用好法向量巧解高考題

1、用好法向量，巧解高考題為了和國際數(shù)學(xué)接軌，全日制普通高級中學(xué)教科書中增加了向量的內(nèi)容，隨著課程改革的進(jìn)行，向 量的應(yīng)用將會(huì)更加廣泛，這在2004年高考數(shù)學(xué)試題中得到了充分的體現(xiàn)。向量在研究空間幾何問題中為學(xué)生提供了新的視角，但在教學(xué)中，我們的應(yīng)用還不夠， 特別是法向量的應(yīng)用，教科書中只給了一個(gè)概念：如果非零向量 ，那么 叫做平面 的法向量，實(shí)質(zhì)上，法向量的靈活應(yīng)用，將使得原本很繁瑣的推理，變得思路清晰且規(guī)范。本文將介紹法向量在空間幾何證明、計(jì)算中的應(yīng)用。（一）直線 的方向向量和平面 的法向量分別為 ，則直線 和平面 所成的角 等于向量 所成的銳角（若所成的角為鈍角，則為其補(bǔ)角）的余角，即 。(

2、2003全國（理）18題) 如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角 三角形, ，側(cè)棱，分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，（）求與平面所成角的大?。ńY(jié)果 用反三角函數(shù)值表示）；（）求點(diǎn)到平面的距離。（）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如 圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)，則， ， ， ， ， ， , ， ， ，由 得， ， ， ， ，設(shè)平面的法向量為 ，則 ， ，由， 得，令 得， ，平面 的一個(gè)法向量為 ， 與的夾角的余弦值是 ， 與平面所成角為 。當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線與平面所成的角為，此時(shí)直線的方向向 量與平面的法向量垂直，我們可利用這一特征來證明直線與平面平行。（二）如果不在平面內(nèi)一條直線與平面的一個(gè)法向量

3、垂直，那么這條直線和這個(gè)平面平行。（2004年高考湖南（理）19題）如圖，在底面是菱形的四棱錐中， , ，點(diǎn)在上，且 ，（I）證明： ；（II）求以為棱， 與為面的二面角的大??；（）在棱上是否存在一點(diǎn)，使？證明你的結(jié)論。（）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸、軸，過點(diǎn)垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐 標(biāo)系（如圖），由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ， ， ，設(shè)平面的法向量為，則由題意可知， ，由 得， 令得， ，平面的一個(gè)法向量為 設(shè)點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，則，由 得， ， 當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)， 。同樣，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角為，此時(shí)直線的方向向 量與平面的法向量平行，我們可利用這一特征來證

4、明直線與平面垂直。（三）設(shè)二面角的兩個(gè)半平面和的法向量分別為，設(shè)二面角的大小為，則二面角的平面角 與兩法向量所成的角相等或互補(bǔ)，當(dāng)二面角的銳角時(shí)， ；當(dāng)二面角為鈍角時(shí)， 。我們再來看2004年高考湖南（理）19題：（）解：由題意可知， , , 為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為 ，則由題意可知， ,由 得， 令 得， ，平面的一個(gè)法向量為，向量與夾角的余弦值是 ， ，由題意可知，以為棱，與為面的二面角是銳角，所求二面角的大小為 。我們知道當(dāng)兩個(gè)平面的法向量互相垂直時(shí)，兩個(gè)平面所成的二面角為直角，此時(shí)兩個(gè)平面垂直，我 們可用這一特征來證明兩個(gè)平面垂直。（四）設(shè)兩個(gè)平面和的法向量分別為，若，則這

5、兩個(gè)平面垂 直。（1996年全國（文）23題）在正三棱柱中， ， 分別是上的點(diǎn)，且 ，求證：平面平面 。證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如 圖所示的坐標(biāo)系，則 ， ， ， ， ， ，設(shè)平面的法向量為 ，則由題意可知，由 得， 令得， ，平面的一個(gè)法向量為 ，由題意可知，平面的一個(gè)法向量為 平面平面 （五）設(shè)平面的法向量為，是平面外一點(diǎn)， 是平面內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于在法向量上的投影的絕對值， 即 。我們再來看2003年全國（理）18題：（）解：設(shè) ，則 ， ， ， ， ， ，設(shè)平面 的法向量為 ，則 ， ，由 ， 得，令 得， ，平面的一個(gè)法向量為 ，而 ，點(diǎn) 到平面的距離 。我們知道直線與平面

6、、兩個(gè)平面的距離都?xì)w結(jié)為點(diǎn)到平面的距離，故此法同樣可以解決直線與平 面、兩個(gè)平行平面的距離。（六）設(shè)向量與兩異面直線都垂直（我們也把向 量稱為兩異面直線的法向量），分別為異面直線上的點(diǎn)，則兩異面直 線的距離等于法向量上的投影的絕對值， 即。（1999年全國（理）21題）如圖，已知正四棱柱中，點(diǎn)在棱上，截面 ，且面與底面所成的角為 ，求異面直線與之間的距離。解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如 圖所示的坐標(biāo)系 ，連結(jié)交于 ，連結(jié) ，則就是面 與底面所成的角的平面角，= ， 又截面 ，為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， ，則 ， ， ， ， ，設(shè)向量 與兩異面直線都垂直，由 ，得， ， ，異面直線與之間的距離 前面介紹了利用法向量解決空間幾何的證明與計(jì)算問題，實(shí)現(xiàn)了幾