特殊的平行四邊形菱形含答案

1、題型：解答題難度：中等詳細(xì)信息已知：如圖，在ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DEAFBC，且AF=BC，連接DF（1）求證：四邊形AFDE是平行四邊形；（2）如果AB=AC，BAC=60°，求證：ADEF（1）通過證明邊DE平行且等于對(duì)邊AF，即可證明四邊形AFDE是平行四邊形；（2）由題意得ABC是等邊三角形，故有AC=BC，又點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，可得出DE=AE，四邊形AFDE是菱形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分得證證明：（1）D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，即得  DEBC，     

2、;                                （2分）AFBC，DEAF，DE=AF               

3、60;                             （2分）四邊形AFDE是平行四邊形                  

4、60;                   （1分）（2）AB=AC，BAC=60°，ABC是等邊三角形，即得：AC=BC                        

5、      （1分）于是，由點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，得                 （1分）又四邊形AFDE是平行四邊形，四邊形AFDE是菱形                     

6、;                         （1分）ADEF                        &#

7、160;                               （1分）題型：解答題難度：壓軸詳細(xì)信息已知，如圖，在RtABC中，C=90°，A=60°，AB=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C以每秒1cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)

8、A、C同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0t6），回答下列問題：（1）直接寫出線段AP、AQ的長(zhǎng)（含t的代數(shù)式表示）：AP=_，AQ=_；（2）設(shè)APQ 的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，那么是否存在某一時(shí)間t，使四邊形PQPC為菱形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，說明理由（1）根據(jù)A=60°，AB=12cm，得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AP=2t，AQ=6-t（2）過點(diǎn)P作PHAC于H由AP=2t，AH=t，得出PH=t，從而求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）過點(diǎn)P作PMAC于M，根據(jù)菱形的性質(zhì)得PQ=PC，則可得出PN=QM

9、=CM，求得t即可【解析】（1）在RtABC中，C=90°，A=60°，AB=12cm，AC=6，由題意知：AP=2t，AQ=6-t，（2）如圖過點(diǎn)P作PHAC于HC=90°，A=60°，AB=12cm，B=30°，HPA=30°，AP=2t，AH=t，PH=t，S=×AQ×PH=×t×（6-t）=-t2+3t； （3）當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQPC是菱形，證明：如圖過點(diǎn)P作PMAC于M，CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，QC=AM，當(dāng)PC=PQ時(shí)，即CM=MQ=AQ=AC=2時(shí)

10、，四邊形PQPC是菱形，即當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQPC是菱形題型：填空題難度：中等詳細(xì)信息一個(gè)平行四邊形的一邊長(zhǎng)是9，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是12和6 ，則此平行四邊形的面積為    題型：填空題難度：困難詳細(xì)信息如圖，梯形ABCD中，ADBC，C=90°，且AB=AD，連接BD，過A點(diǎn)作BD的垂線交BC于E，如果CE=3cm，CD=4cm，那么BD=    cm連接DE，因?yàn)锳B=AD，AEBD，ADBC，可證四邊形ABED為菱形，從而得到BE、BC的長(zhǎng)，繼而根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)【解析】連接DE

11、在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理，得DE=5AB=AD，AEBD，AE垂直平分BD，BAE=DAEDE=BE=5ADBC，DAE=AEBBAE=AEBAB=BE=5BC=BE+EC=8，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4故答案為：4題型：解答題難度：壓軸詳細(xì)信息如圖，ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AFBC交線段DE的延長(zhǎng)線相交于F點(diǎn)，取AF的中點(diǎn)G，如果BC=2AB求證：（1）四邊形ABDF是菱形；（2）AC=2DG（1）首先根據(jù)三角形的中位線定理，得DEAB，結(jié)合AFBC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判斷該四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰

12、邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可以進(jìn)一步得到FGDFEA，則GD=AE，即可證明結(jié)論證明：（1）點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線（三角形中位線的定義），DEAB，DE=AB（三角形中位線性質(zhì)）（1分）AFBC，四邊形ABDF是平行四邊形（平行四邊形定義）（1分）BC=2AB，BC=2BD，AB=BD（1分）四邊形ABDF是菱形（1分）（2）四邊形ABDF是菱形，AF=AB=DF（菱形的四條邊都相等）DE=AB，EF=AF（1分）G是AF的中點(diǎn)GF=AF，GF=EF（1分）FGDFEA，（1分）GD=AE，AC=2EC=2AE，AC=2DG（1分）題

13、型：解答題難度：困難詳細(xì)信息已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點(diǎn)E、O、F（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面積（1）根據(jù)ABCD為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到AE與CF平行，由兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，又EF垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線的定義得到AO=CO，且AC與EF垂直，再加上一對(duì)對(duì)頂角相等，利用“ASA”得到三角形AOE與三角形COF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=FC，由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到AFCE為平行四邊形，又根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形為菱形即可

14、得證；（2）由矩形的性質(zhì)得到B為直角，在直角三角形ABC中，由AB與BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，又已知EF的長(zhǎng)，而AC與EF為菱形AFCE的兩條對(duì)角線，根據(jù)對(duì)角線乘積的一半即可求出菱形的面積【解析】（1）四邊形ABCD是矩形，AEFC，EAO=FCO，EF垂直平分AC，AO=CO，F(xiàn)EAC，又AOE=COF，AOECOF，EO=FO，四邊形AFCE為平行四邊形，又FEAC，平行四邊形AFCE為菱形；（2）在RtABC中，由AB=5，BC=12，根據(jù)勾股定理得：AC=13，又EF=6，菱形AFCE的面積S=ACEF=×13×6=39題型：選擇題難度：簡(jiǎn)單詳細(xì)信息下列命

15、題中，真命題是（ ）A對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B有一條對(duì)角線平分對(duì)角的四邊形是菱形C菱形是對(duì)角線互相垂直平分的四邊形D菱形的對(duì)角線相等型：選擇題難度：壓軸詳細(xì)信息等腰梯形的兩底中點(diǎn)的連線與兩腰中點(diǎn)的連線，它們的關(guān)系是（ ）A相等B互相垂直但不一定互相平分C互相平分但不一定互相垂直D互相垂直平分可先畫出示意圖，根據(jù)等腰梯形的腰長(zhǎng)相等可得出答案【解析】根據(jù)AD=BC，GHABDC可得EFGH，結(jié)合中位線定理可得EF、GH互相平分故選D題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息如圖，ABCD中，AB=9，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=12，BD=，（1）求證：ABCD是菱形；（2）求這個(gè)平行四邊形

16、的面積（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可求得AO與BO的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求得AOB為直角三角形，則可得ACBD，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可證得ABCD是菱形；（2）由菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半，即可求得菱形的面積（1）證明：四邊形ABCD為平行四邊形，AC=12，BD=6，AO=AC=6，BO=BD=3，在AOB中，AB=9，62+（3）2=92，即AO2+BO2=AB2，AOB為直角三角形，AOB=90°，即ACBD，ABCD是菱形；（2）由（1）可知：ABCD是菱形，即S菱形ABCD=AC×

17、BD=36題型：填空題難度：壓軸詳細(xì)信息如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，HF=2，EG=4，則四邊形EFGH的面積為    由四邊形ABCD是矩形與E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，根據(jù)SAS，易證得AEHDGHBEFCGF，則可得EH=EF=FG=GH，根據(jù)由四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得四邊形EFGH是菱形，又由菱形的面積等于其對(duì)角線積的一半，即可求得四邊形EFGH的面積【解析】四邊形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=B=C=D=90°，E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，AE=DG=BE=CG，AH

18、=DH=BF=CF，AEHDGHBEFCGF（SAS），EH=EF=FG=GH，四邊形EFGH是菱形，HF=2，EG=4，四邊形EFGH的面積為：HFEG=×2×4=4故答案為：4題型：填空題難度：中等詳細(xì)信息下列命題：矩形的對(duì)角線互相平分且相等；對(duì)角線相等的四邊形是矩形；菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形其中正確的命題為     （注：把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）根據(jù)正方形、平行四邊形、菱形和矩形的判定，對(duì)選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案【解析】矩形的對(duì)角線互相平分且相等；故正確；對(duì)角線相

19、等的四邊形是矩形，不能正確判定，故錯(cuò)誤；菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，這是菱形的一條重要性質(zhì)，故正確；一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形，故正確故答案為：題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），PO的延長(zhǎng)線交BC于Q點(diǎn)（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形（2）若AB=3cm，AD=4cm，P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/秒的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由（1）依據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理判定PODQOB，所

20、以O(shè)P=OQ，則四邊形PBQD的對(duì)角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=tcm，PD=（4-t）cm當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=（4-t）cm在直角ABP中，根據(jù)勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，由此可以求得t的值（1）證明：如圖，四邊形ABCD是矩形，ADBC，OD=OB，PDO=QOB，在POD與QOB中，PODQOB（ASA），OP=OQ，四邊形PBQD為平行四邊形；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=tcm，PD=（4-t）cm當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=（4-t）cm四邊形ABCD是矩形，B

21、AP=90°，在直角ABP中，AB=3cm，AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，解得：t=，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD能夠成為菱形題型：解答題難度：中等詳細(xì)信息已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF（1）當(dāng)DG=2時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形；（2）求證：AEH=CGF；（3）設(shè)DG=x，用含x的代數(shù)式表示FCG的面積（1）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么D=A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易證AHEDGH，從而有DHG=H

22、EA，等量代換可得AHE+DHG=90°，易證四邊形HEFG為正方形；（2）過F作FMCD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由GE為菱形的對(duì)角線，利用菱形的性質(zhì)得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等式的性質(zhì)即可得證；（3）欲求FCG的面積，由已知得CG的長(zhǎng)易求，只需求出GC邊的高，通過證明AHEMFG可得（1）證明：在HDG和AEH中，四邊形ABCD是正方形，D=A=90°，四邊形EFGH是菱形，HG=HE，在RtHDG和AEH中，RtHDGAEH（HL），DHG=AEH，DHG+AHE=90°GHE=90°，菱形EF

23、GH為正方形，EHG=90°；（2）證明：過F作FMCD，垂足為M，連接GE，CDAB，AEG=MGE，GFHE，HEG=FGE，AEH=FGM；（3）由（2）得到AEH=FGM，在RtAHE和RtGFM中，RtAHERtGFM（AAS），MF=2，DG=x，CG=6-x，SFCG=CGFM=6-x題型：解答題難度：中等詳細(xì)信息如圖，已知O為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEAC，過點(diǎn)C作CEBD，且DE、CE相交于E點(diǎn)（1）請(qǐng)你判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四邊形OCED的面積（1）首先由CEBD，DEAC，可證得四邊形CODE是平行四邊形

24、，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形，（2）由矩形的性質(zhì)可知四邊形OCED的面積為矩形ABCD面積的一半，問題得解【解析】（1）四邊形OCED的形狀是菱形，理由如下：CEBD，DEAC，四邊形CODE是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OD=OC，四邊形CODE是菱形；（2）AB=6，BC=8，矩形ABCD的面積=6×8=48，SODC=S矩形ABCD=12，四邊形OCED的面積=2SODC=24題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息如圖，在菱形ABCD中，AB=4，AND=60°，點(diǎn)E是AD邊

25、的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD、AN（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）填空：當(dāng)AM的值為_時(shí)，四邊形AMDN是矩形；          當(dāng)AM的值為_時(shí)，四邊形AMDN是菱形（1）利用菱形的性質(zhì)和已知條件可證得NDEMAE，即可利用四邊形AMDN的對(duì)角線互相平分證得四邊形AMDN是平行四邊形；（2）有（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形即DMA=90°，所以AM=AD=2時(shí)即可；當(dāng)平行四

26、邊形AMND的鄰邊AM=DM時(shí)，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可（1）證明：四邊新ABCD是菱形，ABCD，DNE=AME，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，AE=DE，在NDE和MAE中，NDEMAE（AAS），NE=ME，四邊形AMDN是平行四邊形；（2）【解析】當(dāng)AM的值為2時(shí)，四邊形AMDN是矩形理由如下：AM=2=AD，ADM=30°DAM=60°，AMD=90°，平行四邊形AMDN是矩形；當(dāng)AM的值為4時(shí)，四邊形AMDN是菱形理由如下：AM=4，AM=AD=4，AMD是等邊三角形，AM=DM，平行四邊形AMDN是菱形故答案為；（1）2，（2）4題型：解答題難度：困難詳細(xì)信息（1）如圖甲，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DPOC，且DP=OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀并說明理由（2）如果題目中的矩形變?yōu)閳D乙菱形結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?，說明理由（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得