重慶大學(xué)--數(shù)學(xué)模型--數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作業(yè)四

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上開課學(xué)院、實(shí)驗(yàn)室：數(shù)統(tǒng)學(xué)院 實(shí)驗(yàn)時(shí)間 ：2015 年 10月28日課程名稱數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名 稱種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其他指導(dǎo)教師肖劍成 績(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程(組)的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；3 熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學(xué)習(xí)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型以及求解全過程；通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握微分方程(組)求解方法（解析法、歐拉法、梯度法、改進(jìn)歐拉法等），對(duì)常微分方程的數(shù)值解法有一個(gè)初步了解，同時(shí)學(xué)會(huì)使用MATLAB軟件求解微

2、分方程的基本命令，學(xué)會(huì)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型。這對(duì)于學(xué)生深入理解微分、積分的數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)的分析思維方法，熟悉處理大量的工程計(jì)算問題的方法是十分必要的。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1微分方程及方程組的解析求解法；2微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3直接使用MATLAB命令對(duì)微分方程(組)進(jìn)行求解(包括解析解、數(shù)值解)；4利用圖形對(duì)解的特征作定性分析；5建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型，并了解建立數(shù)學(xué)模型的全過程?；A(chǔ)實(shí)驗(yàn)一、問題重述1求微分方程的解析解, 并畫出它們的圖形， y= y + 2x, y(0) = 1, 0x1;2用向前歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式求方程y= y - 2x/y, y(0)

3、 = 1 (0x1,h = 0.1) 的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果，說明了什么問題？3Rossler微分方程組：當(dāng)固定參數(shù)b=2, c=4時(shí)，試討論隨參數(shù)a由小到大變化（如a(0,0.65)而方程解的變化情況，并且畫出空間曲線圖形，觀察空間曲線是否形成混沌狀？4.Apollo衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡的繪制二、實(shí)驗(yàn)過程1編輯程序代碼Untitle1:s=dsolve(Dy=y+2*x,y(0)=1,x)ezplot(s,0,1)運(yùn)行結(jié)果如下：s =3*exp(x) - 2*x 2圖形為： 2編寫程序代碼Untitle2：clcy=dsolve(Dy=y-2*x/y,y(0)=1,x)e

4、zplot(y,0,1)hold onx=;x(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;for n=1:10 x(n+1)=x(n)+0.1; y1(n+1)=1.1*y1(n)-0.2*x(n)/y1(n); k1=y2(n)-2*x(n)/y2(n); k2=y2(n)+0.1*k1-2*x(n)/(y2(n)+0.1*k1); y2(n+1)=y2(n)+0.05*(k1+k2);endplot(x,y1,k:,x,y2,k-.)運(yùn)行得到y(tǒng) =(2*x + 1)(1/2)，這是解析解。圖像如下：此題中向前歐拉公式更逼近解析解，其實(shí)，提高精度，即n的取值，兩種方式都可以無限逼近解析解。3

5、.首先編輯函數(shù)m文件rossler.m：function eq=rossler(t,x)global a b cb=2;c=4;eq=0 -1 -1;1 a 0;x(3) 0 -c*x+0;0;b;然后在命令行窗口輸入全局變量，并對(duì)a賦值，當(dāng)a=0.1時(shí)：global a b ca=0.1;x0=0;0;0;t,x=ode45(rossler,0,1000,x0);plot(t,x(:,1),r,t,x(:,2),k,t,x(:,3),g)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)grid on得到的圖形為：當(dāng)a=0.2，積分區(qū)間改為0,100時(shí)：當(dāng)當(dāng)a=0.6，積分區(qū)間改

6、為0,50時(shí)：由此一系列圖可知此空間圖線是混沌的。4. 編寫函數(shù)m文件apollo.m:function ep=apollo(t,y)syms y1 y2 y3 y4u=1/82.45;u1=1-u;r1=(y(1)+u)2+y(3)2)(1/2);r2=(y(1)-u1)2+y(3)2)(1/2);ep(1)=y(2);ep(2)=2*y(4)+y(1)-u1*(y(1)+u)/r13-u*(y(1)-u1)/r23;ep(3)=y(4);ep(4)=-2*y(2)+y(3)-u1*y(3)/r13-u*y(3)/r23;ep=ep(1);ep(2);ep(3);ep(4);運(yùn)行程序代碼Un

7、title4：t,y=ode45(apollo,0,20,1.2 0 0 -1.);y1=y(:,1);y2=y(:,2);y3=y(:,3);y4=y(:,4);plot(t,y1,t,y3)grid onpauseplot(y1,y3)grid on得到y(tǒng)1-t,y3-t的圖像y1-y3（Apollo衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌跡）的圖像：應(yīng)用實(shí)驗(yàn)（或綜合實(shí)驗(yàn)）一、問題重述鹽水的混合問題一個(gè)圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時(shí)，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始時(shí)，容器內(nèi)鹽的含量為7千克。求經(jīng)過時(shí)間t后容器內(nèi)鹽的含量。二、

8、問題分析 由題意可以知道，此題中容器內(nèi)的鹽含量以及濃度隨著時(shí)間在不停變化的，在流入到流出的過程中，由于混合在水中的鹽含量是不同的，所以溶解于水中的鹽的量每一時(shí)刻都是不同的，流出的量隨時(shí)間也是不斷變化的。可以選取一個(gè)無限小的時(shí)間微元進(jìn)行討論。三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解 假設(shè)在t時(shí)刻到t+t（t足夠?。r(shí)刻時(shí)，由于時(shí)間變化非常微小，可以認(rèn)為這個(gè)t時(shí)間內(nèi)，容器內(nèi)溶液濃度沒有發(fā)生變化濃度c(t)=c(t+t)=m(t)/V(t),則這個(gè)過程中鹽減少的質(zhì)量為m=m(t+t)-m(t)=-v2*c(t)* t，V(t)=V0+v1*t-v2*t。其中c(t)表示t時(shí)刻容器內(nèi)鹽的濃度；m(t)表示t時(shí)刻容器內(nèi)鹽的質(zhì)量；V(t)表示t時(shí)刻容器內(nèi)水的體積；v1,v2分別表示流入流出水的速度。 由于t足夠小，得微分方程m(t)=-v2*m(t)/(V(0)+v1*t-v2*t)。帶入數(shù)據(jù)得dm/dt=3m/(100+t)在MATLAB中建立腳本Untitle.mm=dsolve (Dm