直線和圓錐曲線專題題型17

1、直線和圓錐曲線經(jīng)?？疾榈囊恍╊}型解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存在；（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等運(yùn)用的知識(shí)：1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，其中是點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2、弦長(zhǎng)公式：若點(diǎn)在直線上，則，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，或者3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不同的根，則。常見(jiàn)的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確

2、定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點(diǎn)，求的取值范圍練習(xí)：1、過(guò)點(diǎn)P(3,2) 和拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條。A4B3C2D1題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題弦的垂直平分線問(wèn)題和對(duì)稱問(wèn)題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。例題2、過(guò)點(diǎn)T(-1,0)作直線與曲線N ：交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例題3、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過(guò)點(diǎn)O、F，并且與相切的圓的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓

3、于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍。練習(xí)1：已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)，求的取值范圍。練習(xí)2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西，其中一些性質(zhì)是和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對(duì)這樣的一些性質(zhì)，我們必須了如指掌，并且必須會(huì)證明。隨著幾何畫(huà)板的開(kāi)發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問(wèn)題，好多以前我們不知道的、了解不深入的幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來(lái)了

4、，其中大部分都有可以遵循的規(guī)律，高考出題人，也得設(shè)計(jì)好思維，讓我們?cè)谒麄冊(cè)O(shè)好的路上“走”出來(lái)。下面我們就通過(guò)幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。例題4、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的

5、圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。練習(xí)：直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題若直線過(guò)的定點(diǎn)在已知曲線上，則過(guò)定點(diǎn)的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達(dá)定理結(jié)合定點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出另一端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解決問(wèn)題。下面我們就通過(guò)例題領(lǐng)略一下思維過(guò)程。例題6、已知點(diǎn)A、B、C是橢圓E： 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過(guò)橢圓的中心O，且，如圖。(I)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于

6、直線對(duì)稱，求直線PQ的斜率。練習(xí)1、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求橢圓的方程；（II）若直線與x軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。練習(xí)2、：（2009遼寧卷文、理）已知，橢圓C以過(guò)點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 題型五：共線向量問(wèn)題解析幾何中的向量共線，就是將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的

7、比例問(wèn)題，再通過(guò)未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問(wèn)題解決。此類問(wèn)題不難解決。例題7、設(shè)過(guò)點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。例題8：（07福建理科）如圖，已知點(diǎn)（1，0），直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡C的方程；（）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，求的值。練習(xí)：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，A是橢圓C上的一點(diǎn)，且，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過(guò)Q的直線l交x軸于點(diǎn)，較y軸于點(diǎn)M，若，求直線l的方程山東2006理雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條

8、漸近線。（I） 求雙曲線C的方程；(II)過(guò)點(diǎn)P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）。當(dāng)，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。練習(xí)：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，弦PA、PB分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2，（PA、PB都不與x軸垂直，其點(diǎn)P的縱坐標(biāo)不為0），若，求的值。題型六：面積問(wèn)題例題8、（07陜西理）已知橢圓C：（ab0）的離心率為短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。（）求橢圓C的方程；（）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB面積的最大值。練習(xí)1、（07浙江理）如圖，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記的面積為。（）求在，的條件下，的最大值；（）當(dāng)時(shí)，求直線AB的方程。題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值問(wèn)題例題9、（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點(diǎn)。（）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求ANB面積的最小值；（）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。（此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）練習(xí)、（山東09理）（2