隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四節(jié) 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的形式,是因變量由含有自變量的數(shù)學(xué)式子直接表示的函數(shù),例如,等,稱為顯函數(shù).如果變量與的函數(shù)關(guān)系可以由一個二元方程表示,例如,等,對在給定范圍內(nèi)的每一個,通過方程有確定的值與之對應(yīng),所以是的函數(shù),這種函數(shù)稱為隱函數(shù).定義1 如果變量、之間的函數(shù)關(guān)系是由某一方程所確定,那么稱這種函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù).把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化.例如從方程解出,就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但有的隱函數(shù)不易顯化,甚至不可能顯化.例如由方程確定的隱函數(shù)就不能顯化. 對由方程確定的隱函數(shù),在不顯化的條件下,怎樣求呢?

2、假設(shè)由方程確定的隱函數(shù),將視為中間變量,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,方程兩邊分別對求導(dǎo),可得到一個含有的方程,最后解出即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例1 已知由方程確定了隱函數(shù),求及. 解 把看成的函數(shù),將方程兩邊分別對求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有 .從而 , 即 .將代入原方程得,故 .隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié):(1)把視作復(fù)合函數(shù)的中間變量,將方程兩邊分別對求導(dǎo)；(2)從求導(dǎo)后的方程中解出；(3)隱函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果允許含有,但求某一點的導(dǎo)數(shù)時不僅要代的值,還要把對應(yīng)的值代入.例2 求曲線在點處的切線方程.解 把看成的復(fù)合函數(shù),方程兩邊分別對求導(dǎo),得 ,解得 .因而所求切線斜率為 .于是所求切線方程為 .即 .例3 證

3、明拋物線上任一點的切線在兩個坐標(biāo)軸上的截距之和等于.證 方程兩邊分別對求導(dǎo),有 , 得 .設(shè)是拋物線上任一點,則拋物線過點的切線斜率為 ,所以切線方程為 ,即 .所以拋物線上任一點的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為 .例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 解 方程兩邊分別對求導(dǎo),得 ,即 .從而 .說明：求由方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù), 可把視為中間變量將兩邊分別對求導(dǎo), ,求出后,仍視為中間變量,對再求一次導(dǎo)數(shù),則表達(dá)式中有,將第一次求出的代入后即可求出.二、對數(shù)求導(dǎo)法定義2 先將函數(shù)的兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出的導(dǎo)數(shù),這種方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法. 對以下兩類函數(shù),使用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)一般

4、較為簡便.(1)冪指函數(shù)；(2)多個因式的積、商、乘方、開方構(gòu)成的函數(shù).下面通過例題來說明這種方法.例5 求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其中為的可導(dǎo)函數(shù).解（法一） 將函數(shù)兩邊取對數(shù)得 ,兩邊分別對求導(dǎo),由于都是的函數(shù),則由隱函數(shù)求導(dǎo)法則,有 , . （法二） 因為,所以由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 .例6 已知,求.解 兩邊取對數(shù)得 ,上式兩邊分別對求導(dǎo)得 , .例7 已知,求.解 兩邊取對數(shù)得 ,方程兩端再取對數(shù)得 ,方程兩端分別對求導(dǎo)得 ,所以 .例8 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 兩邊取對數(shù)得 ，兩邊分別對求導(dǎo)得 ，所以 .例9 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 兩邊取對數(shù)得 ，方程兩端分別對求導(dǎo)得 ，即 .三、由參數(shù)方程所確定的函

5、數(shù)的導(dǎo)數(shù)在許多實際問題中,變量與的函數(shù)關(guān)系可用參數(shù)方程確定,于是我們有下面定義:定義3 如果參數(shù)方程 確定了與之間的函數(shù)關(guān)系,則稱此函數(shù)關(guān)系所表示的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).如何求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢?在參數(shù)方程中,如果函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù),且此函數(shù)能與函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合函數(shù).假設(shè)均可導(dǎo),且,則根據(jù)復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得 .即 .如果函數(shù)有二階導(dǎo)數(shù),那么可求出: .例10 已知橢圓的參數(shù)方程為 .求橢圓在相應(yīng)點處的切線方程.解 因為 ,所以橢圓在處的切線的斜率為 .當(dāng)時,因而橢圓在處的切線方程是 ,即 .例11 求由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的.解 , . 例12 求由參數(shù)方程 (存在且不為零)所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解 . .四、相關(guān)變化率定義4 設(shè)都是可導(dǎo)函數(shù),且與之間存在某種關(guān)系,從而變化率與間也存在一定關(guān)系.在已知其中一個變化率時,便可求出另一個變化率.這兩個相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率.例13 落在平靜水面上的石頭,產(chǎn)生同心波紋,若最外一圈波的半徑的增大率總是,問在末擾動水面面積的增大率為多少？解 設(shè)在秒末最外一圈水波半徑為,擾動水面面積為,則 .兩邊同時對求導(dǎo),得 .由已知 ,當(dāng)時,所以 .例14 注水入深,上頂直