用空間向量解立體幾何問題方法歸納學生

1、用空間向量解立體幾何題型與方法一平行垂直問題基礎知識直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線面平行：laua·u0a1a3b1b3c1c30(2)線面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvu·v0a3a4b3b4c3c40例1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.使用

2、空間向量方法證明線面平行時，既可以證明直線的方向向量和平面內一條直線的方向向量平行，然后根據線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進行判定，也可以證明兩個平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC90°，BC2，CC14，點E在線段BB1上，且EB11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點求證：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.二利用空間向量求空間角基礎知識(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所

3、成的角為，則cos |cosa，b|.(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設線面所成的角為，則sin |cosn，a|.(3)向量法求二面角：求出二面角l的兩個半平面與的法向量n1，n2，若二面角l所成的角為銳角，則cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角為鈍角，則cos |cosn1，n2|.例1、如圖，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值例2、如圖，三棱柱ABC­A1B1C1中，CACB，A

4、BAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值(1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：建立恰當的空間直角坐標系；求出相關點的坐標；寫出向量坐標；結合公式進行論證、計算；轉化為幾何結論(2)求空間角應注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求例3、如圖，在四棱錐S­ABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是線段AD上一點，AEED，SE

5、AD.(1)證明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值例4、如圖是多面體ABC­A1B1C1和它的三視圖 (1)線段CC1上是否存在一點E，使BE平面A1CC1？若不存在，請說明理由，若存在，請找出并證明；(2)求平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值三利用空間向量解決探索性問題例1、如圖1，正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B(如圖2)(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；

6、(3)在線段BC上是否存在一點P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由(1)空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷.(2)解題時，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法.例2、.如圖所示，在直三棱柱ABC­A1B 1C1中，ACB90°，AA1BC2AC2.(1)若D為AA1中點，求證：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1

7、3;CD­C1的大小為60°？四空間直角坐標系建立的創(chuàng)新問題空間向量在處理空間問題時具有很大的優(yōu)越性，能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題解決的關鍵環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標系，因而建立空間直角坐標系問題成為近幾年試題新的命題點一、經典例題領悟好例1、如圖，四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F(xiàn)為PC的中點，AFPB.(1)求PA的長；(2)求二面角B­AF­D的正弦值建立空間直角坐標系的基本思想是尋找其中的線線垂直關系(本題利用ACBD)，若圖中存在交于一點的

8、三條直線兩兩垂直，則以該點為原點建立空間直角坐標系.在沒有明顯的垂直關系時，要通過其他已知條件得到垂直關系，在此基礎上選擇一個合理的位置建立空間直角坐標系，注意建立的空間直角坐標系是右手系，正確確定坐標軸的名稱.例2、如圖，在空間幾何體中，平面ACD平面ABC，ABBCCADADCBE2.BE與平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC內的射影落在ABC的平分線上(1)求證：DE平面ABC；(2)求二面角E­BC­A的余弦值專題訓練1.如圖所示，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上、下兩個底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABC

9、D，ABA1B1，AB2A1B12DD12a.(1)求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點，求證：FB1平面BCC1B1.3如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB2，DC1，BC，ABAD.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)(1)求證：AE平面BDC；(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值4如圖所示，在矩形ABCD中，AB3，AD6，BD是對角線，過點A作AEBD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將ADE向上折起，使點D到點P的位置，且PB.(1)求證：PO平面ABCE；(2)求二面角E

10、­AP­B的余弦值5.如圖，在四棱錐P­ABCD中，側面PAD底面ABCD，側棱PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD中點(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求B點到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由6如圖，在四棱錐S­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中點(1)求證：AM平面SCD；(2)求平面SCD與

11、平面SAB所成二面角的余弦值；(3)設點N是直線CD上的動點，MN與平面SAB所成的角為，求sin 的最大值7、如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，F(xiàn)ABDAB90°，AFABBC2，AD1，F(xiàn)ACD.(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點C的直線l與直線DF平行；(2)求二面角F­CD­A的余弦值8、.如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC2，BD2，E是PB上任意一點(1)求證：ACDE；(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值9、如圖1，A，D分別是矩形A1BC