數(shù)學(xué)建模電子版

1、與封堵潰口有關(guān)的重物落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型摘要我國(guó)經(jīng)常發(fā)生洪水，潰壩潰堤進(jìn)而泥石流災(zāi)害造成和生命的嚴(yán)重?fù)p失，而物體填堵法是解決該問(wèn)題的一種有效何處投放重物最合適的問(wèn)題。，本文主要解決了物體填堵法中應(yīng)在問(wèn)題 1：在合理假設(shè)的前提下，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭懈鲉渭嚓P(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并參考相關(guān)資料，得出影響重物在水中運(yùn)動(dòng)的主要因素，包括流速、投放高度、投放方式、物體體積和重量等。然后按照物體是否完全浸入水中把運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成兩個(gè)階段，再分別從垂直和水平兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向考慮，建立了大實(shí)心方磚落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的微分方程模型，詳見(jiàn) 78 頁(yè)。問(wèn)題 2：在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，綜合考慮各種相關(guān)因素，建立了能夠適應(yīng)不同情況的、描述重

2、物水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。在此模型的基礎(chǔ)上，利用已知的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和相關(guān)知識(shí)，分別建立了單個(gè)重物在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，詳見(jiàn) 1119 頁(yè)。問(wèn)題 3：在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上，利用軟件對(duì)大實(shí)心方磚和心方磚的運(yùn)動(dòng)模型求解，生成運(yùn)動(dòng)軌跡圖形。利用光的折射原理對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換，然后對(duì)處理過(guò)的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合可得到各單件的運(yùn)動(dòng)方程。以大實(shí)心方磚為例進(jìn)行分析，對(duì)比擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的和所建模型得到的運(yùn)動(dòng)方程，從而可以計(jì)算出離散時(shí)間點(diǎn)的相對(duì)誤差， 其值大約為 8%13%，符合容許條件，證明所建模型還是比較合理的。問(wèn)題 4：小型試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜐M(mǎn)足德準(zhǔn)則、準(zhǔn)則、準(zhǔn)則和準(zhǔn)則。依據(jù)相關(guān)準(zhǔn)則，利用幾何相似和運(yùn)動(dòng)相似，得到所求問(wèn)題

3、與模型的速度、體積、面積等的關(guān)聯(lián)式，將試驗(yàn)所建模型成果推廣。根據(jù)補(bǔ)充假設(shè)條件，按照大實(shí)心方磚：長(zhǎng)為1.0928m ， 高為0.5464m ，投放高度2m ，平放情況模型（29 頁(yè)）對(duì)提出的問(wèn)題進(jìn)行求解，如水深為3m ，水速是4m / s 時(shí)情況時(shí)，算出需提前投放距離是1.3521m ；：微分方程模型光折射原理相對(duì)誤差分析2一、問(wèn)題的提出1.1 問(wèn)題的由來(lái)我國(guó)經(jīng)常發(fā)生洪水，潰壩潰堤進(jìn)而泥石流災(zāi)害造成和生命的嚴(yán)重?fù)p失。來(lái)的洪災(zāi)，尤其是最近的潰壩、泥石流險(xiǎn)情給了我們深刻的教訓(xùn)：必須有效地開(kāi)展封堵潰口的研究。由于潰口水流的流量和速度會(huì)比較大，在通常情況下很難在短時(shí)間之內(nèi)將潰口徹底封堵，但如果通過(guò)投放重

4、物對(duì)尚存的壩體產(chǎn)生一定的保護(hù)作用，就可以延緩潰壩潰堤的過(guò)程，為群眾的爭(zhēng)取的時(shí)間。利用直升飛機(jī)投放堵口組件，不僅能顯著提高潰口搶險(xiǎn)的快速反應(yīng)能力，而且容易解決潰通不便、堵口物資缺乏等問(wèn)題。 如 2005 年 8 月，美國(guó)工程師團(tuán)新奧爾良第 17 大街運(yùn)河的防洪堤壩缺口展開(kāi)修補(bǔ)行動(dòng)時(shí)動(dòng)用直升飛機(jī)向缺口處投放砂袋，終于在幾日后封住了缺口。顯然，投入潰口的重物落水后受到潰口水流的作用會(huì)向下游漂移。為了使封堵用的重物落水后能夠沉底到、并保持在預(yù)想的位置，盡可能減少無(wú)效投放，必須掌握重物落水后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，在預(yù)定沉底位置的上游一定距離投放達(dá)到一定體積和重量的重物。由于潰壩潰堤的高度危害性、不可重復(fù)性和損失過(guò)

5、大，肯定無(wú)法通過(guò)相關(guān)實(shí)物試驗(yàn)去研究封堵用重物落在潰口后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，而只能先通過(guò)理論分析和小型試驗(yàn)獲取相關(guān)數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行研究，特別后者具有客觀(guān)、經(jīng)費(fèi)省、風(fēng)險(xiǎn)小、時(shí)間短、易重復(fù)、條件可以改變等優(yōu)點(diǎn)。1.2 相關(guān)信息在研究前期，忽略了某些非關(guān)鍵性影響因素，只考慮在簡(jiǎn)單情況下，通過(guò)固定大多數(shù)因素、條件，只讓少數(shù)因素發(fā)揮作用，去發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)部的規(guī)律，揭示問(wèn)題的本質(zhì)。也不考慮重物沉底后的穩(wěn)定性，只探索重物落水后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)計(jì)的小型試驗(yàn)先選取幾種重物形狀、四種不同速度的穩(wěn)定水流、在三種不同的高度下多次重復(fù)進(jìn)行投放試驗(yàn)。希望從大量數(shù)據(jù)的分析中發(fā)現(xiàn)重物在水中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，同時(shí)為機(jī)理模型的建立提供思路及檢驗(yàn)?zāi)Ｐ陀玫?/p>

6、數(shù)據(jù)。在理論分析和小型試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，將根據(jù)水力學(xué)已經(jīng)有的方法進(jìn)行推廣， 同時(shí)變動(dòng)試驗(yàn)的條件和物理、幾何等參數(shù)再進(jìn)行新試驗(yàn)。一方面可以補(bǔ)充原來(lái)方案的不足，另一方面使新試驗(yàn)更接近真實(shí)情況，驗(yàn)證已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的“疑似規(guī)律”和建立的數(shù)學(xué)模型，并加以改進(jìn)和推廣。在進(jìn)一步總結(jié)后再將改進(jìn)后的試驗(yàn)方法、包括測(cè)試方案、數(shù)學(xué)模型,推廣應(yīng)用到野外中型試驗(yàn)，在獲得規(guī)律后才能夠最終應(yīng)用于實(shí)際搶險(xiǎn)行動(dòng)。1.3 問(wèn)題的提出并掌握重物在水中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題 1：以附錄 1 中各單件試件為例，利用所學(xué)知識(shí)及相關(guān)參考資料分析影響重物在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的因素，并建立大實(shí)心方磚（如圖 1）落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。問(wèn)題 2：利用小型試驗(yàn)數(shù)據(jù)

7、或相關(guān)數(shù)學(xué)、物理方法，建立包含上述各種因素，從而能夠適應(yīng)不同情況的、描述重物水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型。其中建立單個(gè)重物在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是必做項(xiàng)目，建立兩個(gè)重物連接后的組件在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型為選做項(xiàng)目。問(wèn)題 3：對(duì) 所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行誤差分析，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)、物理概念、小型試驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證所建立的數(shù)學(xué)模型的合理性，并根據(jù)的數(shù)學(xué)模型提出讓堵口重物恰好在問(wèn)題 4：由認(rèn)為最有效位置觸底的猜想和應(yīng)該進(jìn)行哪些新試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證的猜想。流運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，至今一些水流現(xiàn)象還無(wú)法從小型試驗(yàn)得到，因此3小型試驗(yàn)的結(jié)論不能任意推廣到真實(shí)情況。水力學(xué)理論研究的結(jié)論是：小型試驗(yàn)的與真實(shí)情況的具有一定的相似性時(shí)，小型

8、試驗(yàn)的結(jié)果方可用到原型中去。相似是指在對(duì)應(yīng)點(diǎn)上、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，所有物理量都成比例。具體的可以表述成幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似。幾何相似是指模型和原型的全部對(duì)應(yīng)線(xiàn)形長(zhǎng)度的比值為一常數(shù)；運(yùn)動(dòng)相似是指滿(mǎn)足幾何相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)時(shí)刻、對(duì)應(yīng)點(diǎn)流速（度）的方向一致，大小成比例；動(dòng)力相似是指兩個(gè)運(yùn)動(dòng)相似的流場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)、對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，作用在兩相似幾何上的力，方向相同、大小成比例。在幾何相似的條件下，兩種物理現(xiàn)象保證相似的條件或準(zhǔn)則，稱(chēng)之為相似準(zhǔn)則。流體力學(xué)試驗(yàn)中常采用的相似準(zhǔn)則包括重力相似準(zhǔn)則（費(fèi)很難使準(zhǔn)則）、粘性力相似準(zhǔn)則（準(zhǔn)則）、相似準(zhǔn)則（準(zhǔn)則）等。由于，甚至根本無(wú)法進(jìn)完全相似，而且定性準(zhǔn)則數(shù)越多，小型試

9、驗(yàn)的設(shè)計(jì)越行。為了解決這方面的，在實(shí)際的小型試驗(yàn)中，一般只能滿(mǎn)足某個(gè)或某些相似準(zhǔn)則，忽略對(duì)過(guò)程影響比較小的相似準(zhǔn)則，抓住問(wèn)題的主要物理量，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。請(qǐng)根據(jù)上述簡(jiǎn)要介紹，查閱相關(guān)資料，并根據(jù)前面題。建立的數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)要回答以下兩個(gè)問(wèn)（1） 本題所提及的小型試驗(yàn)滿(mǎn)足了什么相似準(zhǔn)則？如何依據(jù)相似準(zhǔn)則將本試驗(yàn)及所建立的數(shù)學(xué)模型的成果加以推廣，對(duì)未來(lái)需要進(jìn)行的試驗(yàn)和研究工作提出建議。（2） 假定潰口幾何形狀及水流速度與小型試驗(yàn)相似，潰口水深分別為 3m 和 4m，潰口流速為 4m/s 和 5m/s，若重物重量為 1.5t，根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型求解距離水面 2m投放重物時(shí)，應(yīng)分別提前多遠(yuǎn)投放才能使重物

10、沉底到預(yù)置？二、問(wèn)題分析整個(gè)模型需要考慮的關(guān)鍵問(wèn)題有兩個(gè)：準(zhǔn)確性，即根據(jù)所建模型計(jì)算出投放位置， 使在該位置投放的堵口組件能夠準(zhǔn)確落入到計(jì)劃需要封堵的潰口；物體受力分析，在流體中運(yùn)動(dòng)物體的受力可以從垂直和水平兩個(gè)方向分別考慮：水平方向，受到水的沖擊力和水的粘滯阻力；垂直方向，受到重力、水的浮力、壓差阻力和粘滯阻力。然而，在小型試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭校ㄟ^(guò)資料數(shù)據(jù)分析可以認(rèn)為，體的粘滯阻力相對(duì)于壓差阻力來(lái)說(shuō)，可以看成是比較小的數(shù)值，因而在計(jì)算過(guò)程中忽略了粘滯阻力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響。2.1 問(wèn)題一的分析物體在流水中的運(yùn)動(dòng)不同于其在靜水中的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程受到多種因素的影響。利用流體力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，在保持一定精確度

11、要求下，忽略一些非關(guān)鍵而又復(fù)雜的因素。從而可以得出影響重物在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的因素主要有以下幾個(gè)方面：（1）投放的速度。（2）投放物體距離水面的高度。（3）物體的形狀。（4）物體的體積和重量。（5）物體投放的方式。（6）流體的結(jié)構(gòu)。建立大實(shí)心方磚落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的模型時(shí)，以物體是否完全浸入水中為分界點(diǎn)，把運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分成兩個(gè)階段：物體接觸水面到剛完全浸入水中；物體完全浸入水中到達(dá)到實(shí)驗(yàn)水槽的底部。然后根據(jù)劃分的兩個(gè)階段，又考慮了大實(shí)心方磚在垂直和水平方向上的受力，分別建立了物體在垂直方向運(yùn)動(dòng)的微分方程模型和水平方向運(yùn)動(dòng)的微分方程模型。42.2 問(wèn)題二的分析在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行細(xì)化分析，尤其是對(duì)

12、物塊的受力分析。一般受到水平拖曳力和垂直上舉力的作用，其中水平拖曳力是促使物體運(yùn)動(dòng)的主要?jiǎng)恿Α．?dāng)塊體具有一定空心結(jié)構(gòu)時(shí)，由于重量減輕，水平拖曳力將發(fā)生變化。為分析方便，引入了空心率的概念。從力學(xué)角度出發(fā)，研究空心塊體所受的水流作用力隨塊體空心率大小的變化關(guān)系，研究空心塊體在具有不同空心率的情況下對(duì)水流作用力的影響，研究水流作用力隨塊體空心率的變化關(guān)系。從而得出拖曳力關(guān)于空心率的表的運(yùn)動(dòng)方程。，在此基礎(chǔ)上分析物體重物在水中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程與重物的形狀空心、實(shí)心、方形、蜂巢型，重物的投放方式正放、豎放、立放，都有很大的關(guān)系。因此在建立重物落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型時(shí)要充分考慮這些因素，同時(shí)為了使模型計(jì)算簡(jiǎn)

13、單且更容易推廣， 和水平方向的受力情形。2.3 問(wèn)題三的分析考慮了垂直攝像機(jī)下來(lái)的數(shù)據(jù)并不是物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際坐標(biāo)值，需對(duì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先，將物體從三標(biāo)之間的關(guān)系表轉(zhuǎn)換到二維平面，然后利用光的折射原理，得到相應(yīng)的新舊坐，并實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換。經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,得到動(dòng)力學(xué)方程在體軸系下的形式,并補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,使方程組滿(mǎn)足封閉性要求,從而建立完整的矢量動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，與上述所建立的運(yùn)動(dòng)方程模型進(jìn)行實(shí)例比較，比較其不同，并進(jìn)行相應(yīng)的誤差分析。2.4 問(wèn)題四的分析由流運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，至今一些水流現(xiàn)象還無(wú)法從小型試驗(yàn)得到，因此小型試驗(yàn)的結(jié)論不能任意推廣到真實(shí)情況。根據(jù)流體力學(xué)理論以及其相關(guān)理

14、論知識(shí)可知，為了使利用小型試驗(yàn)建立的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際中去，就必須使使小型試驗(yàn)的與真實(shí)情況的滿(mǎn)足一定的相似性準(zhǔn)則，并利用相似準(zhǔn)則在原型與模型之間建立關(guān)聯(lián)，從而使建立的數(shù)學(xué)模型的成果能夠加以推廣。根據(jù)上述所建的模型以及實(shí)驗(yàn)所得的相關(guān)數(shù)據(jù)，得出滿(mǎn)足條件的相似性的原則，以便推廣。根據(jù)假定的幾何形狀以及水流速度與小型實(shí)驗(yàn)相似，再根據(jù)問(wèn)題二中所建立的模型，算出投放重物應(yīng)提前投放多遠(yuǎn)的距離才能使重物落到預(yù)置。三、模型假設(shè)（1）重物落水區(qū)的水文特征有一定的穩(wěn)定性，水流速度是均勻穩(wěn)定的；（2）重物投入流水中發(fā)生翻轉(zhuǎn)的情況；（3）重物水平運(yùn)動(dòng)方向水的阻力相對(duì)的推動(dòng)力來(lái)說(shuō)可以忽略；（4）在物體距離水面一定距離投放

15、時(shí)，忽略空氣阻力和隨機(jī)風(fēng)的影響；（5）不考慮物體剛?cè)肟痰牧?；?）模型計(jì)算中忽略了水的粘滯阻力。四、符號(hào)說(shuō)明m ：物塊質(zhì)量5r水：r物：A ：C ：V水：水的密度物塊的密度物塊截面積阻力系數(shù)水流速度V物： 物塊在流水中的運(yùn)動(dòng)速度a豎直 ：大方磚豎直方向的度a水平 ：大方磚水平方向的度V相：物塊與流水的相對(duì)速度V排： V ：V0 ：物塊進(jìn)入水流中的排水體積物塊體積物塊入水前的初速度g ：h ： G ：F浮:重力度物塊與水面的高度物塊重力塊的浮力F壓差：塊的壓差阻力F拖曳：拖曳力五、模型建立與求解5.1 問(wèn)題一的分析與建模5.1.1 問(wèn)題分析流體與物體間的相互作用，是流體動(dòng)力學(xué)中的重要課題，在許多

16、領(lǐng)域中得以應(yīng)用， 流體本身的復(fù)雜性及塊體的多樣性都決定了研究的復(fù)雜性。物體的存在，將會(huì)引起物體周?chē)黧w的變化，產(chǎn)生水流的分離、漩渦等現(xiàn)象。因此，物體在流水中的運(yùn)動(dòng)不同于其在靜水中的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程受到多種因素的影響。就單個(gè)物體研究而言，球體或二維柱體(軸線(xiàn)垂直流方向)常被作為研究對(duì)象，如研究泥沙運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)多采用的球形體，僅由直徑或名義粒徑(等體積球的直徑)一個(gè)幾何尺度便可確定粒徑，本文中的實(shí)驗(yàn)試件多為此類(lèi)，而塊體形狀的不同將導(dǎo)致水流6作用力不同。因此，在忽略某些非關(guān)鍵因素的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析附錄 1 中各單件試件的區(qū)別及相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用流體力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，分析得出影響重物在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的因素主要

17、有以下幾個(gè)方面：（1）投放物塊距離水面的高度從物塊距離水面一定距離時(shí)開(kāi)始投放直到物塊接觸水面（忽略空氣中的阻力），這一過(guò)程物塊做自由落體運(yùn)動(dòng)，不同的高度h 可以使物體獲得不同的入根據(jù)動(dòng)能守恒定理的初速度。mgh = 1 mV2（1）02可以得到物塊的入水前初速度的計(jì)算公式如下：V0 =2gh（2）（2）物體的形狀物體的形狀發(fā)生變化時(shí)，產(chǎn)生的度也會(huì)做相應(yīng)的改變。若度改變，受力就一定會(huì)變，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程自然就會(huì)不同，如大實(shí)心方磚和看出其入水后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程不同。蜂巢，根據(jù)截圖資料可以下面對(duì)物體進(jìn)行受力分析，一般作用在物體上的作用力可分為以下三類(lèi)： 與流體塊體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的力：即使相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度和力也不消

18、失，如慣性力，重力，壓差力等；度為零，此 依賴(lài)于流體塊體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的，其方向沿著相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的力：即為縱向力，如拖曳力、附加質(zhì)量力、Basset 力等； 依賴(lài)于流體塊體間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的，其方向垂直于相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向的力：即為側(cè)向力，如上舉力、Magnus 力和 Saffman 力等；就本文對(duì)物體進(jìn)行受力分析時(shí)，忽略了水的粘滯阻力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，只考慮以下力：一是物體所在的流體內(nèi)部各處的壓強(qiáng)不同，造成兩個(gè)對(duì)立方向的差，即所謂的浮力；二是物體本身固有的重力；三是物體與流體間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生在運(yùn)動(dòng)方向上的差和摩擦力，即所謂的拖曳力。而塊體本身的拖曳力就是由壓差阻力和摩擦阻力的，兩者中哪一部分占主體地位，

19、則是根據(jù)塊體的形狀及拋置情況決定。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)物體，例如順?biāo)鲯佒玫钠桨?，則摩擦阻力占主導(dǎo)地位；而球，則主要是壓差阻力。其具體計(jì)算公式如下：物體的受力，例如圓F= 1 Cr AV2（3）拖曳相2其中V相 =V物 -V水 ， C 為拖曳力系數(shù)，由物體的長(zhǎng)高比值決定，A 為塊體水平運(yùn)動(dòng)截面的面積。以大實(shí)心方磚為例進(jìn)行受力分析，其受力分析圖 5-1 所示。7F浮力F壓差F拖曳G圖 5-1 大實(shí)心方磚的受力分析示意圖（3）物體的體積和質(zhì)量物體的體積影響物體所受浮力，質(zhì)量影響物體所受重力，體積和質(zhì)量的變化可以通過(guò)影響物體受力來(lái)影響物體在水中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。G = mg（4）F 浮= rg V 排（5）水其中G

20、是物體所受重力， F浮 是物體所受浮力，V排是物體在水流中的排水體積。（4）物體投放的方式同一物體，以不同的方式入水，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程也會(huì)不同。如以大實(shí)心方磚為例，分別以平放、豎放的方式入水，根據(jù)（5）流體的結(jié)構(gòu)資料可以看出其在水中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是不相同的。流體各部分的流速不相同時(shí)，流體各部分的壓強(qiáng)也不同，處在其中的物體將受到力的作用也有所不同，從而影響其運(yùn)動(dòng)過(guò)程；若物體兩邊的流體密度相同而流速不相同， 其運(yùn)動(dòng)狀況也大有不同。所以，流體本身的結(jié)構(gòu)對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)也是有影響的。5.1.2 模型建立在受力分析的基礎(chǔ)上，建立大實(shí)心方磚落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的模型時(shí)，把運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分成兩個(gè)階段：物體剛接觸水面到剛完全浸入水；

21、物體完全浸入水到達(dá)到試驗(yàn)水槽的底部。然后根據(jù)劃分的兩個(gè)階段，又考慮了大實(shí)心方磚在垂直和水平方向上的受力，分別建立了物體在垂直方向和水平方向運(yùn)動(dòng)的微分方程模型。（1）物塊從接觸水面到完全浸入水中階段根據(jù)以上對(duì)大實(shí)心方磚的受力分析，可以得到大實(shí)心方磚落水后的運(yùn)動(dòng)模型如下： 垂直方向的運(yùn)動(dòng)模型G - F壓差 - F浮 = m× a豎d (h - y )d 2 (h - y )1即 mg -C rAL 2水 - r 水 gA ( h - y ) = m ×dt 2dt8其中C 是水的阻力系數(shù)， A 是物體垂直運(yùn)動(dòng)時(shí)與水的橫截面面積， y 是重心的縱坐標(biāo)，t 是運(yùn)動(dòng)時(shí)間，坐標(biāo)系原點(diǎn)在

22、區(qū)域左下角。 水平方向的運(yùn)動(dòng)模型= m×a水F拖曳d 2 x1dxCr L(h - y) × (- V ) = m ×2水dt水2即dt 2其中 L 是物體水平運(yùn)動(dòng)方向縱截面的底邊長(zhǎng)度， h 是流水深度， y 值由垂直方向的運(yùn)動(dòng)時(shí)間確定。（2）物體完全浸入水到到達(dá)試驗(yàn)水槽底部完全浸入水后，物體所受浮力就是一個(gè)。在上述運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，可以得出完全浸入水后的大實(shí)心方磚的運(yùn)動(dòng)模型如下： 垂直方向的運(yùn)動(dòng)模型G - F壓差 - F浮 = ma豎d (h - y + l)d 2 (h - y + l)1mg -Cr A2水 - r水 gV = m2即dtdt 21其中V 是

23、物體體積， l 的值等于物體高度的 。2 水平方向的運(yùn)動(dòng)模型= m×a水F拖曳d 2 x1dxCr A(- V ) = m2水dt水dt 22即其中 A 是物體水平運(yùn)動(dòng)時(shí)與水的縱截面面積。5.2 問(wèn)題二的分析與建模5.2.1 問(wèn)題分析球體或二維圓柱體(軸線(xiàn)垂直與流方向)受到的水平拖曳力的研究較多，一般拖曳力計(jì)算公式如下：F= 1 Cr AV2（6）拖曳相2對(duì)球體或接近于球體的泥沙、卵石等只需一個(gè)幾何尺度便可確定物體的大小，采用該公式可以方便地計(jì)算拖曳力。對(duì)偏離球體的塊體而言，其形狀影響著壓強(qiáng)力和摩擦力的大小，也影響著水流拖曳力的變化。而對(duì)于空心塊體的研究較少，本文將重點(diǎn)研究在水流作用

24、下，空心塊體受到的拖曳力。對(duì)于研究空心塊體在水流中的作用力時(shí)，往往借鑒該公式來(lái)計(jì)算塊體所受拖曳力。本文在研究空心塊體受力的情況時(shí)，通過(guò)測(cè)量具有不同空心率的空心塊體在水流作用下受到的拖曳力大小，來(lái)研究空心塊體的空心率（用符號(hào)h 表示）對(duì)水流拖曳力影響，9進(jìn)而求得拖曳力的函數(shù)表關(guān)系。為了研究方便，本文將物體形狀均概化為具有不同空心的塊體。由于空心塊體有兩種形式，故又有內(nèi)空心率、外空隙率的概念?？招膲K體的空心率定義為空心的體積與空心塊體的總體積比，或空心塊體內(nèi)空心的體積，以百分?jǐn)?shù)表示。體積ì hV V=ïïVï hV= V 內(nèi)VV V 外（7）í&#

25、239;內(nèi)ï h=ïî外V其中VV 表示塊體空心的體積，V 表示塊體的總體積，VV內(nèi)表示具有內(nèi)空心的塊體的空心體積，VV外 表示具有外空隙的塊體的空心體積。5.2.2 空心塊體所受水平拖曳力函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)設(shè)空心塊體的當(dāng)量體積為V ，其當(dāng)量粒徑為 D ，則當(dāng)量粒徑 D 可計(jì)算如下:等容：V = pD3 / 6等面積： A = pD 2 / 46Vp則有， D = 3（8）則塊體的拖曳力可以表達(dá)為下式：1 pD2F= 1 CrV 2 A = 1 CrV 2 × A × 4= 1 CrV 2 × 1 pD2 ×A（9）拖曳相相1

26、p相142224pD22D4A令C ' = C ×1 pD24則 F= 1 rV 2 × 1 pD2 × C '拖曳相24由以上推導(dǎo)可知，無(wú)論是迎流面的面積，還是體積，都與空心率有關(guān)，故空心塊體的當(dāng)量粒徑 D 也與空心率有關(guān)，從而導(dǎo)出C 也與空心率有關(guān)。= l(h)C 'F拖曳C '=×'（10）1 rV 2 × 1 pD2相24根據(jù)相關(guān)資料確定拖曳力系數(shù)與空心率之間的關(guān)系，從而給出考慮空心率影響時(shí)的10拖曳力系數(shù)的函數(shù)表如下：= 0.4486 h 2 + 0 .3556 h + 1.3498C '

27、;（11）則空心塊體的拖曳力可以表示如下：F= 1 rV 2 × 1 pD2 × C ' = (0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498) × 1 rV 2 × 1 pD2拖曳相相（12）2424'下面將依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定拖曳力系數(shù)與空心率之間的關(guān)系，從而可以得到考慮空心率影響時(shí)的拖曳力系數(shù)的拖曳力函數(shù)表。表 5-1：不同空心物塊對(duì)應(yīng)的空心率表 5-2：不同物塊的當(dāng)量粒徑和拖曳力5.2.3 模型建立根據(jù)問(wèn)題一中對(duì)塊體重物在水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程所受影響因素的分析以及建立的數(shù)學(xué)模 型的基礎(chǔ)，又對(duì)其所受的力（尤其是拖曳力，浮力與問(wèn)題一中

28、的分析相差不大）進(jìn)行了詳細(xì)的分析，同時(shí)又引入了空心率的概念，使得拖曳力和空心率建立了一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，11物塊DF拖曳小空心蜂巢0.03340.3157V 2相蜂巢0.067724.0568V相小空心方磚0.039420.8943V相方磚0.078823.5771V相心蜂巢0.033420.5831V相大實(shí)心蜂巢0.067722.4383V相心方磚0.054221.5372V相大實(shí)心方磚0.108326.2018V相角錐0.035520.6891V相大三角錐0.071022.6503V相空心物塊空心率h小空心蜂巢0.3125蜂巢0.3077小空心方磚0.25方磚0.25從而可以建立起適應(yīng)不同情況

29、的、描述重物水中運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，具體模型建立的過(guò)程如下。（1）完全入水前階段模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型G - F拖曳 - F浮 = ma豎假設(shè)重物從高空為 h，根據(jù)動(dòng)能守恒定律可得：mgh = 1 mV2從而可以入水前的速度：V0 =2gh20F= 1 rV 2 × 1 pD2 × C ' = (0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498) × 1 rV 2 × 1 pD2拖曳相相2424對(duì)上式進(jìn)行進(jìn)一步的化簡(jiǎn)，mg - (0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498) × 1 r（V- V ） ×p1

30、D - r gAV= m × a22物0水排豎24m × g - 1 p × r × D2 (0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498（)V- V ）2 - r gAV= m × a物0水排豎8水平方向運(yùn)動(dòng)模型= m × a水平F拖曳(0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498) × 1 r（V- V ） ×p12D = m × a2物水水平241 p × r × D2 (0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498（) V- V= m 

31、15; a）2物水水平8（2）完全入水后模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型G - F拖曳 - F浮 = ma豎由完全入水前所建的模型可以簡(jiǎn)化上述方程，mg - (0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498) × 1 r（V- V ） ×p1D - r gAV22= m × a物0水豎24其中V 是物體體積。水平方向運(yùn)動(dòng)模型：= m × a水平F拖曳(0.4486h 2 + 0.3556h + 1.3498) × 1 r（V- V1） ×p2D = m × a2物水水平241 p × r × D2 (0.4

32、486h 2 + 0.3556h + 1.3498（) V- V= m × a）2物水水平85.2.4 各個(gè)單組件的運(yùn)動(dòng)模型利用上述模型，根據(jù)表 2 中計(jì)算出每個(gè)試件模型的拖曳力，分別建立單個(gè)試件模型在完全入水前、后階段的運(yùn)動(dòng)模型，具體如下。1、單個(gè)物體完全入水前階段模型12（1）小空心蜂巢運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0304 dt 2 - 0.8275( dt ) + 11y - 2.721 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.0304 dt 2 - 0.2257( dt ) + 3y - 0.52

33、1 = 02ïïd 2 ydy- 0.2257() + 3y - 0.521 = 0dt2立放模型：0.0304ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 x2ï平放模型：(10.3448 - 37.6125 y)V相 = 0.0304dt 2ïïd 2 x2í豎放模型：(2.4828 - 9.0282 y)V相 = 0.0304ïdt 2ïd 2 x2ï立放模型：(10.3448 - 37.6125 y)V相 = 0.0304dt 2î蜂巢運(yùn)動(dòng)模型（2）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型&

34、#236;d 2 ydy- 3.3788() + 45 y - 9.788 = 0dt2ï平放模型：0.2587ïí豎放模型：0.2587ïïï立放模型：0.2587dt 2d 2 yïdy- 0.9761() + 13y - 0.988 = 0dt2dt 2d 2 ydy- 0.9761() + 13y - 0.988 = 0dt2dt 2î水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 x2ï平放模型：(20.6484 - 75.085 y)V相 = 0.2587 dt 2ïïd 2 x2&#

35、237;豎放模型：(5.1621 - 18.7713y)V相 = 0.2587 dt 2ïïd 2 x2ï立放模型：(20.6484 - 75.085 y)V相 = 0.2587 dt 2î心蜂巢運(yùn)動(dòng)模型（3）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydy- 1.2()+ 16 y - 3.958 = 0dt2ï平放模型：0.0442ïí豎放模型：0.0442ïïï立放模型：0.0442dt 2d 2 yïdy- 0.225 ()+ 3 y - 0.383 = 0dt2dt 2d 2 yd

36、y- 0.225 ()+ 3 y - 0.383 = 0dt2dt 2î13水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xï平放模型：(10.3125 - 37.5 y)V相 = 0.0442 dt 22ïïd 2 xí豎放模型：(2.475 - 9 y)V相 = 0.0442 dt 22ïïd 2 xï立放模型：(10.3125 - 37.5 y)V相 = 0.0442 dt 22î（4）大實(shí)心蜂巢運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydy- 4.875()dt- 0.975()dt- 0.975()d

37、t+ 65 y - 14.=ï平放模型：0.3737ïí豎放模型：0.3737ïïï立放模型：0.3737dt 2d yïdy+ 13y + 0.162 = 0dtd ydy+ 13y + 0.162 = 0dtî 水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xï平放模型：(20.625 - 75 y)V相 = 0.3737 dt 22ïïd 2 xí豎放模型：(501563 - 18.75 y)V相 = 0.3737 dt 22ïïd 2 xï立放模型

38、：(20.625 - 75 y)V相 = 0.3737 dt 22î心方磚運(yùn)動(dòng)模型（5）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0736 dt 2 - 1.2( dt ) + 16 y - 3.664 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.0736 dt 2 - 0.6( dt ) + 8 y - 1.464 = 02ïïd 2 ydy- 0.6() + 8 y - 1.464 = 0dt2立放模型：0.0736ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xdxï平放模型

39、：0.408( dt - V水 ) = 0.0736 dt 22ïïd 2 xdxí豎放模型：0.204( dt - V水 ) = 0.0736 dt 22ïïd 2 xdxï立放模型：0.408( dt - V水 ) = 0.0736 dt 22î（6）大實(shí)心方磚運(yùn)動(dòng)模型14垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.5888 dt 2 - 4.8( dt ) + 64 y - 11.712 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.5888 dt 2 - 2.4( d

40、t ) + 32 y - 2.912 = 02ïïd 2 ydy- 2.4() + 32 y - 2.912 = 0dt2立放模型：0.5888ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xdxï平放模型：0.816( dt - V水) = 0.5888 dt 22ïïd 2 xdxí豎放模型：0.4065( dt - V水) = 0.5888 dt 22ïïd 2 xdxï立放模型：0.816( dt - V水) = 0.5888 dt 22î（7）小空心方磚運(yùn)動(dòng)模型垂直

41、方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0552 dt 2 - 0.9( dt ) + 12 y + 2.748 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.0552 dt 2 - 0.6( dt ) + 8 y - 1.648 = 02ïïd 2 ydy- 0.6() + 8 y - 1.648 = 0dt2立放模型：0.0552ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xï平放模型：(8.25 - 30 y)V相 = 0.0552 dt 22ïïd 2 xí

42、;豎放模型：(4.125 - 15 y)V相 = 0.0552 dt 22ïïd 2 xï立放模型：(8.25 - 30 y)V相 = 0.0552 dt 22î方磚運(yùn)動(dòng)模型（8）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.4416 dt 2 - 3.6( dt ) + 48 y - 8.784 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.4416 dt 2 - 2.4( dt ) + 32 y - 4.384 = 02ïïd 2 ydy- 2.4() + 32 y - 4.384

43、= 0dt2立放模型：0.4416ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型15ìd 2 x2ï平放模型：(16.5 - 60 y)V相 = 0.4416 dt 2ïïd 2 x2í豎放模型：(8.25 - 30 y)V相 = 0.4416 dt 2ïïd 2 x2ï立放模型：(16.5 - 60 y)V相 = 0.4416 dt 2î（9）大三角錐運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型d 2 ydy- 1.2() + 16 y - 3.763 = 020.0637dt 2dt水平方向運(yùn)動(dòng)模型d 2 x2(12.3

44、75 - 45 y)V相 = 0.0637dt 2（10）角錐運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型d 2 ydy- 0.2923() + 3.987 y - 1.0184 = 0dt20.0078dt 2水平方向運(yùn)動(dòng)模型d 2 x(6.1875 - 22.5 y)V相 = 0.0078dt 222、完全入水后階段模型根據(jù)表 2 中計(jì)算出來(lái)的拖曳力公式，利用上述模型，分別建立單個(gè)組件在完全入水后階段的運(yùn)動(dòng)模型如下：（1）小空心蜂巢運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0304 dt 2 - 0.8275( dt ) + 0.304 = 02ïïd 2

45、 ydyí豎放模型：0.0304 dt 2 - 0.2257( dt ) + 0.304 = 02ïïd 2 ydy- 0.2257() + 3y + 0.304 = 0dt2立放模型：0.0304ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型16ìd 2 x2ï平放模型：0.45V相 = 3.04 dt 2ïïd 2 x2í豎放模型：0.45V相 = 3.04 dt 2ïïd 2 x2ï立放模型：0.825V相 = 3.04 dt 2î蜂巢運(yùn)動(dòng)模型（2）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型&#

46、236;d 2 ydy- 3.3788() + 1.1248 = 0dt2ï平放模型：0.2587ïí豎放模型：0.2587ïïï立放模型：0.2587dt 2d 2 yïdy- 0.9761() + 1.1248 = 0dt2dt 2d 2 ydy- 0.9761() + 1.1248 = 0dt2dt 2î水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 x2ï平放模型：1.875V相 = 0.2587 dt 2ïïd 2 x2í豎放模型：1.875V相 = 0.2587 dt 2&#

47、239;ïd 2 x2ï立放模型：3.375V相 = 0.2587 dt 2î心蜂巢運(yùn)動(dòng)模型（3）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0442 dt 2 - 1.2( dt ) + 0.442 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.0442 dt 2 - 0.225( dt ) + 0.442 = 02ïïd 2 ydy- 0.225() + 0.442 = 0dt2立放模型：0.0442ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 x2ï平放模型：

48、0.9V相 = 0.0442 dt 2ïïd 2 x2í豎放模型：0.9V相 = 0.0442 dt 2ïïd 2 xï立放模型：1.2V相 = 0.0442 dt 22î（4）大實(shí)心蜂巢運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型17ìd 2 ydy- 4.875() + 3.7368 = 0dt2ï平放模型：0.3737ïí豎放模型：0.3737ïïï立放模型：0.3737dt 2d 2 yïdy- 0.975() + 3.7368 = 0dt2dt 2d 2

49、ydy- 0.975() + 3.7368 = 0dt2dt 2î 水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xï平放模型：0.45V相 = 0.3737 dt 22ïïd 2 xí豎放模型：0.45V相 = 0.3737 dt 22ïïd 2 xï立放模型：4.875V相 = 0.3737 dt 22î心方磚運(yùn)動(dòng)模型（5）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0736 dt 2 - 0.9( dt ) + 0.416 = 02ïïd 2 ydyí豎放

50、模型：0.0736 dt 2 - 0.6( dt ) + 0.416 = 02ïïd 2 ydy- 0.6() + 0.416 = 0dt2立放模型：0.0736ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 xdxï平放模型：2.4( dt - V水 ) = 0.5888 dt 22ïïd 2 xdxí豎放模型：2.4( dt - V水) = 0.5888 dt 22ïïd 2 xdxï立放模型：4.8( dt - V水) = 0.5888 dt 22î（6）大實(shí)心方磚運(yùn)動(dòng)模

51、型垂直方向模型ìd 2 ydyï平放模型：0.5888 dt 2 - 4.8( dt ) + 3.328 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.5888 dt 2 - 2.4( dt ) + 3.328 = 02ïïd 2 ydy- 2.4() + 3.328 = 0dt2立放模型：0.5888ï2dtî水平方向運(yùn)動(dòng)模型18ìd 2 xdxï平放模型：2.4( dt - V水 ) = 0.5888 dt 22ïïd 2 xdxí豎放模型：2.4( dt

52、 - V水) = 0.5888 dt 22ïïd 2 xdxï立放模型：4.8( dt - V水) = 0.5888 dt 22î（7）小空心方磚運(yùn)動(dòng)模型垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.0552 dt 2 - 0.9( dt ) + 0.312 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.0552 dt 2 - 0.6( dt ) + 0.312 = 02ïïd 2 ydy- 0.6() + 0.312 = 0dt2立放模型：0.0552ï2dtî水平

53、方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 x2ï平放模型: 0.6V相 = 0.0552 dt 2ïïd 2 x2í豎放模型：0.6V相 = 0.0552 dt 2ïïd 2 x2ï立放模型：0.9V相 = 0.0552 dt 2î方磚運(yùn)動(dòng)模型（8）垂直方向運(yùn)動(dòng)模型ìd 2 ydyï平放模型：0.4416 dt 2 - 3.6( dt ) + 2.496 = 02ïïd 2 ydyí豎放模型：0.4416 dt 2 - 2.4( dt ) + 2.496 = 02ï&#