哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都,普萊格

1、哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個(gè)看起來很簡(jiǎn)單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€(gè)明確、理想的答案還不那么容易。拓?fù)鋵W(xué)的由來拓?fù)鋵W(xué)的由來 幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等

2、都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題。1736年，有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問題就簡(jiǎn)化成能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來。歐拉考察了一筆畫圖形的結(jié)構(gòu)特征。發(fā)現(xiàn)，凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個(gè)特點(diǎn)：每當(dāng)你用筆畫一條線進(jìn)入中間的一個(gè)點(diǎn)時(shí)，你還必須畫一條線離開這個(gè)點(diǎn)。否則，整個(gè)圖形就不可能用一筆畫出。也就是說，單獨(dú)考察圖中的任何一個(gè)點(diǎn)（除起點(diǎn)和終點(diǎn)外），它都應(yīng)該與偶數(shù)條線相連；如果起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，那么，連這個(gè)點(diǎn)也應(yīng)該與偶數(shù)條線相連。于是

3、，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。 七橋問題是一個(gè)幾何問題，然而，它卻是一個(gè)以前歐氏幾何學(xué)里沒有研究過的幾何問題。在以前的幾何學(xué)里，不論怎樣移動(dòng)圖形，它的大小和形狀都是不變的；而歐拉在解決七橋問題時(shí)，把陸地變成了點(diǎn)，橋梁變成了線，而且線段的長(zhǎng)短曲直，交點(diǎn)的準(zhǔn)確方位、面積、體積等概念，都變得沒有意義了。不管把七橋畫成別的什么類似的形狀，照樣可以得出與歐拉一樣的結(jié)論。 很清楚，圖中什么都可以變，唯獨(dú)點(diǎn)線之間的相關(guān)位置，或相互連結(jié)的情況不能變。事實(shí)上，歐氏幾何研究的是在正交變換下的不變性和不變量。如，長(zhǎng)度、

4、角度、面積等。而一筆畫問題則是在“彈性變形”下的不變性和不變量。在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。 四色猜想的提出來自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“

5、看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色?！?1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問

6、世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書面證明方法。上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。 舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無論它的大小或者

7、形狀都允許發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時(shí)候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn)。 什么是拓?fù)鋵W(xué)？拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類似的有關(guān)學(xué)科。我國(guó)早期曾經(jīng)翻譯成“形勢(shì)幾何學(xué)”、“連續(xù)幾何學(xué)”、“一對(duì)一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的數(shù)學(xué)名詞把它確定為拓?fù)鋵W(xué)，這是按音譯過來的。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之

8、間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都是不關(guān)心的。首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià)，這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。下圖的三樣?xùn)|西就是拓?fù)涞葍r(jià)的，換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下，點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣，就稱為拓?fù)涞葍r(jià)。事實(shí)上，環(huán)面和球面具有不同的拓?fù)湫再|(zhì)。比如像下圖那樣，把環(huán)面切開，它不至于分

9、成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對(duì)于這種情況，我們就說球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。 直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個(gè)側(cè)面。 拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。 拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓

10、撲學(xué)的進(jìn)展。 二十世紀(jì)以來，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問題都可以應(yīng)用集合來論述。 因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。本世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，