真題微分方程第三章

1、第三節(jié)第三節(jié) 常系數(shù)線性微分方程常系數(shù)線性微分方程 組的解法組的解法v一、常系數(shù)齊次線性方程組的解法一、常系數(shù)齊次線性方程組的解法v二、常系數(shù)非齊次線性方程組的解法二、常系數(shù)非齊次線性方程組的解法v三、小結(jié)、思考題三、小結(jié)、思考題 設(shè)設(shè)(3.8)中系數(shù)矩陣中系數(shù)矩陣A中的每個(gè)元素中的每個(gè)元素 ), 1,(njiaij 為為常系數(shù)線性微分方程組。常系數(shù)線性微分方程組。都是常數(shù)，則稱都是常數(shù)，則稱)(tfxAdtxd )23. 3(, 0)()23. 3( tf中中，若若在在則其稱為則其稱為常系數(shù)非齊次線性微分方程組；常系數(shù)非齊次線性微分方程組；xAdtxd )24. 3(為為常系數(shù)齊次線性微分方

2、程組。常系數(shù)齊次線性微分方程組。, 0)( tf若若則稱則稱一、常系數(shù)齊次線性方程組的解法一、常系數(shù)齊次線性方程組的解法 其解法其解法類似于解常系數(shù)線性微分方程。類似于解常系數(shù)線性微分方程。 令令 tevx )25. 3(, xAdtxd )24. 3(對(duì)于對(duì)于常系數(shù)齊次線性微分方程組常系數(shù)齊次線性微分方程組 將上式代入將上式代入 (3.25)得得 .ttevAev )26. 3(定義定義 方程方程(3.28)(3.28)稱為矩陣稱為矩陣A A的的特征方程特征方程，稱其，稱其根為根為A A的的特征根特征根。稱。稱(3.28)(3.28)和它的根為常系數(shù)齊和它的根為常系數(shù)齊次線性方程組次線性方程

3、組(3.24)(3.24)的的特征方程特征方程和和特征根特征根。.ttevAev )26. 3(移項(xiàng)，并約去非零因子移項(xiàng)，并約去非零因子,te 有有. 0)( vEA)27. 3(式式等等于于零零，即即的的系系數(shù)數(shù)行行列列的的充充要要條條件件是是有有非非零零解解)27. 3()27. 3(v. 0)det( EA)28. 3(）的的（是是屬屬于于特特征征根根nivii, 1 ,1n 是是(3.24)的通解，的通解， 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A的特征根都是單根，即有的特征根都是單根，即有n個(gè)不同的個(gè)不同的特征根特征根（一）特征根都是單根（一）特征根都是單根個(gè)不同的解：個(gè)不同的解：有有則方程組則方程組特征向量

4、特征向量n)24. 3(,.,2121tnttnevevev )30. 3(則則.1tiniiievcx )31. 3(個(gè)個(gè)任任意意常常數(shù)數(shù)。是是其其中中nnici), 1( 56611243)(D解方程組解方程組 .566,24332133123211xxxdtdxxxdtdxxxxdtdx例例1 1由特征方程由特征方程解解, 0)1)(1)(2( 原方程的通解是原方程的通解是. 1, 1, 2321 解得特征根解得特征根的特征向量分別是：的特征向量分別是：和和屬于屬于11, 2321 ,2101 v,0112 v.1013 v.1010112103221321tttecececxxx ti

5、eq iptx)(1)()( qipvqipv 21,.,121 ii 設(shè)設(shè)A是實(shí)矩陣，若特征方程是實(shí)矩陣，若特征方程(3.28)有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根有有則方程組則方程組)24. 3(),sincos()sincos(tqtpietqtpett 的的特特征征向向量量。是是分分別別屬屬于于21, 兩個(gè)復(fù)值解：兩個(gè)復(fù)值解：tieq iptx)(2)()( ),sincos()sincos(tqtpietqtpett 上述解上述解 的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部的兩個(gè)實(shí)值解。的兩個(gè)實(shí)值解。分別是方程組分別是方程組)24. 3(),sincos(tqtpet 和和),sincos(tqtpet 例例2 2解

6、方程組解方程組.321131012 zyxzyxdtd解解 321131012)(D由特征方程由特征方程, 0)106)(2(2 原方程的通解是原方程的通解是.3,3, 2321ii 解得特征根解得特征根的特征向量分別是：的特征向量分別是：和和屬于屬于ii 33, 2321,1011 v,2112 iiv.2113 iiv.cossin2sincossinsincos2sincoscos101333221tttetttttcetttttceczyx （二）特征根有重根（二）特征根有重根個(gè)個(gè)有有下下述述形形式式的的方方程程組組則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于根根k)24. 3(,00 ,)!1(! 2! 1()

7、(0112210tkkevktvtvtvtx 線性無關(guān)解：線性無關(guān)解：引理引理3.1 設(shè)系數(shù)矩陣設(shè)系數(shù)矩陣A的特征方程的特征方程(3.28)有有k重特征重特征)32. 3(是是下下列列常常向向量量：其其中中)1, 1 , 0( kivi, 0)(00 vEAk1)33. 3(,)(100vvEA ,)(210vvEA ,)(120 kkvvEA2)33. 3()34. 3(1)33. 3( k,1s xAdtxd 其重?cái)?shù)其重?cái)?shù)的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A有不同的的特征根有不同的的特征根存在形如存在形如方程組方程組對(duì)應(yīng)于每個(gè)根對(duì)應(yīng)于每個(gè)根)24. 3(,)1(i )24. 3(tjiietp )()(

8、則則分分別別為為.,11nnnnnss 定理定理3.7 設(shè)方程組設(shè)方程組), 2 , 1(inj i)35. 3(是是向向量量函函數(shù)數(shù)，其其分分量量個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)解解，其其中中的的)()(tpnjii的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式；的的次次數(shù)數(shù)不不超超過過為為1 int這這n個(gè)解是線性無關(guān)的，構(gòu)成一個(gè)基本解組。個(gè)解是線性無關(guān)的，構(gòu)成一個(gè)基本解組。)36. 3(個(gè)個(gè)解解，的的得得到到由由對(duì)對(duì)于于nsii)34. 3()35. 3(, 2, 1)2( 的的通通解解為為方方程程組組)24. 3()3(.)(1)(1tsijinjijiietpcx 是是任任意意常常數(shù)數(shù)。其其中中), 1;, 1(iijnjs

9、ic 401410011)det(EA解方程組解方程組例例3 3由特征方程由特征方程解解, 0)3(2 , xAdtxd ,321 xxxx.401410011 A,1441 v.3),(021（二重根）（二重根）單根單根解得特征根解得特征根 的特征向量是的特征向量是屬于屬于01 為為它它的的兩兩個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量. 0)3(02 vEA.1441321 xxx對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的原方程的一個(gè)解是原方程的一個(gè)解是式的方程為式的方程為，相應(yīng)于，相應(yīng)于對(duì)于二重根對(duì)于二重根)34. 3(32 ,101)1(0 v.110)2(0 v從而得從而得,242)3()1(0)1(1 vEAv.121)3(

10、)2(0)2(1 vEAv方程組的通解為：方程組的通解為：.12111024210114433321321ttetcetccxxx ,121)1(0 v.132)2(0 v的另外兩個(gè)線性無關(guān)向量，例如取的另外兩個(gè)線性無關(guān)向量，例如取,000)1(1 v.121)2(1 v注：注：0)3(, 3022 vEA也也可可取取滿滿足足對(duì)對(duì)于于二二重重根根從而得到從而得到方程組的通解為：方程組的通解為：.12113212114433321321ttetceccxxx 由于所取的兩個(gè)基本解組不一樣。得到的通解由于所取的兩個(gè)基本解組不一樣。得到的通解的外表形式可能不同，但實(shí)質(zhì)上是一樣的。的外表形式可能不同，

11、但實(shí)質(zhì)上是一樣的。注：注： 111111111解方程組解方程組例例4 4由特征方程由特征方程解解, 0)2)(1(2 .,zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx,1111 v.2),(121（二重根）（二重根）單根單根解得特征根解得特征根 的特征向量是的特征向量是屬于屬于01 為為它它的的兩兩個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量. 0)2(02 vEA.1111tezyx 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的原方程的一個(gè)解是原方程的一個(gè)解是式的方程為式的方程為，相應(yīng)于，相應(yīng)于對(duì)于二重根對(duì)于二重根)34. 3(22 ,101)1(0 v.110)2(0 v從而得從而得,000)2()1(0)1(1 vEAv.000)2()

12、2(0)2(1 vEAv方程組的通解為：方程組的通解為：.11010111123221tttecececzyx 300241212解方程組解方程組例例5 5特征方程是特征方程是解解, 0)3(3 .3,24,22zdtdzzyxdtdyzyxdtdx.(31三重根）三重根）解得特征根解得特征根 為為它它的的三三個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量. 0)3(03 vEA式的方程為式的方程為，相應(yīng)于，相應(yīng)于對(duì)于三重根對(duì)于三重根)34. 3(32 ,001)1(0 v,010)2(0 v.100)3(0 v,011)2(1 v.022)3(1 v,011)1(1 v從而得從而得方程組的通解為：方程組的通解

13、為：.0223123123321tecccccctccczyx ,000)1(2 v.000)3(2 v,000)2(2 v二、常系數(shù)非齊次線性方程組的解法二、常系數(shù)非齊次線性方程組的解法),(tfxAdtxd )8 . 3(考慮考慮一般非齊次線性微分方程組一般非齊次線性微分方程組 其其初值條件初值條件是是 )5 . 3(,)(00 xtx ),(0bat (3.8)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是 . xAdtxd )10. 3(利用利用常數(shù)變易法常數(shù)變易法有如下定理有如下定理)(tX 定理定理3.8 dfXtXctXtxtt)()()()()(01)42. 3( 設(shè)設(shè) 是是(3

14、.8)所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的(3.10)的一個(gè)基本解的一個(gè)基本解),(0bat )43. 3(矩陣，則矩陣，則,)()()()()(0100 dfXtXxtXtxtt是是(3.8)的通解，的通解，是初值問題是初值問題(3.8),(3.5)的特解。的特解。例例6 6解初值問題解初值問題,2cos00123212001 texdtxdt解解 123212001)(D（1）先求對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解。）先求對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解。, 0)52)(1(2 .100)0( x由特征方程由特征方程得到齊次方程組的一個(gè)基本解矩陣：得到齊次方程組的一個(gè)基本解矩陣：.21,21, 1321ii 解得特征根解得特征根的

15、特征向量分別是：的特征向量分別是：和和屬于屬于ii2121, 1321 ,2321 v,102 iv.103 iv.2cos2sin22sin2cos3002)(tetttttX 利用利用常數(shù)變易法常數(shù)變易法，令，令代入原方程組得代入原方程組得所以所以).()( )(tftctX )40. 3(.2cos2cos2sin0)()()( 21 ttttftXtc)()(tctXx )38. 3(將上式代入將上式代入(3.42)即得通解即得通解故故.4sin812)4cos1(810)()()(01 tttcdfXctct.4sin812)4cos1(8102cos2sin22sin2cos300

16、2)( tttcttttetxt.110)(110)0( ctxx，得得代代入入通通解解再再把把.2sin452cos)21(2sin)21(2cos0)( ttttttetxt于是所給初值問題的解是于是所給初值問題的解是例例7 7* *解微分方程組解微分方程組 )2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21 zdxdzy設(shè)法消去未知函數(shù)，設(shè)法消去未知函數(shù)，y解解兩邊求導(dǎo)得，兩邊求導(dǎo)得，)4(,2122 dxdzdxzddxdy把把(3), (4)代入代入(1)式并化簡(jiǎn)式并化簡(jiǎn), 得得0222 zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz )

17、6(.)22(21221xexCCCy 再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程組的通解為原方程組的通解為.)()22(2121221 xxexCCzexCCCy用用D表示對(duì)自變量表示對(duì)自變量x求導(dǎo)的運(yùn)算求導(dǎo)的運(yùn)算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn 例如，例如，D用記號(hào)用記號(hào)可表示為可表示為)()(111xfyaDaDaDnnnn 注意注意: :nnnnaDaDaD 111是是D的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式可進(jìn)行相加和相乘的運(yùn)算可進(jìn)行相加和相乘的運(yùn)算例例8 8* * 解微分方程組解微分方程組 . 02222ydtdxdtydexdtdydtxdt用用記記號(hào)號(hào)D表表示示dtd, ,則

18、則方方程程組組可可記記作作解解類似解代數(shù)方程組消去一個(gè)未知數(shù)類似解代數(shù)方程組消去一個(gè)未知數(shù),消去消去x 0)1()1(22yDDxeDyxDt()():)2()1(D ,3teyDx ():)3()2(D .)1(24tDeyDD ()teyDD )1(24()即即非齊常系數(shù)線性方程非齊常系數(shù)線性方程其特征方程為其特征方程為0124 rr解得特征根為解得特征根為,215,2514,32, 1 irr易求一個(gè)特解易求一個(gè)特解,tey 于是通解為于是通解為.sincos4321tttetCtCeCeCy ()將將()代入代入()得得.2sincos43332313tttetCtCeCeCx 方程組

19、通解為方程組通解為 ttttttetCtCeCeCyetCtCeCeCxsincos2sincos432143332313注意：注意：在求得一個(gè)未知函數(shù)的通解以后，再求另在求得一個(gè)未知函數(shù)的通解以后，再求另一個(gè)未知函數(shù)的通解時(shí)，一般不再積分一個(gè)未知函數(shù)的通解時(shí)，一般不再積分三、小結(jié)三、小結(jié)求常系數(shù)齊次線性方程組的特征向量法。求常系數(shù)齊次線性方程組的特征向量法。個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)解解：方方程程組組有有下下述述形形式式的的則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于重重特特征征根根的的是是系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣若若kkA,00 ,)!1(!2!1()(0112210tkkevktvtvtvtx 求常系數(shù)非齊次線性方程組的常數(shù)變易法。求常系數(shù)非齊次線性方程組的常數(shù)變易法。 dfXtXctXtxtt)()()()()(01齊通解齊通解非齊特解非齊特解),()(tctXx 令令則則(2) 注意求出其中一個(gè)解，再求另一個(gè)解時(shí)，注意求出其中一個(gè)解，再求另一個(gè)解時(shí)，宜用代數(shù)法，不要用積分法避免處理兩次宜用代數(shù)法，不要用積分法避免處理兩次積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)間的關(guān)系積分后出現(xiàn)的任