清華大學波與振動習題

1、 振動與波練習(預告) 大學物理學習題討論課指導(上冊) (P154) 4，5，第二版(P150) 5，(P151) 6； (P155) 6， 第二版(P151) 7； (P162) 2題中(2)改為畫t = 0時的波形 曲線， 第二版(P160) 2； (P163) 5，第二版(P161) 5； (P169) 3，第二版(P168) 3； (P171) 5，第二版(P170) 6；注：黑色字為該書第一版(紫色封面)題號；藍色字為該書第二版(綠色封面)上同題題號；振動與波練習(解答)(P154) 4 1.求j三方法：解析法；曲線法；旋轉矢量法。 -AtxTabA/2o··A

2、(1)解析法已知：t = 0時 x0 = A/2 u0 > 0由 x0 = Acosj u0= -wA sinj 得 j = -p/3txTab··T/6輔助曲線(j輔=0)o(2)曲線法先畫輔助曲線(j輔= 0)；然后比較輔助曲線和已知曲線：已知的曲線時間落后T/6，則位相落后p/3，故已p/3A ta tb t =0xo·A/2知振動的初相j = -p/3 。(3)旋轉矢量法 由圖j = -p/3。2. 求a、b點的位相·a點：xa = A；ua = 0，可得位相 = 0。· b點：xb = 0；ub = -wA，可得位相 = p/2

3、。由解析法亦可。3.求從t = 0到a、b兩態(tài)的時間 由旋轉矢量圖知，· 從t = 0到a態(tài)，矢量轉過 p/3， 故 Dta = T/6· 從t = 0到b態(tài)，矢量轉過 p/3 + p/2， 故 Dtb = 5T/12RokRok y o · m y0 f0Rok y o · yT f mgT ¢ f ¢ · · · (P154) 5 動力學解題兩方法：受力法；能量法。1. 受力法：分析物體在任一位置時受力d2yd t2mg - T = m (1) 對m 對輪 TR - fR = Jb (2) 另 f =

4、 k( y0 + y ) f 0 = k y0 = mg a = b R d t2+ ( ) y = 0 d2ykR2J + mR2 可得 說明振動是SHM，其角頻率為kR2J + mR2 w = Ö 2. 能量法：分析物體在任一位置時系統(tǒng)的 能量。·勢能零點：平衡位置。m( )2 + Jw角2 - m gy + k(y0+ y)2 = const. dyd t121212· 兩邊求導，并用 k y0 = mg；u = w角R，d t2+ ( ) y = 0 d2ykR2J + mR2 可得 y y y y o rS(P155) 6 用能量法· 勢能零點

5、：平衡位置。· 勢能：(rSy)gy· 系統(tǒng)能量：dyd tm( )2 + rS gy 2 = const. 12 ·兩邊求導，得d t2+ ( ) y = 0 d2y2rSgm ·角頻率為2rSg m w = Ö2g L = Ö L為液體總長度，m = rSL (P162) 2已知x = 0處質元(波源)的振動曲線o2-2t(s)x(cm)1234x = 0·· 此曲線初相 = ？ 1.畫x = 25m處質元的振動曲線· 由圖 T = 4 s ；知l = uT = 20m· x = 0處質元的

6、初相 jo = - p/2 · x = 25m處質元的初相 x = 25m處質元的位相比x = 0處質元的 落后多少？ Dj = k×25 = 2.5p，(波數k = 2p/l = p/10) x = 25m處質元的初相j 25 = - 3p = - p2t(s)x(cm)123x = 25mo-24· x = 25m處質元 的振動曲線 也可先列出振動表達式再畫振動曲線： ·x = 0處質元(波源)的振動表達式 x(0, t) = 2 cos(wt - p/2) cm·x = 25m處質元的振動表達式x(25, t) = 2 cos(wt -

7、p/2- k×25) cm = 2 cos(wt - 3p) cm = 2 cos(wt - p) cm 由此也可畫x = 25m處質元的振動曲線。 2. 畫t = 0處時刻的波形曲線 畫法思路：(1)由o點(x = 0點)振動曲線， 初相jo = - p/2 ；2x(cm) t =0o-220l·x(m)25 t +Dtu·(2) 由圖t = 0時， o點xo = 0且 向+x 向運動； (3)由波的表達式。 x(x, t) = 2 cos(wt - p/2- kx) cm 令t = 0，可畫出t = 0時的波形曲線； 令t = 3s，可畫出t =3s時的波形曲

8、線。 · t = 3s時刻的波形曲線也可直接由振動 曲線畫出(t = 3s時x = 0點的振動為-A) 2x(cm) t =3s20l·x(m)u-2o· (P163) 5 已知x = 0點的振動曲線 1.畫一些點的振動曲線x = 0x = l/4x = 2l/4x = 3l/4x = lxxxxx t t t t t o o o o o T T T T T··········abcde 思路：x = l/4 點在 t = T/4時 應重復x = 0點 在t = 0

9、時的振 動狀態(tài)。 xoxl·····edcbau t = T 2.畫t = T時的波形曲線 (P169) 3oDPxBC···入射波反射波·x(3/4)ll/6求D點合振動的表達式。方法一：由波的疊加 設參考點為o點，初相為j· 入射波 x入(x,t) = Acos(wt +j - kx)·反射波 x反(x,t) = Acoswt +j - k(3l/4) -k(3l/4) - x + p ·合成波-駐波 x(x,t) = 2A cos kx cos(wt +j ) 定j：因

10、t = 0時x = 0點x0 = 0，且向 負方向運動，由上式有， 0 = 2Acosj Þ j = p/2 合成波表達式 x(x,t)= 2A cos kx ×cos(wt + p/2)· D點合振動表達式 xD = (3l/4) - (l/6) = 7l/12x(xD,t ) = Ö 3 A sinw t方法二：由振動的疊加· 入射波引起的D點的振動 x入(xD,t) = Acoswt +j - k xD = Acoswt +j - k (7l/12)· 反射波引起的D點的振動 x反(xD,t) = Acoswt +j - k(3

11、l/4) - k(l/6) + p · D點的合振動表達式x(xD,t ) = Ö 3 A sinw t 找j的方法同方法一。oDPxBC··入射波反射波3l/4l/6···節(jié)節(jié)腹腹l/4l/2方法三：由駐波概念·波節(jié)、波腹位置 如圖。·D點初相 o點初相： p/2 D點和o點反相，初相為-p/2· D點振幅(由駐波表達式) |2AcoskxD| = (3)1/2A 其中xD = 7l/12· D點的表達式振動 x(xD,t) = (3)1/2Acos(wt - p/2)x(xD,t

12、) = Ö 3 A sinw t 即 方法四：由旋轉矢量法 按順序畫各振動的旋(1) Ao(2) Ao入(3) Ao反p/2-p/3-2p/3(4)AD入(5) AD反(6) ADx-p2 轉矢量。 (1) o點合振動：Ao 依題意，·振幅：2A·初相：p/2(2) 入射波引起的o 點的振動：Ao入(3)反射波引起的o 點的振動：Ao反· o 點兩分振動振幅：A· 因o 點是波腹，故o 點兩分振動同相，初相均為p/2(4)入射波引起的D 點的振動：AD入· 振幅：A· 初相：入射波引起的D 點的振動比入 射波引起的o 點的振

13、動落后 Dj = k xD = k(7l/12) = 7p/6 j D入 = (p/2) - (7p/6) = - 2p/3(5)反射波引起的D 點的振動：AD反· 振幅：A· 初相：反射波引起的D 點的振動比入 射波引起的o 點的振動落后 Dj = k(oP + DP) = k(3l/4) + l/6 = 11p/6 j D反 = (p/2) - (11p/6) + p = - p/3(6) D點的合振動：AD 由AD入和AD反作矢量合成，可得ADÖ 3 A· 振幅： ·初相：-p/2(P171)5·lDx ydoap·&

14、#183;xr1u1r1u1r2u2S1S2I區(qū)II區(qū)波疏波密x1入x1反x2反 已知： xa = Acoswt； r1u1< r2u21. I區(qū)沿+x傳播的波的表達式 x1入(x, t) = Acos(wt - w )， (x £ l)d + xu1 2. S1面上反射的波的表達式 x1反(x, t) = A1反cos(wt - w -p d + lu1l - xu1- w )(x £ l) = A1反cos(wt - w -p )， 2l +d- xu1 3. S2面上的反射波傳回到I區(qū)中的波的表 = A2反cos(wt - w -w )， x2反(x, t) =

15、 A2反cos(wt - w - w (x £ l)d + lu1l - xu1- w )2Du22l +d- xu12Du2 達式 4.欲兩列反射波在I區(qū)中加強，求D =？ (m = 0,1,2,) (- w -w ) - (- w -p) = ± 2mp 2l +d- xu12Du22l +d- xu1 Þ (2m+1) p2u2w ,D =(m = 0,1,2,) 當m = 0時，有p2u2w Dmin = l2/4 l2 = 2pu2w 其中 補充題1：S1、S2 為兩相干波源，其距離l =10m，所發(fā)的波相對而行，已知S2的初相比S1領先p，·

16、·S1S2l - x·PxlOx·波長為2m。求S1、S2間因干涉而靜止的點距S1的距離。解：取任意點P，距S1為x。· S1發(fā)的波引起P點的振動 · S2發(fā)的波引起P點的振動 · P點兩振動的位相差 · 由減弱條件 (k = 0, ±1, ±2, ±3, )將l = 10m，l =2m代入，有 得靜止點的位置為 當k= 0, 1, 2, 3,4 x = 5, 6, 7, 8, 9 m 處靜止當k= -1, -2, -3,-4 x = 4, 3, 2, 1 m 處靜止全部靜止點的位置：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 m各處練習：用此法求S1、S2間因干涉而加強的點距S1的距離。補充題2：正在報警的警鐘，每隔0.5s響一聲，一聲接一聲地響著。某人正在以72km/h的速度向警鐘所在地接近的火車中，問此人在5分鐘內聽到幾聲響?(設空氣中的聲速為340m/s)解：· 由題意，nS = 2Hz，vS = 0， vR = 72km/h = 20m/s，·由