第1章不定積分

1、第1章 不定積分 原函數(shù)概念這節(jié)課我們講原函數(shù)的概念，先來看什么是原函數(shù)已知                 求總成本函數(shù)              邊際成本C (x)          &

2、#160;     C¢(x)                          （   ）               

3、0;MC(    )¢ = MC   求                 已知已知總成本C (x)，求邊際成本C¢(x)，就是求導(dǎo)數(shù)反之如果已知邊際成本，用MC表示，要求總成本，這就是我們要討論的問題，也就是要知道哪一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于MC我們引進(jìn)一個概念：定義1.1 若對任何xÎD，F(xiàn)¢(x) = f(x)， 則稱F(x)為f(x)的原函

4、數(shù) 我們來看具體的問題：例如Q (x3)¢ = 3x2F(x)   f(x) x3是3x2的原函數(shù)大家用自己的方法把它搞清楚，不要和導(dǎo)數(shù)的概念搞混了先考慮這樣一個問題，的原函數(shù)是哪個？由原函數(shù)的概念我們就要看哪個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，即它使得成立，我們在下列函數(shù)中進(jìn)行選擇：，經(jīng)驗證知和是2x的原函數(shù)通過這個過程應(yīng)該弄清，求已知函數(shù)的原函數(shù)，就是看哪個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是已知函數(shù)，這個函數(shù)就是所求的原函數(shù)另外，2x的原函數(shù)不唯一它告訴我們原函數(shù)不止一個再從另一方面提出問題，為哪個函數(shù)的原函數(shù)？，說明是的原函數(shù)同樣，說明是的原函數(shù)事實上，都是的原函數(shù)，說明原函數(shù)有無窮多個那怎樣求出

5、一個函數(shù)的所有原函數(shù)呢？這是下面要討論的若都是的原函數(shù)，則證：設(shè)，可知，即這個結(jié)論非常重要，我們已經(jīng)知道，若是的原函數(shù)，則都是的原函數(shù) 而這個結(jié)論告訴我們?nèi)我鈨蓚€原函數(shù)之間差一個常數(shù) 所以只要求出一個原函數(shù)，就能得到所有原函數(shù)例1 求的全體原函數(shù) 分析：先求一個原函數(shù)，再將這個原函數(shù)加任意常數(shù)就得 到全體原函數(shù)求原函數(shù)就是看哪個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 解：因為 ，所以是的一個原函數(shù)故的全體原函數(shù)為例2 判斷是哪個函數(shù)的原函數(shù) 分析：看的導(dǎo)函數(shù)是哪個函數(shù) 解：因為，所以是的原函數(shù) 不定積分的定義 定義1.2 的所有原函數(shù)的全體稱為不定積分記作,其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分符號例1 求

6、的全體原函數(shù) 解： 全體原函數(shù)就是的不定積分:例2 求通過點的曲線，使它在點處的切線斜率為 解：,得到一族曲線:曲線過點，即，得到:.所求曲線為導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系我們來討論兩個問題，首先,有兩個答案給我們選擇: 要求的不定積分，也就是要看哪個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，答案當(dāng)然是但另一方面不定積分是要求全體原函數(shù)，所以正確的選擇是再討論第二個問題有三個答案給我們選擇 所以正確的選擇是由這兩個問題我們了解到，導(dǎo)數(shù)和不定積分是兩種互逆的運算求導(dǎo)數(shù)求不定積分求導(dǎo)公式反過來就是積分公式例：求分析：由微分定義有：解：由微分定義有，即求1.2 積分基本公式正因為求導(dǎo)與求不定積分互為逆運算，所以導(dǎo)數(shù)基本公式和積分基本

7、公式也是互逆的也就是說，有一個導(dǎo)數(shù)公式，反過來就有一個積分公式先讓我們回顧一下導(dǎo)數(shù)基本公式                           將以上這些公式反過來看，我們就能得到積分基本公式：                  

8、                              以上這些積分基本公式都是需要牢記的另外，有一種方法可以檢驗不定積分計算的正確與否，那就是將計算結(jié)果求導(dǎo)數(shù)，看是否等于被積函數(shù)由此可見，積分基本公式固然很重要，但最最重要的還是導(dǎo)數(shù)基本公式再來說明積分公式當(dāng)時，當(dāng)x<0時，將兩個結(jié)果統(tǒng)一起來就得到積分公式說明在積分基本公式中為

9、什么沒有的公式 分析：從不定積分運算和導(dǎo)數(shù)運算的關(guān)系加以說明 說明：在導(dǎo)數(shù)公式中是由定義及相關(guān)法則直接求得的而的不定積分需要找一個函數(shù)，使該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，我們無法在導(dǎo)數(shù)基本公式中得到這樣的結(jié)果，并且即使通過其它方法找到這個結(jié)果， 一般來說也不是一個實用的公式 所以在積分基本公式中沒有公式，類似地原因也沒有和我們所得到的積分基本公式更加強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)與不定積分之間互為逆運算的關(guān)系 不定積分的性質(zhì)1. 若是可積函數(shù)，則有2. 若是可積函數(shù)，為非0常數(shù)，則有，有了積分基本公式和這兩條性質(zhì)，我們就可以把一些基本的函數(shù)的不定積分計算出來例如:這種利用不定積分的運算性質(zhì)和積分基本公式直接計算出不定積分的方法稱

10、為直接積分法例1 求解：例2 求解：例3 求 解：例4 已知邊際成本為，固定成本為30，求總成本函數(shù)解：因為，有,將代入，得，總成本函數(shù)為例5 求解：由變量替換得注意到，即若直接計算左端有用變量替換的方法顯然簡單得多我們再介紹兩種計算不定積分的方法1第一換元積分法：這種方法是將被積函數(shù)湊成的形式或是將湊成的形式（湊微分）就是說將被積表達(dá)式湊成某個中間變量的函數(shù)乘以這個中間變量的微分而的原函數(shù)是已知的或是容易求得的此時就有這種方法的關(guān)鍵是將湊出， 且容易計算 我們稱這種方法為第一換元積分法（也稱為湊微分法）2第二換元積分法：這種方法是將積分變量作變量替換,將被積函數(shù)變成的形式或即將被積

11、表達(dá)式湊成某個中間變量的函數(shù)乘以這個中間變量的微分而的原函數(shù)是已知或是容易求得的此時就有這種方法的關(guān)鍵是容易計算我們稱這種方法為第二換元積分法將3x-4看作一個整體，可以利用積分公式    將-2x看作一個整體，可以利用積分公式      例1 求 解：例2 求 解： 將x3+1看作一個整體，可以利用積分公式   例3 求解：   例4 求 解： 例5 求 解：例6 計算分析：設(shè)法去掉被積函數(shù)的根號，將根式表達(dá)式用新變量替換解：令，即有,得例7 計算分析： 設(shè)法去掉被積函數(shù)的根號，將根號下的表達(dá)式用變量替換變成完全平方用三角公式替換解：令，得（三角公式）（三角公式）1.3.4 分部積分法分部積分的方法一般是用于被積函數(shù)是兩個函數(shù)乘積的形式我們來導(dǎo)出分部積分公式對于這個問題，由導(dǎo)數(shù)運算法則容易得到上式兩端積分，得由積分與導(dǎo)數(shù)運算的關(guān)系及積分的性質(zhì)得到整理后得到，它的另一種形式是：于是就得到分部積分公式： 分部積分的關(guān)鍵在于被積函