/4 點(diǎn)在 t = T/4時(shí) 應(yīng)重復(fù)x = 0點(diǎn) 在t = 0

9、時(shí)的振 動(dòng)狀態(tài)。 xoxl·····edcbau t = T 2.畫(huà)t = T時(shí)的波形曲線 (P169) 3oDPxBC···入射波反射波·x(3/4)ll/6求D點(diǎn)合振動(dòng)的表達(dá)式。方法一：由波的疊加 設(shè)參考點(diǎn)為o點(diǎn)，初相為j· 入射波 x入(x,t) = Acos(wt +j - kx)·反射波 x反(x,t) = Acoswt +j - k(3l/4) -k(3l/4) - x + p ·合成波-駐波 x(x,t) = 2A cos kx cos(wt +j ) 定j：因

10、t = 0時(shí)x = 0點(diǎn)x0 = 0，且向 負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，由上式有， 0 = 2Acosj Þ j = p/2 合成波表達(dá)式 x(x,t)= 2A cos kx ×cos(wt + p/2)· D點(diǎn)合振動(dòng)表達(dá)式 xD = (3l/4) - (l/6) = 7l/12x(xD,t ) = Ö 3 A sinw t方法二：由振動(dòng)的疊加· 入射波引起的D點(diǎn)的振動(dòng) x入(xD,t) = Acoswt +j - k xD = Acoswt +j - k (7l/12)· 反射波引起的D點(diǎn)的振動(dòng) x反(xD,t) = Acoswt +j - k(3

11、l/4) - k(l/6) + p · D點(diǎn)的合振動(dòng)表達(dá)式x(xD,t ) = Ö 3 A sinw t 找j的方法同方法一。oDPxBC··入射波反射波3l/4l/6···節(jié)節(jié)腹腹l/4l/2方法三：由駐波概念·波節(jié)、波腹位置 如圖。·D點(diǎn)初相 o點(diǎn)初相： p/2 D點(diǎn)和o點(diǎn)反相，初相為-p/2· D點(diǎn)振幅(由駐波表達(dá)式) |2AcoskxD| = (3)1/2A 其中xD = 7l/12· D點(diǎn)的表達(dá)式振動(dòng) x(xD,t) = (3)1/2Acos(wt - p/2)x(xD,t

12、) = Ö 3 A sinw t 即 方法四：由旋轉(zhuǎn)矢量法 按順序畫(huà)各振動(dòng)的旋(1) Ao(2) Ao入(3) Ao反p/2-p/3-2p/3(4)AD入(5) AD反(6) ADx-p2 轉(zhuǎn)矢量。 (1) o點(diǎn)合振動(dòng)：Ao 依題意，·振幅：2A·初相：p/2(2) 入射波引起的o 點(diǎn)的振動(dòng)：Ao入(3)反射波引起的o 點(diǎn)的振動(dòng)：Ao反· o 點(diǎn)兩分振動(dòng)振幅：A· 因o 點(diǎn)是波腹，故o 點(diǎn)兩分振動(dòng)同相，初相均為p/2(4)入射波引起的D 點(diǎn)的振動(dòng)：AD入· 振幅：A· 初相：入射波引起的D 點(diǎn)的振動(dòng)比入 射波引起的o 點(diǎn)的振

13、動(dòng)落后 Dj = k xD = k(7l/12) = 7p/6 j D入 = (p/2) - (7p/6) = - 2p/3(5)反射波引起的D 點(diǎn)的振動(dòng)：AD反· 振幅：A· 初相：反射波引起的D 點(diǎn)的振動(dòng)比入 射波引起的o 點(diǎn)的振動(dòng)落后 Dj = k(oP + DP) = k(3l/4) + l/6 = 11p/6 j D反 = (p/2) - (11p/6) + p = - p/3(6) D點(diǎn)的合振動(dòng)：AD 由AD入和AD反作矢量合成，可得ADÖ 3 A· 振幅： ·初相：-p/2(P171)5·lDx ydoap·&

14、#183;xr1u1r1u1r2u2S1S2I區(qū)II區(qū)波疏波密x1入x1反x2反 已知： xa = Acoswt； r1u1< r2u21. I區(qū)沿+x傳播的波的表達(dá)式 x1入(x, t) = Acos(wt - w )， (x £ l)d + xu1 2. S1面上反射的波的表達(dá)式 x1反(x, t) = A1反cos(wt - w -p d + lu1l - xu1- w )(x £ l) = A1反cos(wt - w -p )， 2l +d- xu1 3. S2面上的反射波傳回到I區(qū)中的波的表 = A2反cos(wt - w -w )， x2反(x, t) =

15、 A2反cos(wt - w - w (x £ l)d + lu1l - xu1- w )2Du22l +d- xu12Du2 達(dá)式 4.欲兩列反射波在I區(qū)中加強(qiáng)，求D =？ (m = 0,1,2,) (- w -w ) - (- w -p) = ± 2mp 2l +d- xu12Du22l +d- xu1 Þ (2m+1) p2u2w ,D =(m = 0,1,2,) 當(dāng)m = 0時(shí)，有p2u2w Dmin = l2/4 l2 = 2pu2w 其中 補(bǔ)充題1：S1、S2 為兩相干波源，其距離l =10m，所發(fā)的波相對(duì)而行，已知S2的初相比S1領(lǐng)先p，·

16、·S1S2l - x·PxlOx·波長(zhǎng)為2m。求S1、S2間因干涉而靜止的點(diǎn)距S1的距離。解：取任意點(diǎn)P，距S1為x。· S1發(fā)的波引起P點(diǎn)的振動(dòng) · S2發(fā)的波引起P點(diǎn)的振動(dòng) · P點(diǎn)兩振動(dòng)的位相差 · 由減弱條件 (k = 0, ±1, ±2, ±3, )將l = 10m，l =2m代入，有 得靜止點(diǎn)的位置為 當(dāng)k= 0, 1, 2, 3,4 x = 5, 6, 7, 8, 9 m 處?kù)o止當(dāng)k= -1, -2, -3,-4 x = 4, 3, 2, 1 m 處?kù)o止全部靜止點(diǎn)的位置：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 m各處練習(xí)：用此法求S1、S2間因干涉而加強(qiáng)的點(diǎn)距S1的距離。補(bǔ)充題2：正在報(bào)警的警鐘，每隔0.5s響一聲，一聲接一聲地響著。某人正在以72km/h的速度向警鐘所在地接近的火車中，問(wèn)此人在5分鐘內(nèi)聽(tīng)到幾聲響?(設(shè)空氣中的聲速為340m/s)解：· 由題意，nS = 2Hz，vS = 0， vR = 72km/h = 20m/s，·由