利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡

1、第4章 利用MATLAB制系統(tǒng)根軌跡利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡相關(guān)知識(shí)假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)中的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為:Gk(s)w sm 5sm嘰 bm snaiSnJ -anJs- annum _ den(S Zi)(S Z2) (S Zm)(S Pl)(S P2) (S Pn)二 KGo(s)則閉環(huán)特征方程為:num 門(mén)1 K-0den特征方程的根隨參數(shù)K的變化而變化，即為閉環(huán)根軌跡?？刂葡到y(tǒng)工具箱中提供了rlocus()函數(shù)，可以用來(lái)繪制給定系統(tǒng)的根軌跡，它的調(diào)用格式有以下幾種:rlocus(num ， den)rlocus(num， den， K)或者rlocus(G)rlocus(G，

2、K)以上給定命令可以在屏幕上畫(huà)出根軌跡圖，其中G為開(kāi)環(huán)系統(tǒng) G(s)的對(duì)象模型,K為用戶自己選擇的增益向量。 如果用戶不給出K向量，則該命令函數(shù)會(huì)自動(dòng)選擇 K向量。如果在 函數(shù)調(diào)用中需要返回參數(shù)，則調(diào)用格式將引入左端變量。如R，K=rlocus(G)此時(shí)屏幕上不顯示圖形，而生成變量R和KoR為根軌跡各分支線上的點(diǎn)構(gòu)成的復(fù)數(shù)矩陣，K向量的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)于R矩陣中的一行。若需要畫(huà)出根軌跡，則需要采用以下命令：plot(R , 11)plot()函數(shù)里引號(hào)內(nèi)的部分用于選擇所繪制曲線的類型，詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)表1?？刂葡到y(tǒng)工具箱中還有一個(gè)rlocfi nd() 函數(shù)，該函數(shù)允許用戶求取根軌跡上指定點(diǎn)處的開(kāi)環(huán)增

3、益值，并將該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)顯示出來(lái)。這個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：K, P=rlocfind(G)這個(gè)函數(shù)運(yùn)行后，圖形窗口中會(huì)出現(xiàn)要求用戶使用鼠標(biāo)定位的提示，用戶可以用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊所關(guān)心的根軌跡上的點(diǎn)。這樣將返回一個(gè) K變量，該變量為所選擇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)增益，同時(shí)返回的P變量則為該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)位置。此外，該函數(shù)還將自動(dòng)地將該增益下所有的閉環(huán)極點(diǎn)直接在根軌跡曲線上顯示出來(lái)。例4.1已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)模型為：Gk (s)=Ks(s 1)(s 2)二 KG 0 (s)利用下面的MATLA晞令可容易地驗(yàn)證出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-1所示。>> G=tf(1,co nv(1,1,1,2)

4、,0);rlocus(G);gridtitle( 1 Root_Locus Plot of G(s)=K/s(s+1)(s+2)1)xlabel( 1 Real Axis 1)%給圖形中的橫坐標(biāo)命名。ylabel( 11mag Axis 1)%給圖形中的縱坐標(biāo)命名。K,P=rlocfi nd(G)用鼠標(biāo)點(diǎn)擊根軌跡上與虛軸相交的點(diǎn)，在命令窗口中可發(fā)現(xiàn)如下結(jié)果select_po in t=0.0000+1.3921iK=5.8142P=-2.29830所以，要想使此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，其增益范圍應(yīng)為0<K<5.81。參數(shù)根軌跡反映了閉環(huán)根與開(kāi)環(huán)增益K的關(guān)系。我們可以編寫(xiě)下面的程序，通過(guò)K的變

5、化，觀察對(duì)應(yīng)根處階躍響應(yīng)的變化?？紤]K=0.1,0.2,1,2,5,這些增益下閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線?？捎梢韵翸ATLAB命令得到。>> hold off;%擦掉圖形窗口中原有的曲線。斤啊I Si.圖4-1 系統(tǒng)的根軌跡t=0:0.2:15;Y=;for K=0.1:0.1:1,2:5GK=feedback(K*G,1);y=step(GK,t);Y=Y,y；endplot(t,Y)對(duì)于for循環(huán)語(yǔ)句，循環(huán)次數(shù)由K給出。系統(tǒng)畫(huà)出的圖形如圖 4-2所示?？梢钥闯觯?dāng) K的值增加時(shí)，一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)起作用，且響應(yīng)速度變快。一旦K接近臨界K值，振蕩加劇，性能變壞。m15圖4-2 不同K值下的

6、階躍響應(yīng)曲線4.MATLAB圖的基本知識(shí)通過(guò)以上實(shí)例的應(yīng)用，我們已初步嘗試了MATLA啲繪圖功能。MATLA唄有豐富的獲取圖形輸出的程序集。我們已用命令plot()產(chǎn)生線性x-y圖形(用命令loglog、semilogx、semilogy或polar取代命令plot,可以產(chǎn)生對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖和極坐標(biāo)圖)。所有這些命令的應(yīng)用 方式都是相似的，它們只是在如何給坐標(biāo)軸進(jìn)行分度和如何顯示數(shù)據(jù)上有所差別。(1) 二維圖形繪制如果用戶將X和Y軸的兩組數(shù)據(jù)分別在向量x和y中存儲(chǔ)，且它們的長(zhǎng)度相同，貝愉令plot(x,y)將畫(huà)出y值相對(duì)于x值的關(guān)系圖。例4.2 如果想繪制出一個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線，則首先應(yīng)該用 t=0

7、:0.01:2*pi( pi是系統(tǒng)自定義的常數(shù)，可用help命令顯示其定義)命令來(lái)產(chǎn)生自變量t ;然后由命令y=sin(t)對(duì)t向量求出正弦向量 y,這樣就可以調(diào)用plot(t,y)來(lái)繪制出所需的正弦曲線，如圖4-3所示。s'圖4-3 個(gè)周期內(nèi)的正弦曲線(2) 幅圖上畫(huà)多條曲線。利用具有多個(gè)輸入變量的plot()命令，可以在一個(gè)繪圖窗口上同時(shí)繪制多條曲線，命令格式為：plot(x1 ，Y1, x2，Y2,，xn, Yn)x1、Y1、x2、Y2等一系列變量是一些向量對(duì)，每一個(gè)x-y對(duì)都可以用圖解表示出來(lái)，因而可以在一幅圖上畫(huà)出多條曲線。多重變量的優(yōu)點(diǎn)是它允許不同長(zhǎng)度的向量在同一幅圖上 顯

8、示出來(lái)。每一對(duì)向量采用不同的線型以示區(qū)別。另外，在一幅圖上疊畫(huà)一條以上的曲線時(shí)，也可以利用hold命令。hold命令可以保持當(dāng)前的圖形，并且防止刪除和修改比例尺。因此，后來(lái)畫(huà)出的那條曲線將會(huì)重疊在原曲線圖上。當(dāng)再次輸入命令 hold ,會(huì)使當(dāng)前的圖形復(fù)原。也可以用帶參數(shù)的 hold命令hold on和hold off 來(lái)啟動(dòng)或關(guān)閉圖形保持。(3) 圖形的線型和顏色為了區(qū)分多幅圖形的重疊表示，MATLAB提供了一些繪圖選項(xiàng)，可以用不同的線型或顏色來(lái)區(qū)分多條曲線，常用選項(xiàng)見(jiàn)下表4-1表4- 1 MATLAB圖命令的多種選項(xiàng)選項(xiàng)意義選項(xiàng)意義/ /實(shí)線/ /短劃線/ ” /虛線/ /點(diǎn)劃線/ /r紅色

9、'* '用星號(hào)繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)'b'藍(lán)色/ /o用圓圈繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)/ /g綠色/ /用圓點(diǎn)繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)/ /y黃色'X '用叉號(hào)繪制各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)表4- 1中繪出的各個(gè)選項(xiàng)有一些可以并列使用，能夠?qū)σ粭l曲線的線型和顏色同時(shí)作出 規(guī)定。例如-g '表示綠色的短劃線。帶有選項(xiàng)的曲線繪制命令的調(diào)用格式為：plot(X1 , Y1,S1,X2,Y2,S2,) 加進(jìn)網(wǎng)絡(luò)線、圖形標(biāo)題、x軸和y軸標(biāo)記一旦在屏幕上顯示出圖形，就可以依次輸入以下相應(yīng)的命令將網(wǎng)絡(luò)格線、圖形標(biāo)題、X、y軸標(biāo)記疊加在圖形上。命令格式如下：grid(網(wǎng)絡(luò)線)title('圖

10、形標(biāo)題)xlabel (' x 軸標(biāo)記)ylabel (' y 軸標(biāo)記)函數(shù)引號(hào)內(nèi)的字符串將被寫(xiě)到圖形的坐標(biāo)軸上或標(biāo)題位置。(5)在圖形屏幕上書(shū)寫(xiě)文本。如果想在圖形窗口中書(shū)寫(xiě)文字，可以單擊按鈕八，選擇屏幕上一點(diǎn)，點(diǎn)擊鼠標(biāo)，在光標(biāo)處輸入文字。另一種輸入文字的方法是用text()命令。它可以在屏幕上以(x,y )為坐標(biāo)的某處書(shū)寫(xiě)文字，命令格式如下：text (x, y,' text ')例如，利用語(yǔ)句text(3 , 0.45， sint ')將從點(diǎn)(3,0.45 )開(kāi)始，水平的寫(xiě)出“ sint ”。(6)自動(dòng)繪圖算法及手工坐標(biāo)軸定標(biāo)在MATLAB圖形窗口中

11、，圖形的橫、縱坐標(biāo)是自動(dòng)標(biāo)定的，在另一幅圖形畫(huà)出之前，這 幅圖形作為現(xiàn)行圖將保持不變，但是在另一幅圖形畫(huà)出后，原圖形將被刪除，坐標(biāo)軸自動(dòng)地重新標(biāo)定。關(guān)于瞬態(tài)響應(yīng)曲線、根軌跡、伯德圖、奈魁斯特圖等的自動(dòng)繪圖算法已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)，它們對(duì)于各類系統(tǒng)具有廣泛的適用性，但是并非總是理想的。因此，在某些情況下，可 能需要放棄繪圖命令中的坐標(biāo)軸自動(dòng)標(biāo)定特性，由用戶自己設(shè)定坐標(biāo)范圍，可以在程序中加入下列語(yǔ)句：v=x-min x-max y-min y-maxaxis(v)式中v是一個(gè)四元向量。axis(v)把坐標(biāo)軸定標(biāo)建立在規(guī)定的范圍內(nèi)。對(duì)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，v的元素應(yīng)為最小值和最大值的常用對(duì)數(shù)。執(zhí)行axis(v)會(huì)把

12、當(dāng)前的坐標(biāo)軸標(biāo)定范圍保持到后面的圖中，再次鍵入axis可恢復(fù)系統(tǒng)的自動(dòng)標(biāo)定特性。Axis( ' sguare ')能夠把圖形的范圍設(shè)定在方形范圍內(nèi)。對(duì)于方形長(zhǎng)寬比，其斜率為1的直線恰位于45°上，它不會(huì)因屏幕的不規(guī)則形狀而變形。Axis( ' normal ')將使長(zhǎng)寬比恢復(fù)到正常狀態(tài)。二、附錄 利用MATLAB繪制系統(tǒng)根軌跡的一些其它實(shí)例(s + 3)例4.3已知知一單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳函為G(s) = ks(s+5)(s +6)(s +2s + 2)試在根軌跡上選擇一點(diǎn)，求出該點(diǎn)的增益k及其閉環(huán)極點(diǎn)的位置，并判斷在該點(diǎn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。程序：num=1,

13、3;den=conv(conv(conv(1 0,1 5),1 6),1 2 2);rlocus(num,den);k,poles=rlocfind(sys);range=33:1:37'cpole=rlocus(num,den,range);range,cpole結(jié)果：selected_po int =-5.3780 - 0.0476ians =Columns 1 through 533.0000-5.5745 + 0.6697i-5.5745 -0.6697i-1.7990-0.0260 + 1.3210i34.0000-5.5768 + 0.6850i-5.5768 -0.685

14、0i-1.8154-0.0155 + 1.3340i35.0000-5.5791 + 0.7001i-5.5791 -0.7001i-1.8313-0.0052 + 1.3467i36.0000-5.5815 + 0.7147i-5.5815 -0.7147i-1.84660.0048 + 1.3591i37.0000-5.5838 + 0.7291i-5.5838 - 0.7291i-1.86150.0146 + 1.3712iColu mn 6-0.0260 - 1.3210i-0.0155 - 1.3340i-0.0052 - 1.3467i0.0048 - 1.3591i0.0146 - 1.3712i>>例4.4已知帶有延遲因子的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:G(s)=s e s(s 1)( 0.5s 1)1) 試?yán)L制根軌跡圖；2) 求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)根軌跡增益；3) 求系統(tǒng)k=0.5時(shí)單位階躍響應(yīng)曲線。 程序：n1=1;d仁 conv(conv(1 0,1 1),0.